《高等数学》(北大第二版 )5-3空间中平面及直线的方程

n = (0, B, C) ⊥ i, 平面平行于 x 轴;
• A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; • A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; • C z + D = 0 表示 平行于 xoy 面 的平面; • A x + D =0 表示 平行于 yoz 面 的平面； • B y + D =0 表示 平行于 zox 面 的平面.
参数式方程: 参数式方程
设
x− x0 y − y 0 z − z 0 = = =t, 得方程组 m n p
x = x 0 + mt y = y 0 + nt . z = z 0 + pt 此方程组就是直线的参数方程 直线的参数方程. 直线的参数方程
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例11 将一般方程 化成标准方程及参数方程. 解 先在直线上找一点. y + z = −2 ,得 y = 0, z = −2 令 x = 1, 解方程组 y − 3z = 6 是直线上一点 . 再求直线的方向向量 s . 已知直线的两平面的法向量为
例8 试决定常数 l 与 k 使得平面
x + ly + kz =1
2 与平面x + y − z = 8垂直，且过点1,1,− ). ( 3 解 两平面垂直要求其向量垂直，即有 两平面垂直要求其向量垂直，
1+ l − k = 0.
2 11 点（，− ）在平面x + ly + kz =1上，则要求 ， 3 2 1+ l − k =1. 3
A(x −1) + B( y −1) + C(z −1) = 0
− A + 0⋅ B − 2C = 0, 即 A+ B + C = 0 , 故
n⊥M1M2
n ⊥ Π 的法向量
因此有 − 2C(x −1) + C( y −1) + C(z −1) = 0 (C ≠ 0) 约去C 约去 , 得 即
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− 2(x −1) + ( y −1) + (z −1) = 0
n
M1 ∏ M3
n = M1M2 × M1M3
i j k = −3 4 − 6 − 2 3 −1 = (14, 9, −1)
M2
又M1 ∈Π, 利用点法式得平面 Π 的方程
即
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例2 已知一平面的方程为
Ax + By + Cz + D = 0 ( A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0).
⋅
(3,4, z)
4
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例10 联立方程
y = 5x +1 y = x −3 y = x −3
代表平面y=5x+1 与平面y=x-3的交线.
z
y = 5x +1
o
y
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对称式方程
如果一个非零向量平行于一条已知直线, 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量. 这个向量就叫做这条直线的方向向量.
①
称①式为平面Π的点法式方程 称n 为 面 Π的 点法式方程, 点法式方程 法向量. 平
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平面的点法式方程（ ） 平面的点法式方程（1）可以化成
Ax + By + Cz + D = 0
其中D = −Ax0 − By0 − Cz0是常数， y, z的系数A，B，C依次 x,
是法向量向量的三个坐标分向量 .
例1 已知一平面的法向量为（2，3，4），平面上一点 的坐标为（1，1，1），则该平面之方程是：
2(x −1) + 3( y −1) + 4(z −1) = 0,
即
2x + 3y + 4z − 9 = 0.
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补例 求过三点 的平面 Π 的方程. 解 取该平面Π 的法向量为
P ( x1 , y1 , z1 ) , P2 ( x2 , y2 , z2 ) , P3 ( x3 , y3 , z3 ) , 1
uuuu r uuuu uuuu r r r uuuu r ∴ P P2 与 P1 P3 不共线, 即 PP2 × PP3 ≠ 0, 1 1 1
uuuu uuuu r r 以 PP2 × PP3 作为所求平面的法向量. 1 1 uuuu uuuu r r uuur 设 P ( x, y, z ) 是平面上任一点, 显然 P1 P 垂直于 PP2 × PP3 1 1
通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线方程:
x− x0 y − y0 z − z 0 = = . m n p
说明: 说明 某些分母为零时, 其分子也理解为零. 例如, 当 m = n = 0, p ≠ 0 时 直线方程为 , x = x0 y = y 0 当 = 0, n ≠ 0, p ≠ 0 时 直线方程为 m , x = x0 y − y0 z − z0 . n = p
2 2 2 A12 + B12 +C12 ⋅ A2 + B2 +C2
.
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相垂直的 充要条件是 A1A2+B1B2+C1C2=0. 两平面平行的条件 平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0互相平行的 充要条件是 A1: A2=B1: B2=C1: C2.
解
于是
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平面的一般方程
由于平面的点法式方程是x, y, z的一次方程, 而任一平面 都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定, 所以任一平 面都可以用三元一次方程来表示 . 反过来, 可以证明任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图 形总是一个平面. 方程Ax+By+Cz+D=0称为平面的一般方程, 其法线向量为 + + + =0 , n=(A, B, C). 例如, 方程3x−4y+z−9=0表示一个平面, n=(3,−4, 1)是这平 面的一个法线向量.
5-3 空间中平面与直线的方程 1.平面的方程 1.平面的方程 设一平面通过已知点
P(x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
z
Π o x
量 n = ( A , B, C), 求该平面Π的方程.
任 点P(x, y, z) ∈Π, 则有 取
P
n
P 0
P P ⊥n 0
故
P P⋅n = 0 0
y
A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
2x − y − z = 0
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2.空间直线方程 2.空间直线方程
一般式方程 直线可视为两平面交线， 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
z
Π1
L
y
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x
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o
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Π2
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例9 联立方程
解 于 与 的 立 程 得 = 2, k = 3. 关 l k 联 方 ， l
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补例 一平面通过两点 M1( 1, 1, 1)和 M2 ( 0, 1, −1) , 且 垂直于平面∏: 垂直于平面 x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 方程为 则所求平面
x − 0 y − 0 z −1 1 1 1 0 −1 = 0. 0
即 y + z −1= 0. ：
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Ax + By + Cz + D = 0 ( A + B + C ≠ 0)
2 2 2
特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点 通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量
x −3 = 0, y − 4 = 0
平行于z轴 平行于 轴.
z
表示平行于yoz坐标面的平面 表示平行于 坐标面的平面 表示平行于xoz坐标面的平面 表示平行于 坐标面的平面
的解是(3,4,z), 其图形是平面 的解是 其图形是平面x-3=0与y-4=0的交线，它 的交线， 与 的交线
x3
o
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=t
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两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角. 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夹角ϕ满足
cosϕ =| cos(s1 , s2 )|
^
=
| m1m2 + n1n2 + p1 p2 |
uuu uuuu uuuu r r r ∴ P P ⋅ P P2 × P P3 = 0. 1 1 1
(
)
此 混 合积 的 坐标 形式为:
x − x1 y − y1 z − z1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0. x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
例4 设已知三点 P(0,0,1), P (1,1,0)及P 1 0， 求过该三点 （， ）， 1 1 2 3 的平面方程. 解 所求的平面方程是
例6 x+2y+z-1=0表示的平面在x,y,z轴的截距分别是
1 1, ,1. 该平面在第一卦限内的部分如图. 2
z o
1
1
x
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12 y
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两平面的夹角
两平面的法向量的夹角(通常指锐角) 称为两平面的夹角. 设平面Π1和Π2的法线向量分别为 n1=(A1, B1, C1), n2=(A2, B2, C2), 那么平面Π1和Π2的夹角θ 应满足
cosθ =| cos(n1 , n2 )|=
^
| A1 A2 + B1B2 + C1C2 |
2 2 2 A12 + B12 + C12 ⋅ A2 + B2 + C2
.
平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夹角的余弦:
cosθ =
两平面垂直的条件
| A1 A2 + B1B2 + C1C2 |
例3 将平面的一般式方程 3x+4y+6z=1化成点法式方程. 解 先在平面上任意选定一点， 比如（-3，1，1）.则有
3(x + 3) + 4( y −1) + 6(z −1) = 0.
这 法 量 坐 为 = (3,4,6). 里 向 的 标 n
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平面的三点式方程 平面的三点式方程 已知不在同一直线上的三点
平面的截距式方程 平面的截距式方程
Ax + By + Cz + D = 0 ( A ≠ 0, B ≠ 0, C ≠ 0).
D 求平面在x轴上的截距： y = z = 0, 解得 x = − , 同理求得 令 A 平 在 轴 z轴 的 距 别 ： D， D. 若 ≠ 0, 面 y 和 上 截 分 为 − − D B C 平面的截距式方程为 x y z + + =1. D D D − − − A B C
2 2 2 2 m12 + n1 + p12 ⋅ m2 + n2 + p2
.
方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦:
cosϕ =
| m1m2 + n1n2 + p1 p2 |
2 2 2 2 2 m1 + n1 + p12 ⋅ m2 + n2 + p2
.
两直线垂直与平行的条件 设有两直线 x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 L1 : L2 : = = = = , , m1 n1 p1 m2 n2 p2 则 L1 ⊥ L2⇔m1m2+n1n2+p1p2=0; m n p L1 // L2 ⇔ 1 = 1 = 1 . m2 n2 p2
Q s ⊥ n1 , s ⊥ n2
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∴ s = n1 × n2
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i j k s = n1 × n2 = 1 1 1 = (4, −1, − 3) 2 −1 3 x −1 y = 故所给直线的标准方程为 4 −1
参数式方程为 解题思路: 解题思路 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
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补例 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A = D = 0 设所求平面方程为
By + Cz = 0
) 代入已知点 (4, − 3, −1 得
化简,得所求平面方程 化简 得所求平面方程
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方向向量
求通过点M0(x0, y0, z0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线的方程. 设M(x, y, z)为直线上的任一点, 则从M0到M的向量平行于方向向量: M M : (x−x0, y−y0, z−z0)//s , 从而有
x− x0 y − y0 z − z 0 = = . m n p 这就是直线的方程, 叫做直线的对称式方程或标准方程 对称式方程或 对称式方程 标准方程.