高等数学第七章 第6节 空间直线及其方程
空间直线及其方程
z
Π1
Π2
o
L
y
注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件 • 由两个平面确定一条直线； • 由空间的两点确定一条直线； • 由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程
r 如果一非零向量 s 平行于 r 一条已知直线L，向量 s 称为直
线L的方向向量． 设定点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ L,
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
(1) L⊥ Π ⇐⇒ ( 2) L // Π ⇐⇒
A B C = = . m n p Am + Bn + Cp = 0.
x −1 y z +1 例 5 设直线 L : = = ，平面 2 −1 2 Π : x − y + 2 z = 3，求直线与平面的夹角. r r 解 n = {1,−1, 2}, s = {2,−1, 2},
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x + y + z + 1 = 0 . 2 x − y + 3z + 4 = 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
y0 + z 0 + 2 = 0 取 x0 = 1 ⇒ , y0 − 3 z 0 − 6 = 0
解得 y0 = 0,
r s = {m , n, p}, r n = { A, B , C },
r^r π ( s , n) = + ϕ 2
π sin ϕ = cos( − ϕ ) = cos( π + ϕ ) . 2 2
sin ϕ =
| Am + Bn + Cp | A2 + B 2 + C 2 ⋅ m 2 + n 2 + p 2
平面及其方程,空间直线及其方程
cos
n1 n2 n1 n2
特别有下列结论：
n2
ted
(1) 1 2 Evalun1ationn2 only. with Aspose.SliAd1eAs2 foBr1.BN2ETC31 C.52
1
C l0ient
Pron1f2ile
5.2
(2)
Co1p//yri2ght
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2.平面与平面之间的关系
平面 1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 ( A1, B1,C1) 平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
垂直:
EvaluatioAn1Ao2nlyB.1B2 C1C2 0
例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 因平面通过 x 轴 , 故 A D 0
设所求平面方程为
By ECvzalu0ation only. ted w代it入h A已s知po点se(4.S, lid3,es1)fo得r .NET 3.5 Client Profile 5.2
5B D 0, EDvalu5aBt,ion only. ted with A所s求po平s面e.方Sl程 ide为syfor5 .N0E. T 3.5 Client Profile 5.2
C(3)o由p题yr意ig设h所t 2求0平0面4-方2程01为1BAy sCpzosDeP0,ty Ltd. 将点Ａ４,０，－２和点Ｂ５，１，７ 代入上式，
因此有 2C(x 1) C( y 1) C(z 1) 0
约去C , 得 2(x 1) ( y 1) (z 1) 0
平面及其方程,空间直线及其方程
4
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2. 直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直
线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;
当直线与平面垂直时,规定其夹角
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) 平面 的法向量为 n ( A, B ,C )
则直线与平面夹角 满足
第6节
平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
第八章
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一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n ( A , B , C), 求该平面的方程.
任取点M (x, y, z) , 则有
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0 z3 z1
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2.平面与平面之间的关系
平面 1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 ( A1, B1,C1) 平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 ( A2 , B2 ,C2 )
题8 1 :由题意设所求平面方程为： By D 0, 将点2，-5，3 代入上述方程，得
5B D 0, D 5B, 所求平面方程为y 5 0.
(3)由题意设所求平面方程为By Cz D 0,
将点Ａ４,０，－２和点Ｂ５，１，７ 代入上式，
有 Ｂ－＋２７ＣＣ＋＋ＤＤ＝＝0０， Ｄ＝２Ｃ，Ｂ＝－９Ｃ， 所求方程为－９ｙ＋ｚ＋２＝０.
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练习：习题8-6 题1，题3.
• 题1. • 题3.
3x 7y 5z 4 0
高等数学课件D76空间直线
得参数式方程 :
xx0mt yy0nt zz0pt
2019/9/16
高等数学
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例1.用对称式及参数式表示直线
2xxyy3zz 1400
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
y z 2 ,得 y 3z 6
平面 的法向量为 n(A,B,C)
则直线与平面夹角 满足
s in co s︿,s n )(
ns L
sn sn
2019/9/16
AmBnCp
m 2n2p2 A2B2C2
高等数学
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特别有: (1)L
(2)L//
s//n sn
高等数学
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内容小结
1. 空间直线方程
一般式 A A 21xx B B2 1y y C C1 2zz D D 1200
对称式 xx0yy0zz0 mn p
参数式
xy
x0 y0
mt nt
z z0 pt
2019/9/16
作业 P335 3，4，5，7，9
2019/9/16
高等数学
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备用题
一直线过点 A(1,2,1)且垂直于直线 L1:x3 12 yz1 1,
又和直线
L2
:
xy z 相交,求此直线方程 2 1
.
解： 方法1 利用叉积.
设直线Li的方向向量为 si(i1,2),过 A 点及 L2的平
y07 8,x017,6z07 8
AB (9,6,1)53(3,2,5)
空间直线的一般式方程
空间直线的一般式方程空间直线的一般式方程是数学中用来描述空间中一条直线的方程。
在三维空间中，一条直线可以由一点和一个方向向量确定。
直线上的任意一点可以表示为P(x,y,z)，其中x、y、z分别表示该点在三个坐标轴上的坐标值。
直线的方向向量可以表示为V(a,b,c)，其中a、b、c分别表示该向量在三个坐标轴上的分量值。
那么空间直线的一般式方程可以表示为：(x-x₀)/a = (y-y₀)/b = (z-z₀)/c其中(x₀,y₀,z₀)表示直线上的一点。
这个方程表示了直线上的任意一点与该点的坐标差与方向向量的分量之比是相等的。
空间直线的一般式方程在几何学、物理学和计算机图形学中都有广泛应用。
在几何学中，直线是研究的基本对象之一，通过直线的方程可以描述和研究直线的性质和变换。
在物理学中，直线的方程可以用来描述物体的运动轨迹。
在计算机图形学中，直线的方程可以用来表示和渲染三维图形模型中的线段和轨迹。
空间直线的一般式方程的应用非常广泛。
例如，在几何学中，可以通过直线的方程来求解直线与平面的交点、直线与直线的夹角等问题。
在物理学中，可以通过直线的方程来描述和分析物体在空间中的运动状态。
在计算机图形学中，可以通过直线的方程来生成和渲染三维图形模型中的线段和轨迹。
空间直线的一般式方程的推导和应用都需要一定的数学知识和技巧。
通过对直线的方程进行分析和求解，可以帮助我们更好地理解和应用空间中的直线。
同时，空间直线的一般式方程也是数学中的一个重要概念，它的应用涵盖了多个学科领域。
空间直线的一般式方程是描述空间中一条直线的方程。
它在几何学、物理学和计算机图形学等学科中有广泛应用，可以用来描述直线的性质、分析直线与其他几何对象的关系，以及生成和渲染三维图形模型中的线段和轨迹等。
对于理解和应用空间中的直线，掌握空间直线的一般式方程是非常重要的。
希望本文对读者对空间直线的一般式方程有更深入的了解和认识。
高等数学7.6空间直线方程
( L 存在唯一)
M
0
L 的方向向量
:
M1
s M 0 M 1 ( x 1 x 0 , y1 y 0 , z1 z 0 ) ,
L 的方程 :
L
x x0 x1 x 0
y y0 y1 y 0
z z0 z1 z 0
.
这就是直线
L 的两点式方程
例 3 . 写出过
显然 :
MN L 0
M(2,1,3)
3 (3t 3) 2 2t (t 3) 0
N
得 t
3 7
2 13 3 因此 N ( , , ) 7 7 7
取所求直线的方向向量为 MN
12 6 24 , , }, 1, 3 } { MN { 2 , 7 7 7 7 7 7
( 是任意实数 )
检验 : 1 2
(3)
( 3 ) 式确是平面的方程
.
直线 L 上的点满足
( 1 ) , ( 2 ) , 必满足 ( 3 ) ,
.
从而 L 在 ( 3 ) 式确定的平面内
注:
( 3) 式中包括了过 L 的所有平面, 但缺一张 :
A2 x B2 y C 2 z D2 0
平面 : 2 x y 2 z 1 ,
求直线 L 与平面 的夹角 . 解 . 直线 L 的方向向量 s (1, 0 , 1 ) ( 4 , 1, 0 ) (1, 4 , 1 ) , 平面 的法向量 n ( 2 , 1 , 2 ) , ns 242 sin n s 4 1 4 1 16 1
所求平面束为 即
高等数学7.3直线及其方程
4
一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
平面束
例 12 求过点 (1,2,4) 且与平面 2x 3 y z 4 0 垂直的直线方程. 解 x1 y2 z4 .
2 3 1
例 13 求过点 (3,2,5) 且与平面 x 4z 3 和 2x y 5z 1平行的
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
— 两直线的夹角公式
s1
s2
8
一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
即 1 2(2 2 ) 1 0 , 解得 2 ,
由此得到所求平面方程为
3x 2y z 6 0 .
18
平面束
一般方程
点向式方程
参数方程
两直线夹角 直线与平面夹角
例19
求直线
L:
x
x
y y
z z
1 1
0 0
在平面
x 2 y z 0 的平面方程.
解 设平面方程为 x+2 y-z 6 ( x 2 y+z) 0 ,
即 (1 )x 2(1 ) y ( 1)z 6 0 ,
由于所求平面与平面 x 2 y z 0 垂直，所以
{1 , 2 2, 1} {1, 2, 1} 0 ,
空间直线及其方程
空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。
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解 : 设待求直线方向向量为 S,
n S2 M2 A 2 1 1 3i 3 j 3k
1 2 1
26
i
j
k
待求直线的方向向量
3 3 3 x 1 y 2 z 1 直 线 方 程 3 2 5
S S1 n
2 13 3 交点 N ( , , ) 7 7 7
取所求直线的方向向量为 MN
2 13 3 12 6 24 MN { 2, 1, 3} { , , }, 7 7 7 7 7 7
所求直线方程为
x 2 y 1 z 3 . 2 1 4
17
四、直线与平面的夹角
i 3
j 2
k 1
3i 2 j 5k
B( x0 , y0 , z0 ), 另 解: 设交点
即 x0 2 y0 , z0 y0
x0 z0 y0 2 1
27
而待求直线上 AB { x0 1, y0 2, z0 1} L1
23
x y 1 z 2 且垂直 例10已知平面过直线 3 1 4 于平面 : 2 x y 5z 5 0, 求其方程 .
解 : 直线可写成一般式方程
x y 1 3 1 x z2 4 3
即
x 3 y 3 0 4 x 3z 6 0
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面
3( x 2) 2( y 1) ( z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
x 1 y 1 z 令 t 3 2 1
x 3t 1 y 2t 1. z t
16
3 代入平面方程得 t , 7
解 : M0 (3,2,5)
s n1 n2 1 0 4 {4,3,1} 2 1 5
x 3 y 2 z 5 直 线 方 程 4 3 1
11
i
j
k
x 1 y 2 z 3 例5 求 直 线 和平面 1 1 2 2 x y z 5 0的 交 点 . x 1 t
3( x0 1) 2( y0 2) ( z0 1) 0
将x0 2 y0 , z0 y0代入
6
, 例1 设P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 )是空间两点 求过P . 1P 2的直线方程
解 : 取M0 P1 ,
S P1 P2 { x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 }
由对 称式 x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
cos( L^ ,L )
1 2
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m1 n1 p1 m2 n2 p2
两直线的夹角公式
13
2
2
2
2
2
2
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1 m2 n1 n2 p1 p2 0,
m1 n1 p1 , ( 2) L1 // L2 m2 n2 p2
例如， 直线 L1 : s1 {1,4, 0}, 直线 L2 : s {0,0,1}, 2 s1 s2 0, s1 s2 , 即 L1 L2 .
14
x 1 y z 3 例6 设L1 : 1 4 1 x y2 z L2 : 2 2 1 求两直线的夹角 .
作 平 面 束 ( x 3 y 3) (4 x 3z 6) 0
(1 4 ) x 3 y 3z (3 6 ) 0
24
待求平面与 垂直 (1 4 ) 2 3 (1) (3 ) 5 0
平 面 方 程
而M0 M { x x0 , y y0 , z z0 }
3
x x 0 y y0 z z 0 m n p
s {m, n, p}为L的方向向量 ,
m、n、p为直线的方向数。
x x 0 y y0 x x 0 y y0 z z 0 n (1) m m n 0 z z0
解 : 直线的参数方程 y 2 t z 3 2t
代入平面方程得
2(1 t ) (2 t ) (3 2t ) 5 0
t 4
交 点 ( 3,6,5)
12
三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
x x1 y y1 z z1 直线 L1 : , m1 n1 p1 x x 2 y y2 z z 2 直线 L2 : , m2 n2 p2
1 7
x 7y z 5 0
25
x 1 y z 1 例11 一 直 线 过 点 A(1,2,1)且 垂 直 直 线 L1 : 3 2 1 x z 又和直线 L2 : y 相 交, 求 该 直 线 方 程 . 2 1
则S S1且S又垂直于过 A点L2及的平面的法线 n, 先求过 A点及L2的平面的法向量 n, 任取L2上一点 M2 (0,0,0) M2 A {1,2,1}
则L的方向向量 i S n1 n2 A1
j B1 B2
k C1 C2
5
A2
2、参数式方程
令
x x 0 y y0 z z 0 m n p
t
x x0 mt y y0 nt z z pt 0
直线的参数方程
9
例 3 一直线过点 A( 2,3,4) ，且和 y 轴垂直相 交，求其方程.
解
因为直线和y 轴垂直相交,
所以交点为 B(0,3, 0),
取 s BA {2, 0, 4},
x2 y3 z4 所求直线方程 . 2 0 4
10
(3,2,5)且与两平面 x 4z 3和 例4 求过点 2 x y 5z 1的交线平行的直线方程 .
19
x 1 y z 1 例 8 设直线L : ，平面 2 1 2 : x y 2 z 3 ，求直线与平面的夹角. 解 n {1,1, 2}, s {2,1, 2},
sin
| Am Bn Cp | 2 2 2 2 2 2 A B C m n p
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹 角 称为直线与平面的夹角． 0 . 2
x x0 y y0 z z 0 L: , m n p : Ax By Cz D 0,
s {m , n, p}, n { A, B , C },
^ ( s , n) 2
7 | 1 2 ( 1) ( 1) 2 2 | . 3 6 6 9
arcsin 7 3 6
为所求夹角．
20
五 平面束
设L :
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0 (1) ( 2)
^ ( s , n) 2
18
sin cos cos . 2 2
sin
| Am Bn Cp | 2 2 2 Байду номын сангаас 2 2 A B C m n p
直线与平面的夹角公式
直线与平面的位置关系：
A B C . (1) L m n p ( 2) L // Am Bn Cp 0.
(1 ) x (1 ) y (1 )z (1 ) 0
要使与 垂 直 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 ) 1 0
1
22
投影平面方程
2 y 2z 2 0
投影直线方程
y z 1 0 x y z 0
4
称为直线的对称式方程(标准式)
说 明:
x x 0 y y0 z z 0 x x0 0 0 p y y0
A1 x B1 y C1 z D1 0 ( 2)若L A2 x B2 y C 2 z D2 0
( x0 , y0 )
解得 y0 0,
z0 2
点坐标 (1,0,2),
8
因所求直线与两平面的法向量都垂直
取
s n1 n2 1
i
j
k
1 1 {4,1,3}, 2 1 3
x 1 y 0 z 2 对称式方程 , 4 1 3
x 1 4t . 参数方程 y t z 2 3 t
称(3)为通过 L的平面束方程 .
21
x y z 1 0 例9 求直 线L : x y z 1 0在平 面 : x y z 0 上的 投影 直线方 程
为 解 : 设过直线的平面束方程 ( x y z 1) ( x y z 1) 0
1、对称式方程
直线的方向向量： 如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
z
s
M0
L
M
设M0 ( x0 , y0 , z0 )为L上一点 , o y s {m, n, p}为L的方向向量 , x 求L的直线方程 . 任取L上一点 M ( x, y, z ), 则M 0 M // s
解 : cos
1 2 ( 4) ( 2) 1 ( 1) 12 ( 4) 2 12
2 2 2 2 2 ( 2) ( 1) 2