高等数学-空间直线及其方程

的夹角的正弦。
i jk
解：L的一个方向向量
S2
1
0 1, 2,2
中法向量 n 1,1,1
011
则它们的夹角正弦为：
sin 11 1 2 1 2 1 111 12 22 22 3 3
例8：求过直线 L :
x 1 y 1 z 1 1 1 2
与平面
: x y 3z 15 0 的交点，且求垂直直线于与此平平面面交的点坐
向量。一条直线的方向向量有无穷多个，它们是相互
平行的。任一方向向量的坐标称为直线的一组方向数。
由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行
于已知直线，
所以，当已知直线L上一点 r
M0
(x,
y,
z)
和它的一方向向量 S m, n, p,直线L的位置就完全
确定了。
建立直线 L 的对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
高等数学(下)
第六节
第七章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
z o x
L 1 y 2
通过空间直线L的平面有无穷多个，其中任意两个
平面的方程联立而得到的方程组均可以表示同一直线
r uuuuuur S / / M0M1 ( x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 )
空间直线的两点式方程：x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
得直线L的参数式方程 :
x x0 mt y y0 nt z z0 pt
p
说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.
例如, 当 m 0, n 0, p 0 时,
直线方程为 x x0 0
y y0 n
z z0 p
• ( x0 , y0 )
当 m n 0, p 0 时,
直线方程为
x y
x0 y0
根据空间任两点可以唯一地确定一条直线
设直线 L上M0两(x个0,已y0知, z0点), M1(x1, y1, z1)
3
S //
n
z0 5
(1,1,3)
故所求直线L的方程为：L :
x3 y3 z5 1 1 3
3. 有轴平面束 (1) 过直线
L:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
的(有轴)平面束方程.
A1x B1y C1z D1
其中 为任意常数, A1, B1, C1 和 A2, B2 C2 不成比例.
所以yoz坐标面的法向量就直线L的方向向量。
而x轴上的基本单位向量
i
1,0,0
是yoz坐标面
的法向量。
S
i
1,0,0
所求直线L的方程：
x 2 y z 1 1 00
例3 一直线过点 A(1, 2,1)且垂直于直线
L1
:
x 1 3
y 2
z
1, 1
又和直线
L2
:
x 2
y
z 1
相交,求此直线方程 .
4
例为5：4 ,一求直直线线过L点的M方1程（。1，1，0）且与z轴相交，其夹角
过解点：M设1（直1线，L1与，z0轴）的，则交L点的为一M个2（方0向，向0，量z)S，由 于M直1M线2 L
S 0 1,0 1, z 0 1,1, z
又L与z轴的夹角为 , z 轴的一个方向向量为（0，0，1）
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) 平面 的法向量为 n (A, B ,C )
则直线与平面夹角 满足
︿ sin cos( s , n )
ns L
sn
Am Bn C p
sn
m2 n2 p2 A2 B2 C2
特别有:
(1) L
s // n
(2) L //
由于 是关于 x, y, z 的一次方程, 其为通过直线L的 平面. 可见,对于通过L的任一平面 (平面 2除外).
可适当选取 , 使 表示该平面.
表示通过直线L的所有平面 (平面 2除外).
例9.
求过直线
L:
x x
5y z4
z0 0
且与平面Π:
x 4y 8z 12 0 夹成 角的平面方程.
习题册 第七章第四节
cos z
4 1 2 z
所以L的方向向量
4
2
S
z
1,1,
2
2
或
S
1,1,－
2
所以直线L的方程
L : x 1 y 1 z 或 x－1 y 1 z
1 1 2
11 2
2. 直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直
线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;
当直线与平面垂直时,规定其夹角
L，因此直线L的方程不是唯一的。
例如：坐标面 x 0 和 y 0 都通过 z 轴，因此
方程组
x 0
y
0
是z 轴的一般式方程。
而平面 x y 0 和 x y 0 也通过 z 轴，因此
方程组
x y 0
x
y
0
也是 z 轴的一般式方程。
2. 对称式方程 凡是与直线平行的非零向量都称为直线的方向
直线方程。
x t 1
解：L的参数方程：
y
t
1
z 2t 1
标时，常用将直线方
程入交化平L点为面与坐参方解标数程。相为形的交式方x，,再法y则,代来z
将L的参数方程代入已知的平面方程中得：
(t 1) (t 1) 3(2t 1) 15 0 t 2
再代入L的参数方程中得：x0 3 y0
所求的直线L垂直于已知平面，则L中
t 为参变量
注意：空间直线的方程都是方程组形式。 空间平面方程是一个一次代数方程， 两者不同，不能混淆！
例1.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
y z 2 ,得 y 3z 6
y 0,
z 2
是直线上一点 .
再求直线的方向向量 s .
交已知直线的两平面的法向量为

例4. 求以下两直线的夹角 解: 直线 的方向向量为
L2
:
x y 2 0
x 2z 0
i jk
直线 的方向向量为 s2 1 1 0 (2, 2, 1)
二直线夹角 的余弦为
10 2
1 2 (4) (2) 1 (1)
cos
12 (4)2 12 22 (2)2 (1)2
从而
8
16
8
y0 7 , x0 7 , z0 7
AB
(
9
,
6
,
15
)
3
( 3,
2,
5)
77 7 7
由点向式得所求直线方程
x 1 y2 z 1
3
2 5
二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
设直线 L1 , L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
提示: 过直线 L 的平面束方程
其法向量为 n1 {1 , 5, 1 }.
已知平面π的法向量为 n {1, 4, 8}
n1
4
n
选择 使 cos n n1
4 n n1
3
4
从而得所求平面方程 x 20 y 7z 12 0.
可以证明平面 x z 4 0 与平面Π的夹角也为
作业
则 故有
设直线上的动点为 M (x, y, z)
s
M (x, y, z)
x x0 y y0 z z0
m
n
p
M 0 (x0 , y0 , z0 )
此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)
此方程中实际包含了两个平面方程
x x0 m
x x0
y y0 n
z z0
方程组中两个方程均为一次的平面方程. m
cos s1 s2
s1 s2
L1
s1
L2
s2
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
特别有:
(1) L1 L2
(2) L1 // L2
s1 s2 m1m2 n1n2 p1 p2 0
s1 // s2 m1 n1 p1 m2 n2 p2
sn
ABC mn p Am BnC p 0
例6. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面
垂
直的直线方程.
解: 取已知平面的法向量 n (2, 3, 1)
n
为所求直线的方向向量.
则直线的对称式方程为
x 1 y 2 z 4 2 3 1
例7 求直线 L :
2x y 1
y
z
0
与平面
:
x y z 1 0
s n1 , s n2 s n1 n2
i jk
s n1 n2 1 1 1 (4, 1, 3) 2 1 3
故所给直线的对称式方程为 x 1 y
t
4 1
参数式方程为
解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
例2：一直线L通过点M02,0,1, 且垂直于yoz坐标面。
求L的方程。 解： 因为L垂直于yoz坐标面，
解 利用所求直线与L2 的交点 .
设所求直线与L2 的交点为 B( x0, y0, z0 ),
L2
则有
x0 2
y0
z0 1
即
uuur
x0 2 y0 , z0 y0
而 AB (x0 1, y0 2, z0 1) L1
3( x0 1) 2( y0 2) (z0 1) 0
将 x0 2 y0, z0 y0 代入上式 , 得