第6章统计量及其抽样分布

2.
设 X ~ N(, 2)
，则 z X ~ N(0,1)
3. 令 Y z 2 ，则 y 服从自由度为1的2分布，即Y ~ 2(1)
4. 对于n个正态随机变量y1 ，y2 ，yn，则随机变量
n
5. 2 yi2
称为具有n个自由度的2分布，记 为~ 2(n)
i1
6 - 10
统计学 (第四版)
2 1.5 2.0 2.5 3.0
3 2.0 2.5 3.0 3.5
4 2.5 3.0 3.5 4.0
6 - 20
P(x) 0.3
0.2
0.1
0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
样本均值的抽样分布
统计学 (第四版)
样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析)
总体分布
0.3 P(x)
总体
样 本
6 -8
计算样本统计 量
例如：样本均 值、比例、方 差
统计学 (第四版)
第 6 章 统计量及抽样分布
6.3 由正态分布导出的几个重要分布
6.3.1 2 分布
6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 -9
统计学 (第四版)
6.3.1 2-分布
(2-distribution)
1. 由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨特 (Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson) 分别于1875年和 1900年推导出来
统计学 (第四版)
第 6 章 统计量抽样分布
6 -1
统计学 (第四版)
统计应用
城市居民收入如何估计?
在研究某城市居民家庭收入时，随机抽取 1000户进行调查。
在城市5个区各抽取250户
选定城市一个区，只从这一个区抽取1000 户
6 -2
统计学 (第四版)
第 6 章 统计量及抽样分布
§6.1 统计量 §6.2 关于分布的概念 §6.3 由正态分布导出的几个重要分布 §6.4 样本均值的分布与中心极限定理 §6.5 样本比例的抽样分布 §6.6 两个样本平均值之差的分布
6 -3
统计学 (第四版)
学习目标
1. 判断识别统计量 2. 区分正态分布导出的几个重要分布 3. 掌握样本均值的分布和中心极限定理
6 -4
统计学 (第四版)
§6.1 统计量
1.统计量的概念
设X1，X2，X3，...，Xn是从总体X中抽取的容量为n 的一个样本，如果由此样本构造一个函数T(X1，X2 ，X3，...，Xn)，不依赖于任何未知参数，则称函数 T(X1，X2，X3，...，Xn)是一个统计量。
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
x 的取值
= 2.5
6 - 21 σ2 =1.25
样本均值分布
x 2.5
2 x
0.625
统计学 (第四版)
样本均值的分布 与中心极限定理
当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有 容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的期
望值为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)
t (df = 13)
t 分布
x
t 分布与标准正态分布的比较
6 - 13
t (df = 5)
z
t
不同自由度的t分布
统计学 (第四版)
6.3.3 F-分布
(F distribution)
1. 为纪念统计学家费希尔(R.A.Fisher) 以其姓氏的第 一个字母来命名
2. 设若U为服从自由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V
样本均值和样本方差都是常用的统计量
6 -5
统计学 (第四版)
§6.1 统计量
2. 次序统计量
3. 充分统计量
6 -6
统计学 §6.2 关于分布的几个概念
(第四版)
抽样分布 精确，样本容量很小 渐近分布 样本容量无限增大时 随机模拟获得的近似分布 复杂问题
6 -7
统计学 (第四版)
抽样分布
(sampling distribution)
总体分布
.3 .2 .1 0
1
6 - 18
234
均值和方差
N
xi
i1 2.5
N
N
(xi )2
2 i1
1.25
N
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样本均值的分布
(例题分析)
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽 样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为
6 - 19
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
6.4 样本均值的分布与中心极限定理
6 - 16
统计学 (第四版)
样本均值的分布
1. 在重复选取容量为n的样本时，由样本均 值的所有可能取值形成的相对频数分布
2. 一种理论概率分布
3. 推断总体均值的理论基础
6 - 17
统计学 (第四版)
样本均值的分布
(例题分析)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4 。总 体的均值、方差及分布如下
2-分布
(性质和特点)
1. 期望为：E(2)=n， 方差为：D(2)=2n(n为自由度)
2. 可加性：
若U和V为两个独立的2分布随机变量， U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变量服从 自由度为n1+n2的2分布
3. 当 n 时， 2分布的极限分布是正态分布
6 - 11
统计学 (第四版)
为服从自由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相
互独立，则
F
U
n1
V n2
称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为
F ~ F (n1, n2 )
6 - 14
统计学 (第四版)
不同自由度的F分布
(1,10)
(5,10) (10,10)
F
6 - 15
统计学 (第四版)
6 统计量及其抽样分布
不同自由度的2-分布
n=1 n=4
n=10
n=20
6 - 12
2
统计学 (第四版)
6.3.2 t-分布
(t-distribution)
1. 提出者是William Gosset，也被称为学生分布(student’s t)
2. t 分布是类似正态分布的一种对称分布，通常要比正态分 布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参 数。标准随正着态分自布 由度的增大，分布也标逐准渐正态趋分于布正态分布
第一个
第二个观察值
观察值
1
2
3
4
1
1,1
1,2
1,3
1,4
2
2,1
2,2
2,3
2,4
3
3,1
3,2
3,3
3,4
4
4,1
4,2
4,3
4,4
统计学 (第四版)
样本均值的分布
(例题分析)
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
16个样本的均值（x）
第一个
第二个观察值
观察值 1
2
3
4
1 1.0 1.5 2.0 2.5