牛顿迭代法论文

二 .牛顿迭代法的分析
2.1 牛顿迭代法的思想
多数情况下是得不到一般数学方法所需的函数表达式，或难以找到原函数。 线性方程组的求解更是让人望而生畏，往往因为计算机工作量太大而无法实施。 对这些问题，都可以利用数值方法来求解，在计算机中实现的数值方法也称为数 值算法。牛顿迭代法是数值分析中一个重要的计算方法和思想。迭代法的主要功 能：计算方程时可以比较快速。
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由此得一次方程
求解，得
f (x0 ) (x x0 ) f (x0 ) 0
图 1 牛顿迭代法示意图
x1
x0
f (x0 ) f (x0 )
如图 1 所示，x1 比 x0 更接近于 x*。该方法的几何意义是：用曲线上某点（x0，y0）的切线
代替曲线，以该切线与 x 轴的交点（x1，0）作为曲线与 x 轴的交点（x*，0）的近似（所以
O
x* x1 x0
x
过程，将方程 f(x) = 0 在 x1 处局部线性化计算出
x2，求得近似解 x2，……。详细叙述如下：假设方程的解 x*在 x0 附近（x0 是方程解 x*的近
似），函数 f(x)在点 x0 处的局部线化表达式为 f (x) f (x0 ) (x x0 ) f (x0 )
在工程实践中，有许多问题往往归结为求一元非线性方程的实根、求函数 的定积分、求线性方程组的解等。而即使对于求一元方程实根这类问题，也只有 在少数简单的情况下，才可以用传统的方法得到根的数学表达式。对于需要计算 定积分的问题，便的计算出来结果但并不影响计算出来结果的精确度，运用于多 种工业设计和数学设计方面。
牛 顿 迭 代 法 用 到 导 数 f'(x), 但 有 时 求 导 困 难 ， 如 果 导 数 用 差 商 (y2-y1)/(x2-x1)逼近,便是一种快速的截弦法。取两个x值作试探,判断f(x)是否 副近于0,如果f(x)不理想,用经过(x1,y1)、(x2,y2)的直线(截弦)代替f(x)求根， 近似根x外推=x1-(x2-x1)*y1/(y2-y1)，此x靠性会更好些。求根过程:是叠代过 程，即由(x1,x2)→f(x1)、f(x2)、f(x中)或f(x外推)→(X1,X2)，大写X1,X2就 是下一轮计算的小写x1,x2，二分法、截弦法、牛顿迭代法计算公式不同，一个 用中值外推，后二者用直线外推，二者用直线外推，但它们计算过程几乎相同， 具体程序详见本源代码。对截弦法而言，x1,y1是起点，x2,y2直的控制点，，x1,y1 是起点，x2,y2直的控制点，x2不能与x1相等，否则直线画不出来，但x1与x2应
牛顿迭代法又称为切线法）。设 xn 是方程解 x*的近似，迭代格式
xn1
xn
f (xn ) f (xn )
( n = 0，1，2，……)
就是著名的牛顿迭代公式，通过迭代计算实现逐次逼近方程的解。牛顿迭代法的最大优点是 收敛速度快，具有二阶收敛。
三 牛顿迭代求根的方法...................................................................................7 四 牛顿迭代法具体例子的实现..............................................................................7 伍 牛顿迭代法的收敛性..........................................................................................10 六、迭代求根应注意的事项..........................................................百度文库....................10 七、 参考文献.......................................................................................................11 八 附录.c语言代码...........................................................................................13
二 牛顿迭代法的分析........................................................................................4
2.1 牛顿迭代法的思想............................................................................................4 2.2 牛顿迭代法的要求............................................................................................5 2.3 牛顿.迭代法.......................................................................................................6
2.2 牛顿迭代法的要求
牛顿迭代法方法简单，每次迭代都是简单的重复运算，易于编制程序；与 求解线性方程的精确法相比，简单迭代法对于字长位数较少的计算机更为适用， 它可以用增加迭代次数来弥补字长位数少的不足.初值可以任取，因而中间结果 偶然错误不影响最后结果的获得。缺点：迭代速度较慢。
2.3 牛顿迭代法
关键字: 牛顿 迭代 方程 根 算法
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一 .牛顿迭代法简介
1.1 牛顿迭代法的产生背景 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），
它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求 根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方 法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重 要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来 求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广 泛用于计算机编程中。 1.2 牛顿迭代法的概述
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题目:
牛顿法---插值方法
摘要: 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson
method），它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方 法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找 方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大 优点是在方程 f(x) = 0 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程 的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方 法广泛用于计算机编程中。牛顿迭代法是一个重要的计算方法和思想。牛顿迭代 法的主要功能：计算方程时可以比较快速方便的计算出来结果但并不影响计算出 来结果的精确度，运用于多种工业设计和数学设计方面.
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尽量靠近，远了作出的直线准确度下降。在求根过程中会用到牛顿迭代伪代码： 牛顿迭代法伪代码: x1=-2,y1=f(x1) x2=-2,y2=f(x2) while(){//循环 x=x1-(x2-x1)*y1/(y2-y1),y=f(x) 如果|x-x2|<0.01或y为0则跳出循环 x1=x2,y1=y2 x2=x,y2=y
1.牛顿迭代法
方法的基本思路是利用一个根的猜测值 x0 做
初始近似值，使用函数 f(x)在 x0 处的泰勒级数展
y
式的前两项做为函数 f(x)的近似表达式。由于该表
达式是一个线性函数，通过线性表达式替代方程
f(x) = 0 中的 f(x)求得近似解 x1。即将方程 f(x) =
0 在 x0 处局部线性化计算出近似解 x1，重复这一
目录
一 牛顿迭代法的简介........................................................................................4
1.1 牛顿迭代法的产生背景......................................................................................4 1.2 牛顿迭代法的概述...............................................................................................4 1.3 牛顿迭代法的优点..............................................................................................4
1.3 牛顿迭代法的优点
迭代法是求方程近似根的一个重要方法，也是计算方法中的一种基本方法， 它的算法简单，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。牛顿 迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具
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有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。牛顿法是方程求根的一 个有力方法，常常能快速求出其他方法求不出或者难以求出的解。假定有一个函 数y=f（x），方程f(x)=0在 x = r 处有一个根，对于此根，先估计一个初始值 Xo （可以是猜测的）。得到一个更好的估计值X1。为此f(X)=Xo处作该曲线的切线， 并将其延长与 x 轴相交。切线与x轴的交点通常很接近 r ，我们用它作为下一 个估计值X1，求出X1后，用X1代替Xo。重复上述过程，在x=X1处作曲线的另一条 切线，并将其延长至与x轴相交，用切线的x轴截距作为下一个近似值X2……这样 继续下去，所得出的这个x轴截距的序列通常迅速接近根r。
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方 法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找 方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数 f(x)的泰勒级数的前面几项来寻 找方程 f(x) = 0 的根。设 r 是 f(x) = 0 的根，选取 x0 作为 r 初始近似值，过 点（x0,f(x0)）做曲线 y = f(x)的切线 L，L 的方程为 y = f(x0) f'(x0)(x-x0)， 求出 L 与 x 轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称 x1 为 r 的一次近似值。 过点（x1,f(x1)）做曲线 y = f(x)的切线，并求该切线与 x 轴的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称 x2 为 r 的二次近似值。重复以上过程，得 r 的近似值序列， 其中 x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为 r 的 n+1 次近似值，上式称为牛顿 迭代公式。解非线性方程 f(x)=0 的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方 法。把 f(x)在 x0 点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－ x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程 f(x) = 0 的近似方程， 即泰勒展开的前两项，则有 f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 设 f'(x0)≠0 则其解 为 x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－ f(x(n))/f'(x(n))。