卡诺图的研究与应用

二、卡诺图的构成
卡诺图是由表示逻辑变量的所有可能取值组合的小方格所构成的图形，是真值表的特殊形式。它把函数中的变量分为两组构成二维图表。第一组变量的所有组合值安排在左列；第二组变量的所有组合值安排在最上行。行、列两组变量组合值所构成的每个小方格即为这些变量的乘积，亦即最小项。最小项是逻辑函数的标准形式，其定义为：对于一个给定变量数目的逻辑函数，所有变量参加相“与”的项叫做最小项。在最小项中，每个变量只能以原变量或反变量出现一次。例如：
在设计逻辑电路的过程中，会遇到某些最小项的取值是可以任意的，或者说某些最小项在电路的运行过程中根本不会出现，称这些最小项为约束项或无关项。
注意：在运用卡诺图化简包含无关项的逻辑函数时，如果该方格表示的最小项是约束项，可在该方格内填入“╳”，表示取1或0均可。具体取值可根据化简需要而定。
例2：化简函数 , , , ∑ （3，7，8），且约束项为∑ （1，2，6，9，10，12）上式中对应于最小项为 , ， ，而
一、卡诺图的简介
组合电路逻辑关系的图形表示法可以追溯到英国逻辑学家约翰·维恩（John Venn）1881年发明的在集合论中处理集合间逻辑关系的文氏图，爱德华·维奇（Edward Veitch）在1952年将文氏图中的圆形改画成矩形而发明了维奇图。但这些图都不如美国贝尔实验室的电信工程师莫里斯·卡诺（Maurice Karnaugh）在1953年根据维奇图改进的卡诺图。卡诺图又称 图，它比代数法形象直观，易于掌握，只要熟悉一些简单规则，便可十分迅速地将函数化简为最简式。卡诺图法是逻辑设计中一种十分有用的工具，在电路设计、数字逻辑、故障诊断等许多领域中应用广泛。
七、卡诺图的基本运算
（一）卡诺图相加
两卡诺图相加，表示它们代表的两个函数相加，如图1-8所示。
证明：
由此可见，卡诺图相加的规律是：变量相同的两个卡诺图相加，凡两图相同位置有一个或两个是“1”的格，在和的卡诺图中相同位置保留一个“1”，两图相同位置全是“0”的格，在和的卡诺图中相同位置填“0”。
（二）卡诺图相乘
两卡诺图相乘，表示它们代表的两个函数相乘，如图1-9所示。
证明：
根据最小项性质，可知 。所以：
由此可见两卡诺图相乘的规律是：变量相同的两卡诺图相乘，只有两图中相同位置全是“1”格才被保留在积的卡诺图中。
八、卡诺图其它方面的应用
（一） 利用卡诺图求反函数
一般情况下，运用卡诺图求反函数应该遵循的原则是：将原函数卡诺图中每格取反后填入新图，即1变0，0变1。如果有约束项则不变。
例3：已知 ，求 。
解：首先画出已知函数的卡诺图，如图1-10所示。
根据1变0，0变1原则，可得图1-11所示结果，直接可得出其反函数为： 。
（二）逻辑电路中竞争冒险的检查与消除
1.逻辑冒险的检查
在组合电路中，当输入信号改变时，输出端可能出现虚假信号——过度干扰脉冲的现象，叫做竞争冒险。运用卡诺图法检查逻辑竞争冒险的方法是：首先在卡诺图上标示出该函数的所有与项合并圈，如果在卡诺图上存在两合并圈相切（两合并圈相邻但不相交），说明该电路可能产生冒险。如图1-12所对应的逻辑电路图1-13所示，就有可能产生冒险。
对应的约束项为 ， ， ， ， ， 。其中约束项的函数值不定。若不利用约束项化简，如图1-6所示，可得 。
若利用约束项化简，根据约束项的性质和化简的需要，把约束项 ， 和 都取1，把约束项 ， 和 都取0。如图1-7所示，可得 。
由此可见，在卡诺图化简逻辑函数过程中，
合理利用约束项可使逻辑函数进一步简。
2.逻辑冒险的消除
一般情况下，采用增加冗余项的方法来消除逻辑冒险。在函数的卡诺图上增加一个合并圈。即在卡诺图上将相切的合并圈内两相邻最小项圈起来，如图1-14所示。这样就增加了冗余项BC，相应的逻辑表达式变为 ，很显然，增加冗余项后，并不改变原有的逻辑关系。当B=C=1时，输出Y始终为1，不再产生冒险。其逻辑图如图1-15。
另外，要注意在卡诺图中除了相邻的方格为相邻项外，与中轴线对称的方格也是逻辑相邻项。如 与 ， 与 等。
与项最少原则：卡诺图的数量最少。画圈时，应该使每个圈中至少包含一个没有被其它围圈所圈过的方格。
如下图1-5中（a）、（b）、（c）、（d）所示的画卡诺圈的方法，请读者体会其画法。
六、具有约束项的逻辑函数的化简
函数式可直接用卡诺图表示。
例1：将 用卡诺图表示。
我们逐项用卡诺图表示，然后再加起来即可。
：在 ， 对应的方格（不管 ， 取值），得 、 、 、 ，在对应位置填1；
：在 ， 对应的方格中填1，即 、 、 、 ；
：在 ， 所对应的方格中填1，即 、 ；
：在 ， 所对应的方格中填
1，即 、 ；
：在 所对应的方格中填1，即 。
五、卡诺图化简的步骤
（1）将函数表示在卡诺图上。
（2）以 个相邻“1”方格画圈合并最小项，没有相邻项的方格自己单独画圈，将每个圈所统辖的公共变量写成“与”项。
（3）将每个卡诺圈所得的结果相加，即得化简后的逻辑函数。
注意运用以下“两个最少”原则：
变量最少原则：包围圈要尽可能的大。画圈时，用过的方格根据需要可以多次再用。
哈尔滨师范大学
学 年 论 文
题目卡诺图的研究与应用
学生夏亮亮
指导教师赵庆明副教授
年级2010级
专业电子信息科学与技术
系别光电工程系
学院物理与电子工程学院
哈尔滨师范大学
2013年5月
论 文 提 要
对数字电路的分析与研究成为电子工程技术人员必须掌握的知识，卡诺图是重要的分析工具。卡诺图直观形象、易于掌握，是数字电路的基本知识。本文针对卡诺图，作出了更为系统的介绍分析，使人们对卡诺图的认识更为直接化、系统化。当然希望大家能够了解卡诺图、应用卡诺图、研究出卡诺图更多的应用。
随着数字技术的快速发展，现代电子设备已经从模拟化向数字化转变。目前，大多数电路只在信号采集、微弱信号放大、高频大功率输入等局部采用模拟电路，其余部分广泛采用数字技术及数字处理电路。因此，对数字电路的分析与研究成为电子工程技术人员必须掌握的知识。在数字电子技术中数字逻辑电路的设计是非常重要的，而卡诺图在逻辑电路设计中又起到非常重要的作用，所以本文对卡诺图作出进一步的分析与讨论。
（三）时序数字电路中触发器特征方程的求法
1.利用卡诺图求主从JK触发器特征方程
主从JK触发器逻辑功功能表如表1-1所示。
J
K
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
由表所示的逻辑功能得到触发器次态卡诺图，如图1-16所示。
由此可得到主从JK触发器的特征方程：
2.利用卡诺图求主从RS触发器特征方程
其它空格不填或填0，如图1-3所示。
四、卡诺图化简的基本原理
卡诺图化简函数所依据的基本原理就是相邻的最小项可以合并，并消去不同的因子。卡诺图的方格是以循环码排列的，因此，在几何位置上相邻的最小项方格，它们在逻辑上也必相邻。所以用卡诺图化简函数的基本方法就是合并相邻最小项。在卡诺图上，这种合并过程是用画圈来表示。在图1-4所示的卡诺图中，2号和6号方格内都是1，这两个相邻的最小项可以合并，即 + = + = = 。因此，将这两个1方格圈起来，表示可以合并，如图中的圈①所示，把这种合并最小项的圈叫做卡诺圈。同理，可得圈②： + = + = 。
一个变量 有2个最小项： 、 ；
两个变量 、 有4个最小项： 、 、 、 ；
一个变量 、 、 有8个最小项： 、…、 。
以此类推，4变量 、 、 、 共有 个最小项， 变量共有 个最小项。
将这些小方格以循环码顺序排列（即满足最小项按相邻项排列），就可以构成 个变量的卡诺图。图1-1中（a）、（b）、（c）分别给出了2～4变量的卡诺图。
[3]江晓安：数字电子技术，西安电子科技大学出版社，1993年版。
[4]刘勇：数字电路设计完全手册，国防工业出版社，2004年版。
[5]朱昕昭：逻辑函数卡诺图化简研究，河北大学学报，1999第19期。
卡诺图的研究与应用
夏亮亮
摘 要：卡诺图形象直观，易于掌握，在数字电路中应用广泛，很多课本都很零散地作了介绍，而且是本着用到提到，不用不提的思想。为此，本文针对卡诺图作出了较为系统的总结，并对卡诺图的一些重要应用作了介绍。通过系统总结，可以让读者更为直观，全面的认识卡诺图，了解卡诺图，应用卡诺图。
关键词：图像法 直观形象 简单快捷
将表1-2所示的逻辑功能填入触发器次态卡诺图，如图1-17所示。

R
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
不定
1
1
1
不定
经化简可得到主从RS触发器的特征方程： 。
参考文献：
[1]余孟尝：数字电子技术基础简明教程，高等教育出版社，2006年版。
[2]董传岱：数字电子技术，石油大学出版社，2001年版。
由上可以看出，随着输入函数逻辑变量个数的增加，图形变得十分复杂，所以卡诺图一般用于五变量以内。
三、逻辑函数的卡诺图表示法
若将逻辑函数式化为最小项表达式，则可在相应变量的卡诺图中，表示出这个函数。如 ，在卡诺图相应的位置填上1，其余填0或不填，上述函数用卡诺图表示如图1-2所示。如逻辑函数式是一般式，则应先展开成最小项标准式。实际中，待熟练后，一般