卡诺图化简所应用的逻辑代数原理与方法

卡诺图化简所应用的逻辑代数原理与方法

kamaugh map Simplification of the application

of principles and methods of algebraic logic

【摘要】逻辑代数卡诺图化简是数字电子技术的一个重要内容，本文讨论了卡诺图化简逻辑代数的化简原理以及基本方法。卡诺图利用了格雷码的循环相接性质进行化简，采用画卡诺圈进行逻辑合并。

【关键词】逻辑代数；卡诺图；化简

【Abstract】Simplifying logic function by kamaugh map is an important content of digital electronic technique. This paper explores the principle and basic methods of Simplifying logic function by kamaugh map.K-map use the cycle phase nature of the Gray code to simplifying logic function and use carnot cycle to merge logic.

【Key Word】Logic Function;Karnaugh Map;Simplifying

引言

在ASIC设计和基于PLD的设计中，最小化都是一个重要的步骤。多余的门和门输入端需要更多的面积，从而增加了成本。但是在杂乱的代数符号中找出可结合的项是困难的。卡诺图是逻辑函数真值表的图形表示，是一种更适于人工操作的最小化方法，其出发点是对真值表进行图形等效，它是通过一种直观形象、易于操作的方式来实现逻辑代数化简。

一、卡诺图化简的相关概念

1、最小和：逻辑函数F的最小和是F的一个“积之和”表达式，F的其它“积之和”表达式不会比最小和最小和式中的乘积项更少。

2、主蕴含项定理：最小和是主蕴含项之和。

3、奇异“1”单元：是一个仅被单一主蕴含项覆盖的输入组合。

4、质主蕴含项：是覆盖一个或多个奇异“1”单元的主蕴含项。

5、蕴涵项：在函数的“与-或”表达式中,每个“与”项被称为该函数的蕴涵项

二、卡诺图的构成及化简的原理

1、卡诺图是一种平面方格阵列图，n个变量的卡诺图由2n个小方格构成。卡诺图是真值表图形化的结果，n个变量函数的真值表是用2n行的纵列依次给出变量的2n种取值，每行的取值与一个最小项对应；而n个变量函数的卡诺图是用二维图形中2n个小方格的坐标值给出变量的2n种取值，每个小方格与一个最小项对应。

2、格雷码具有循环邻接的特性，而将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。卡诺图上上下左右在几何上相邻的方格内只有一个

因子有差别，且同一幅卡诺图中分别处于行(或列)两端的小方格也只有一个因子的差别，满足循环邻接的特性。这样一来我们可以从图形上直观地找出相邻最小项合并。合并的理论依据是并项定理AB+AB’=A,即两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。

例如:四变量最小项ABCD、ABC’D、A’BC’D、A’BCD，其中ABCD和ABC’D 相邻，可以合并为ABD；A’BC’D和A’BCD相邻，可以合并为A’BD；而与项ABD和A’BD又为相邻与项，故按同样道理可进一步将两个相邻与项合并为BD。所以有：

F=ABCD+ABC’D+A’BC’D+A’BCD=BD；

这样一来用卡诺图化简逻辑函数的基本原理就是把上述逻辑依据和图形特征结合起来，通过把卡诺图上表征相邻最小项的相邻小方格“圈”在一起进行合并，达到用一个简单“与”项代替若干最小项的目的。通常把用来包围那些能由一个简单“与”项代替的若干最小项的“圈”称为卡诺圈。

三、卡诺图化简的方法

利用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下

1、将逻辑函数写成最小项表达式

2、按最小项表达式填卡诺图，凡式中包含了的最小项，其对应方格填1，其余方格填0。

3、合并最小项

我们最常用的方法是“圈1法”（要画必要且最大的卡诺圈），其基本原则如下:

a包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形(包括正方形)，并且要包含所有的最小项。

b几何相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻(必须同时为1)。

c 同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。

d一个包围圈的方格数要尽可能多(以保证化简后的乘积项最简),包围圈的数目要尽可能少(以保证化简后的乘积项数量最少)。

4、将所有包围圈对应的乘积项相加得出表达式。

相应的乘积项的变量可以直接从卡诺图中确定，每个变量的确定原则如下：

a如果圈线只覆盖图中变量为0的区域，则变量在乘积项中求反。

b如果圈线只覆盖图中变量为1的区域，则变量在乘积项中不求反。

c如果圈线覆盖图中变量为0和1的区域，则在乘积项中不出现。

5、无关项的处理

无关项可取1可取0，用d来代表，具体以实际情况来定。

四、实用举例

例一：如图的卡诺图，进行化简。

第一，合并最小项

按照上述的原则，图2可画出a、b、c、d四个包围圈，a区是把同一行的左、右两侧及同一列的上、下端看作邻接。

第二，将每个包围圈的逻辑表达式进行逻辑加。

根据保留圈内最小项的相同变量，除去不同变量的化简规律②，对于a区，变量A、C取值均有变化，所以消去A、C变量，变量B、D取值无变化应保留，因此该圈化成的最简项为B ’D’。对于b区，变量A、C、D取值不变应保留，变量B取值变化，因此消变量B，该圈化简的最简项为A’C’D’。对于c区，变量B、D取值均有变化，可消去B、D变量，变量A、B取值不变，应保留，因此该圈化成的最简项为AC。同理d圈化成的最简项为A B，因此

F=Fa+Fb+Fc+Fd=B’D’+A’C’D’+AC+A’B’

就是简化后的最简逻辑表达式。

综上所述，用卡诺图法化简可以比较简便地得到最简的逻辑表达式，同时，对于给定的逻辑函数，可不必先化其为最小项表达式，而通过一定的观察直接填出其卡诺图，然后利用“圈1法”圈出正确的方格组，最后再根据除去圈内不同的化简规律就可写出简化后的最简逻辑表达式。

例2：当8421BCD码其代表的十进制数≥5时，输出为“1”，求Y的最简表达式。

A B C D Y

0 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 1 0 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 ⨯

1 0 1 1 ⨯

1 1 0 0 ⨯

1 1 0 1 ⨯

1 1 1 0 ⨯

1 1 1 1 ⨯