数电补充内容——卡诺图的应用

2.8 卡诺图其他的应用
2.8.1 通过卡诺图生成逻辑函数真值表
由于卡诺图与真值表完全等效，两者仅仅是形态的不同，而四个变量以内的卡诺图很容易制作。

因此，以后不再使用逻辑运算法则求解四个变量以内的逻辑函数的真值表。

例如，画出逻辑函数Y=BC C A AB ++的真值表
引申——前面曾经提到“如果两个逻辑函数代数式的真值表相同，则这两个逻辑函数代数式等效”，因此对于四个变量以内的逻辑函数来说，可引申为“如果两个逻辑函数的卡诺图相同，则这两个逻辑函数代数式等效”。

2.8.2 通过卡诺图生成逻辑函数的标准“与—或”式
基于卡诺图中取值为1的最小项就是逻辑函数标准“与—或”式中的项，因此以后也不再利用A A +=1，A+A=A 等基本逻辑公式获取逻辑函数的标准“与—或”式。

例如，写出逻辑函数Y=BC C A AB ++的标准“与—或”式。

2.8.3 通过卡诺图生成逻辑函数Y 最大项积的形式
方法：先画出逻辑函数Y 的卡诺图→写出反函数Y 的标准“与—或”式→利用摩根定理将其中的最小项转化为或非式→再取反→再利用摩根定理去掉非号即可。

例如，写出逻辑函数Y=BC C A AB ++的最大项积形式。

(1) 逻辑函数Y 卡诺图如下： 00
01
1011
1
0A B C
1111
(2) 写出反函数Y 的标准“与—或”式
Y =C B A C B A C B A C B A +++ =A +++(在每个项上添加两个非号)
=B C B C A +++++++++(摩根定理)
(3) 两边取反得 Y=C B A C B A C B A C B A +++++++++++
=)B ()C B ()C A ()C B A (++∙++∙++∙++
2.8.4 利用卡诺图获得几种常用逻辑函数的最简式(P38页内容补充及整理)
通过卡诺图化简获得逻辑函数Y 最简“与—或”式不是目的，而是为了获得最简“与非—与非”式、最简“或非—或非”式以及最简“与或非”式。

原因是在逻辑门电路中只生产与非门、或非门及反相器。

1. 最简“与非—与非”式
[概念]逻辑函数“与非—与非”式特征：不同变量组合先与后非，再与再非，如 Y=C A AB ∙
最简“与非—与非”式特征：非号个数最少，且非号下乘积项中变量个数也达到最少，总之要求与非门输入端的个数达到最少。

求解逻辑函数Y=F(A,B,C,D)最简“与非—与非”式步骤：先画出逻辑函数Y 的卡诺图→求出函数Y 的最简“与—或”式→添加两个非号(取反再取反) →利用摩根定理去掉下面的非好即可。

例如，求Y=BC C A AB ++的最简“与非—与非”式
(1) 逻辑函数Y 卡诺图如下： 00
01
1011
1
0A B C
1111
(2) 由卡诺图可得Y 的最简与或式
Y=C A AB +
=C A AB +(添加两个非号)
=C A AB ∙(利用摩根定理，去掉下面的非号)
[目的] 获得最简“与非—与非”式后就可以用输入端个数最少的与非门电路实现逻辑函数的功能，如
G1G2
G3A
B
A C Y
2. 最简“与或非”式
[概念]逻辑函数“与或非”式特征：不同变量组合先与后或再非，如 Y=C A B A +
最简“与或非”式特征：或项数最少，且每一个与项变量个数也达到最少。

求解逻辑函数Y=F(A,B,C,D)最简“与或非”式的步骤：先画出逻辑函数Y 的卡诺图→写出反函数Y 的最简“与—或”式→取反即可。

例如，求函数Y=BC C A AB ++的最简“与或非”式
(1) 画出Y 的卡诺图 00
01
1011
1
0A B C
1111
(2) 在卡诺图上求出反函数Y 的最简与或式 00011011
10A B
C
11110000
=C A B A +
取反得：
Y=C A B A +
3. 最简“或非—或非”式
[概念]逻辑函数“或非—或非”式特征：不同变量组合先或后非，再或非，如
Y=B A C A +++
最简“或非—或非”式特征：非号个数最少，且非号下或项中变量个数也要达到最少，总之要求或非门输入端的个数达到最少。

求解逻辑函数Y=F(A,B,C,D)最简“或非—或非”式步骤：先画出逻辑函数Y 的卡诺图→求出反函数Y 的最简“与—或”式→利用摩根定理将其中的“与”项转化为或非形式→再取反即可。

例如，求函数Y=BC C A AB ++的最简“或非—或非”式
(1) 画出Y 的卡诺图 00
01
1011
1
0A B C
1111
(2) 在卡诺图上求出反函数Y 的最简与或式 00011011
10A B
C 11110000
=C A B A +
=C A B A +(在每个与项上添加两个非号)
=C A B A +++(利用摩根定理去掉下面的非号，变成“或非”式
(3) 两边再取反，即可获得最简“或非-或非”式
Y=C A B A +++
[目的] 获得最简“或非—或非”式后就可以用输入端个数最少的或非门电路实现逻辑函数的功能，如 G1G2G3A
C
A
B
Y
当逻辑函数Y 不是以“与或”形式出现时，可利用相关逻辑运算法则将逻辑函数Y 转换成Y 或反函数Y 的与或形式，再利用上面方法即可获得相应的最简式。

例1 求逻辑函数Y=C A BC AB ∙∙的最简“与非—与非”式。

Y=C A BC AB ∙∙
=C A BC AB ++(利用摩根定理)
例2 求逻辑函数Y=B A C B C A ++的最简“与非—与非”式。

两边取反，得反函数
Y =B A C B C A ++ 画出反函数Y 的卡诺图 00
01
1011
1
0A B C
1111
在Y 卡诺图上，取值为0的最小项就是函数Y 的最小项 00
01
10111
0A B C
0000
∴Y=C A AB +
=C A AB +(添加两个非号)
=C A AB ∙(利用摩根定理，去掉下面的非号)
例3 求逻辑函数Y=B A C B C A +++++的最简“与非—与非”式。

两边取反，得反函数 Y =B A C B C A +++++
=B A C B C A ++(摩根定理)。