河南省中考数学23题汇总
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请直接写出相应的t值.
（2010年）23．（11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A ，B ，C 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线 上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
= ……………………7分
当2＜t≤5时（如图乙），OM＝t－2,
∴s= =
= …………………………8分
（注：若将t的取值围分别写为0≤t≤2和2≤t≤5,不扣分）
2存在s＝4的情形。
当s＝4时， ＝4
解得t1=1+ , t2=1- 秒。 …………………………10分
3当MN⊥x轴时，△MON为直角三角形，
2008-2013年省中考数学第23题汇总
（2008年）23．（12分）如图，直线y= 和x轴、y轴的交点分别为B，C。
点A的坐标是（－2,0）
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从点A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动，设点运动t秒时，△MON的面积为s。
在Rt△OBC中，∵OC＝4，OB＝3，∴BC＝5。
又A（－2,0），∴AB＝5，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形。………………4分
（2）∵AB=BC=5，故点M、N同时开始运动，同时停止运动。
过点N作ND⊥x轴于D ，
则ND＝NB●sin∠OBC＝ ，
1当0＜t＜2时（如图甲）
OM＝2－t,
∴s= =
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，
以O、C、P、F为顶点的四边形是平形四边形？
请说明理由．
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写
出相应的点P的坐标．
答案
2008年
解：（1）将y=0代入y= ,得到x=3,∴点B的坐标为（3,0）；
将x=0,代入y= ,得到y=4, ∴点C的坐标为（0,4） …………2分
∴DE：PE：PD=3∶4：5.…………………………………………………………………5分
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，
∴PD=yP-yD
= .………………………………………………………………………6分
∴
…………………………………………………………………7分
……………………………………8分
②满足题意的点P有三个，分别是
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.
2012
（2013年）23．（11分）如图，抛物线 与直线 交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3， ），点P是y轴右侧的抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F。
1求s与t的函数关系式；
2当点M在线段OB上运动时，是否存在s=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在，说明理由；
3在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值。
(2009年)23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
（2011年）23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
8=16a+4b
得
0=64a+8b
解 得a=- ,b=4
∴抛物线的解析式为：y=- x2+4x…………………3分
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE= = ,即 =
∴PE= AP= t．PB=8-t．
∴点Ｅ的坐标为（4+ t，8-t）.
∴点G的纵坐标为：- （4+ t）2+4(4+ t）=- t2+8.…………………5分
……………………………………………………………11分
【解法提示】
当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即 ，解得 ，所以
当点F落在y轴上时，同法可得 ，
（舍去）.
2012年
2013年
23.（11分）
（1）∵直线 经过C，∴C点坐标为（0，2）
∴EG=- t2+8-(8-t)
=- t2+t.
∵- ＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.…………………7分
②共有三个时刻.…………………8分
t1= ，t2= ，t3= ．…………………11分
2010年
2011年
23.（1）对于 ，当y=0，x=2.当x=-8时，y=- .
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为 …………………………………………1分
MB＝NB●COS∠MBN＝ ，又MB＝5－t.
∴ =5-t,∴t= ………………11分
当点M，N分别运动到点B，C时，△MON为直角三角形，t=5.
故△MON为直角三角形时，t= 秒或t＝5秒 …………12分
2009年
23.(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分
将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx
由抛物线 经过A、B两点，得
解得 ……………………Байду номын сангаас…………………3分
（2）①设直线 与y轴交于点M
当x=0时，y= . ∴OM= .
∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2.∴AM= ……………………4分
∵OM：OA：AM=3∶4：5.
由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM～△PED.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD
向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
（2010年）23．（11分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A ，B ，C 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线 上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
= ……………………7分
当2＜t≤5时（如图乙），OM＝t－2,
∴s= =
= …………………………8分
（注：若将t的取值围分别写为0≤t≤2和2≤t≤5,不扣分）
2存在s＝4的情形。
当s＝4时， ＝4
解得t1=1+ , t2=1- 秒。 …………………………10分
3当MN⊥x轴时，△MON为直角三角形，
2008-2013年省中考数学第23题汇总
（2008年）23．（12分）如图，直线y= 和x轴、y轴的交点分别为B，C。
点A的坐标是（－2,0）
（1）试说明△ABC是等腰三角形；
（2）动点M从点A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，当其中一个动点到达终点时，它们都停止运动，设点运动t秒时，△MON的面积为s。
在Rt△OBC中，∵OC＝4，OB＝3，∴BC＝5。
又A（－2,0），∴AB＝5，∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形。………………4分
（2）∵AB=BC=5，故点M、N同时开始运动，同时停止运动。
过点N作ND⊥x轴于D ，
则ND＝NB●sin∠OBC＝ ，
1当0＜t＜2时（如图甲）
OM＝2－t,
∴s= =
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，
以O、C、P、F为顶点的四边形是平形四边形？
请说明理由．
（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写
出相应的点P的坐标．
答案
2008年
解：（1）将y=0代入y= ,得到x=3,∴点B的坐标为（3,0）；
将x=0,代入y= ,得到y=4, ∴点C的坐标为（0,4） …………2分
∴DE：PE：PD=3∶4：5.…………………………………………………………………5分
∵点P是直线AB上方的抛物线上一动点，
∴PD=yP-yD
= .………………………………………………………………………6分
∴
…………………………………………………………………7分
……………………………………8分
②满足题意的点P有三个，分别是
②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG.随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标.
2012
（2013年）23．（11分）如图，抛物线 与直线 交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3， ），点P是y轴右侧的抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F。
1求s与t的函数关系式；
2当点M在线段OB上运动时，是否存在s=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在，说明理由；
3在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值。
(2009年)23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
（2011年）23. （11分）如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为－8.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E.
①设△PDE的周长为l，点P的横坐标为x，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值；
8=16a+4b
得
0=64a+8b
解 得a=- ,b=4
∴抛物线的解析式为：y=- x2+4x…………………3分
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE= = ,即 =
∴PE= AP= t．PB=8-t．
∴点Ｅ的坐标为（4+ t，8-t）.
∴点G的纵坐标为：- （4+ t）2+4(4+ t）=- t2+8.…………………5分
……………………………………………………………11分
【解法提示】
当点G落在y轴上时，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即 ，解得 ，所以
当点F落在y轴上时，同法可得 ，
（舍去）.
2012年
2013年
23.（11分）
（1）∵直线 经过C，∴C点坐标为（0，2）
∴EG=- t2+8-(8-t)
=- t2+t.
∵- ＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.…………………7分
②共有三个时刻.…………………8分
t1= ，t2= ，t3= ．…………………11分
2010年
2011年
23.（1）对于 ，当y=0，x=2.当x=-8时，y=- .
∴A点坐标为（2，0），B点坐标为 …………………………………………1分
MB＝NB●COS∠MBN＝ ，又MB＝5－t.
∴ =5-t,∴t= ………………11分
当点M，N分别运动到点B，C时，△MON为直角三角形，t=5.
故△MON为直角三角形时，t= 秒或t＝5秒 …………12分
2009年
23.(1)点A的坐标为（4，8）…………………1分
将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx
由抛物线 经过A、B两点，得
解得 ……………………Байду номын сангаас…………………3分
（2）①设直线 与y轴交于点M
当x=0时，y= . ∴OM= .
∵点A的坐标为（2，0），∴OA=2.∴AM= ……………………4分
∵OM：OA：AM=3∶4：5.
由题意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM～△PED.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD
向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?