《函数与导数》解题方法总结-教案
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《函数与导数》解题方法总结-教案
《函数与导数》解题方法总结教案
解题策略
1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.
2．运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.
3．对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对含参数的二次函数问题，应分a
＝0和a≠0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a＞1和0＜a＜1分两种情况讨论.
4．解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.
5．在理解极值概念时要注意以下几点：①极值点是区间内部的点，不会是端点；②若()
f x在（a，b）内有极值，那么()f x 在（a，b）绝不是单调函数；③极大值与极小值没有必然的
大小关系；④一般的情况，当函数()
f x在［a，b］上连续且有
有限个极值点时，函数()
f x在［a，b］内的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.
6．求函数的最值可分为以下几步：①求出可疑点，即/()
f x ＝0的解x0；②用极值的方法确定极值；③将（a，b）内的极
值与()
f b比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；
f a，()
当()
f x在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处()f x有极
大（小）值，则可以确定()
f x在该点处了取到最大（小）值.
7．利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：①'
()f x ＞0是()f x 递增的充分条件而非必要条件（'
()f x ＜0亦是如
此）；②求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据'
()f x ＞
0（或'
()f x ＜0）解出在定义域内相应的x 的范围；③在证明不
等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.
8．函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.
典型例题
考点一. 函数的解析式、定义域、值域求法 例1、函数2
34
y x x =
--+的定义域为
A ．(4,1)--
B ．(4,1)-
C ．(1,1)-
D ．(1,1]-
解：由
2101
1141340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨
-<<--+>⎩
⎩.故选C
例2、用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值，设()
f x =min{2x
, x+2,10-x} (x ≥ 0),则()f x 的最大值为
（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【解析】：利用数形结合，画出函数的大致图象，如图所示，
的
很容易的得到函数的最大值是当4x =时，()f x 最大值为6
考点二. 函数的零点 例1、函数
2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0
f ⎧≤⎨
⎩（的零点个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3 解:当0x ≤时，令2
230
x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，
所以选C 。
【方法总结】：求函数)(x f y =的零点：①（代数法）求方程0
)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
例2、设a 为常数，试讨论方程)lg()3lg()1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。
解：原方程等价于
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=-->->->-x
a x x x a x x )3)(1(0030
1即
⎩⎨
⎧<<-+-=3
13
52x x x a 构造函数
)
31(352<<-+-=x x x y 和a y =，作出它们的图像，易知平行于x