空间中向量的概念和运算ppt
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人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 空间向量及其线性运算
能否用向量a,b表示?怎样表示?
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
2
1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.
2.(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b
的充要条件是存在实数λ,使a=λb .
(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对
于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得 = λa .我们把与向量a平行的非零
(1);(2)1 ;(3) + 1 .
解:(1)因为P是C1D1的中点,
所以 = 1 + 1 1 + 1 =a+ +
1
1
1
1 1 =a+c+ =a+c+ b.
2
2
2
(2)因为 N 是 BC 的中点,
所以1 = 1 + +
1
1
1
=-a+b+ =-a+b+ =-a+b+ c.
2
2
2
(3)因为 M 是 AA1 的中点,
所以 = + =
又1 = + 1 =
所以 + 1 =
1
2
1
+
2 1
1
2
+
1
=-2a+
+ 1 =
1
2
1
2
+ + +
++
1
2
+ 1 =
1
2
=
=
1
空间向量及其运算 课件
共线向量与共面向量
1.共线向量 (1) 定 义 ： 表 示 空 间 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线 互__相__平__行__或__重__合__，则这些向量叫做_共__线__向__量___或平行向量； (2)共线向量定理：对于空间任意两个向量 a，b(b≠0)， a∥b 的充要条件是存在实数 λ 使__a_＝__λ_b____.
【思路探究】 (1)空间向量中，零向量是怎样定义的？ (2)怎样判断两个向量相等？(3)四边形 ABCD 满足什么条件
时，才有A→B＋A→D＝A→C？ 【自主解答】 ①正确；②正确，因为A→C与A→1C1的大小
和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以 a 与 b 的 方向不能确定；④中只有当四边形 ABCD 是平行四边形时，
2．共面向量 (1)定义：平行于__同__一__个__平__面___的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)， 使_p_＝__x__a_＋__y_b__.
推论 空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在有 序实数对(x，y)，使_A→_P__＝__x_A→_B_＋__y_A→_C__；或对空间任一定点 O，
才有A→B＋A→D＝A→C.
综上可知，正确命题为①②. 【答案】 ①②
1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向 量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．
2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向 量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决．
3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任 何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明？
1.1空间向量及其运算课件(人教版)
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 相等向量
加法 减法
加法:三角形法则或 平行四边形法则
运算 减法:三角形法则
具有大小和方向的量
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
加法交换律 a b b a 加法结合律 (a b) c a (b c)
课本P106习题3.1， A组 第1题（1）、（2）
空间向量及其运算
一块均匀的正三角形的钢板所受重力为
500N，在它的顶点处罚别受力F1，F2，F3， 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹
角都是60度，且| F1|=|F2|=|F3|=200N，这块 钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三
个力至少多大时，才能提起这块钢板？
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
（1）CB BA1
（2）AC （3）AA1
CB
AC
AA1
CB
3．已知空间四边形 ABCD，连结 AC, BD，设
M ,G分别是 BC,CD 的中点，
化简下列各表达式，并标出化简结果向量：
（1）AB BC CD
（2）AB BD GC
（3）CM DG GA
B
D
M
G
C
小结
类比思想 数形结合思想
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC (2) AB AD AA1
D1 A1
C1 B1
D A
C B
1．课本P92练习1-3
2．如图，在三棱柱 ABC A1B1C中1 ，M是 BB1 的中点，化简下列各式， 并在图中标出化简得到的向量：
空间向量及其运算课件 课件
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , C(x, y)是AB的中点，则
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
1.4 空间向量的应用 课件(可编辑图片版)(共31张PPT)
(2，－1,1)．
[方法技巧] 求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求→n 的坐标时，可令 x，y，z 中一个为一特殊值 得另两个值，就是平面的一个法向量． (3)注意 0：提前假定法向量→n ＝(x，y，z)的某个坐标为某特定 值时一定要注意这个坐标不为 0.
解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α. 答案：l⊂α或l∥α
题型一 求平面的法向量
如图，已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，
SA＝AB＝BC＝1，AD＝1，试建立适当的坐标系． 2
(1)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
[方法技巧] 1.在空间中，一个向量成为直线 l 的方向向量，必须具备以下 两个条件：(1)是非零向量；(2)向量所在的直线与直线 l 平行或重合． 2．与直线 l 平行的任意非零向量→a 都是直线的方向向量，且直 线 l 的方向向量有无数个． 3．给定空间中任意一点 A 和非零向量→a ，就可以确定唯一一 条过点 A 且平行于向量→a 的直线． 4．表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等， 因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们
3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－
1 6
，
1 3
，－1)，n＝
(12，－1,3)，则( )
A．α∥β
B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D. 答案：D
4．若直线l的方向向量a＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－ 6，8,4)，则直线l与平面α的位置关系是________．
高等数学向量及其运算PPT课件.ppt
例如, a、r、v、F 或a 、r 、v 、F .
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算共20张ppt
ab
c
一.空间向量的概念
相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量， 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过 平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不 共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空问向量都可以平移到同一个 平面内，成为同一平面内的两个向量。
一.空间向量的概念
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量， 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示， 有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B， 则a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.
A
a B A
C
O
B
一.空间向量的概念
特殊向量
A 零向量：规定长度为0的向量叫零向量，
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An 1
An A2
A3
A4
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终 点的向量．
二.空间向量的线性运算
在空间中，任意两个向量都可以平 移到同一个平面内，所以空间向量的 加法和减法运算与平面向量相同.
（2）空间向量的减法运算： AB OB OA
注：起点相同，差向量为减向量终点指向被减向量的终点
二.空间向量的线性运算
数乘运算
实数与向量a的积是一个向量，这种 运算叫向量的数乘 . 记作 a，它的长度和方向规定 如下： (1) a a ; (2)当 0时， a的方向与a的方向相同；
当 0时， a的方向与a的方向相反； 当 0时， a 0.
向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.
高考数学专题复习《空间向量及其运算》PPT课件
(3)a·b= x1x2+y1y2+z1z2
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
第七章
7.5 空间向量及其运算
内
容
索
引
01பைடு நூலகம்
必备知识 预案自诊
02
关键能力 学案突破
【知识梳理】
1.空间向量
(1)定义:空间中既有 大小
又有 方向
(2)向量的模(或长度):向量的 大小
.
的量称为空间向量.
(3)表示方法:
①几何表示法:可以用 有向线段
来直观的表示向量,如始点为A终点
为B的向量,记为 ,向量的模用 | | 表示.
(ⅰ)当λ>0时,与a的方向 相同
;
(ⅱ)当λ<0时,与a的方向 相反
,而且λa的方向:
.
②当λ=0或a=0时,λa= 0 .
(4)空间向量的线性运算满足如下运算律:
对于实数λ与μ,向量a与b,有λa+μa=(λ+μ)a,λ(a+b)=λa+λb.
4.空间向量的数量积
(1)空间向量的夹角
非零
<a,b>
x2=λx1
(1)当 a≠0 时,a∥b⇔b=λa⇔(x2,y2,z2)=λ(x1,y1,z1)⇔ y2=λy1
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
人教版必修二4.4.3空间向量及运算课件
矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )
A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直
B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 课
核 心
C．存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直
时 限
考
时
向
D．对任意位置，三对直线“AC 与 BD”，“AB 与 CD”，
基
础 AD，CD 的中点，计算：
知
识
点
方 法 技 能
课
核 心
图 7－6－4
时 限
考
时
向
①E→F·B→A；
检 测
②EG 的长．
菜单
【尝试解答】 设A→B＝a，A→C＝b，A→D＝c，则|a|＝|b|＝
基 础
|c|＝1，
知
识 点
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
方 法 技 能
E→F＝12B→D＝12c－12a，
法 技
能
1,1,2)．
①a－b 与 a 夹角的余弦值为
；
②若 ka＋b 与 a－2b 平行，则 k＝
；
核
③若 ka＋b 与 a＋3b 垂直，则 k＝
.
课 时
心
限
考 向
【答案】 ①5147 ②－12 ③175
时 检 测
菜单
(2)(2015·安阳模拟)如图 7－6－4 所示，已知空间四边形
ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F，G 分别是 AB，
核
＝32b－12c.
课 时
心
限
考 向
∴H→G与 b、c 共面，即 E、F、G、H 四点共面．
时 检
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
高中数学选择性必修一(人教版)《1.1.1空间向量及其线性运算》课件
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定， 即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分 条件；
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等 向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是 解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素： 大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
(2)直线可以由 其上一点 和它的 方向向量 确定．
3．空间向量共面的充要条件 (1)共面向量：平行于 同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)空间向量共面的充要条件：向量 p 与不共线向量 a，b 共
面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x，y)，使 p＝x_a_＋__y_b_.
(二)基本知能小试 1．判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线，根据向量共面的充要条件可知―M→N ，
―C→D ，―D→E 共面．
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向 量的线性组合，即若 p＝xa＋yb，则向量 p，a，b 共面．
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案：3a－2b
知识点三 空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1．空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 实数 λ，使__a_＝__λ_b__.
2．直线的方向向量 (1)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则 对于直线 l 上的任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充 要条件可知，存在实数 λ，使得―O→P ＝λa，把与__向__量__a__平__行___ 的 非零 向量称为直线 l 的方向向量．
(2)熟练掌握好空间向量的概念，零向量、单位向量、相等 向量、相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是 解决问题的关键；
(3)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素： 大小和方向，两者缺一不可，相互制约．
(2)直线可以由 其上一点 和它的 方向向量 确定．
3．空间向量共面的充要条件 (1)共面向量：平行于 同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)空间向量共面的充要条件：向量 p 与不共线向量 a，b 共
面的充要条件是存在 唯一 的有序实数对(x，y)，使 p＝x_a_＋__y_b_.
(二)基本知能小试 1．判断正误
又―C→D 与―D→E 不共线，根据向量共面的充要条件可知―M→N ，
―C→D ，―D→E 共面．
[方法技巧] 证明空间三向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向 量的线性组合，即若 p＝xa＋yb，则向量 p，a，b 共面．
3．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.
答案：3a－2b
知识点三 空间向量共线、共面的充要条件 (一)教材梳理填空 1．空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量 a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在 实数 λ，使__a_＝__λ_b__.
2．直线的方向向量 (1)如图，O 是直线 l 上一点，在直线 l 上取非零向量 a，则 对于直线 l 上的任意一点 P，由数乘向量的定义及向量共线的充 要条件可知，存在实数 λ，使得―O→P ＝λa，把与__向__量__a__平__行___ 的 非零 向量称为直线 l 的方向向量．
空间解析几何与向量代数 ppt课件
z O M O N M O O A O BC C
O A xi,O B yj,O C zk
r x i y j z k (x,y,z)
k o i
j rMB y
A
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
x
N
xi ,y j,zk 称为 r 沿三向 个坐标量 轴方向的分向量.
ppt课件
14
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x0
坐标面 : xoy面 z0
z轴
x0 y0
yoz面 x0
zox面y0
ppt课件
13
Hale Waihona Puke 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以 i , j,k 分别 x ,y ,z轴 表上 示,的 设点 M 单
的坐标为 M(x,y,z),则
四、利用坐标作向量的线性运算 设 a (a x ,a y,a z)b , (b x,b y,b z), 为实数，则
a b ( a x b x ,a y b y ,a z b z)
a(ax,ay,az)
平行向量对应坐标成比例:
当 a 0 时 ,
ba
ba
bx by b z ax ay a z
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ ppt课件
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
11
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高中数学人教版A版选择性必修一1.1.1空间向量及其线性运算课件
D1
C1
A1
B1
M
D C
A
B
共线向量与共面向量
a
b
回顾
B
b
O
a
结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量.
回顾
平面向量数乘的定义
a 一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作 ， a
它的长度和方向规定如下：
（1） | a || || a |;
零向量
模为0的向量
模为0的向量
单位向量
模为1的向量
模为1的向量
相等向量 方向相同且模相等的向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量 方向相反且模相等的向量
三、探究新知
3．提出问题：平面向量可以在平面内平移，那么空间 向量能否在空间中平移？
任意两个空间向量，我们总可以把它们平移到 同一个平面内
a // b(b 0)
作用：由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l为经过已知点A且平行已知非零向 量的直线，若点P是直线l上任意一点，则
由 l //知a 存在唯一的t, 满足
AP ta
A
对空间任意一点O,
l
AP OP OA,
所以
OP
OA
ta
即
OP OA ta
①
aP
B
O
构成一个半径为1的球
三、理解新知 2 ． 在 平 行 六 面 体 ABCD A1B1C1D1 中 ， 分 别 标 出
AB AD AA1 ， AB AA1 AD 表示的向量。能否
得出三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关 系？
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2
＝BM MG MB MG
DB的中点。设OI i,OJ j,OK k,试用i, j, k
表示OE、OF。
C
B’
K A’
O IJ A
F
D’
OE 3 i 4 j
2
B
E
OF 3 i 4 j 2k
D
2
练习2 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
(1) CB BA1;
A1
(2)
AC
CB
1 2
AA1;
(3) AA1 AC CB.
解：(1) CB BA1 CA1
A
(2)
AC
CB
1 2
AA1
AM
(3) AA1 AC CB BA1
B1 C1
M
B C
例 2 如图,M、N分别是四面体ABCD的棱AB、 CD的中点，求证：MN 1（AD BC）
3．1 空间中向量的概念和运算
空间中任何两个向量都可以看作同一平面内的向量．
例1、已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，M为B1C 的中点，化简下列向量表达式.
(1) AB AD AA1;D1Βιβλιοθήκη (2)DD1 AB BC;
A1
(3) AB
AD
1 2
( DD1
BC ).
D
C1 B1
C
A
B
a
D
D1 A1
C1 B1
CD
C
A
BA
B
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
例1、已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，M为B1C 的中点，化简下列向量表达式.
(1) AB AD AA1;
D1
(2)DD1 AB BC;
A1
B1
2AC1
x 2.
D A
C B
练习3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E
D (1)AC ' x(AB BC CC ' )
B
C
(2)AE AA ' xAB yAD
A B
D C
练习3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E
D (1)AC ' x(AB BC CC ' )
B
C
(2)AE AA ' xAB yAD
A B
D C
练习3 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E
D (2)AE AA ' xAB yAD
B
C
A B
D C
练习4 在长方体OADB CADB中，OA 3，OB 4， OC 2，OI OJ OK 1，点E、F分别为DB、
(1) AB AD AA1;
D1
(2)DD1 AB BC;
(3) AB
AD
1 2
( DD1
BC ).A1
解：(2)DD1 AB BC
DD1 ( AB AD)
D
DD1 DB
A
BD1
C1 B1
C B
例1、已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，M为B1C 的中点，化简下列向量表达式.
D
B
M
G C
练习2 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC) 2
D (1)原式＝AB BM MG AG
B
M
(2)原式
G ＝AB BM MG 1 ( AB AC)
2
C
＝BM MG 1 ( AB AC)
(3) AB
AD
1 2
( DD1
BC ).A1
解：(1) AB AD AA1
C1 B1
AC AA1
D
C
AC CC1
A
AC1
B
结论：起点相同的三个不共面向量之和，等于以这 三个向量为棱的平行六面体的以公共起点为起点的 对角线所示向量。
例1、已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，M为B1C 的中点，化简下列向量表达式.
D1 A1
AC1
x 1.
D
C1 B1
C
A
B
例 3 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足 下列各式的x的值。
(3) AC AB1 AD1 xAC1
(3) AC AB1 AD1
(AD AB) (AA1 AB) (AA1 AD) D1
C1
2(AD AB AA1)
(1) AB1 A1D1 C1C xAC D1
C1
解(1) AB1 A1D1 C1C A1
B1
AB1 B1C1 C1C
D
AC
A
x 1.
C B
例3
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各的x的值。
(2) 2AD1 BD1 xAC1
(2) 2AD1 BD1
AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1) AD1 D1C1
2
A
证明： MN MA AD DN (1)
MN MB BC CN (2) M
由已知，得MB MA, DN CN.
(1) (2)得2MN AD BC.
B
因此
MN 1（AD BC） 2
D N C
练习2 如图,M、N分别是四面体ABCD的棱AB、 CD的中点，求证：4MN AC AD BC BD
A
M B
D N C
例 3 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足 下列各式的x的值。
(1) AB1 A1D1 C1C xAC
D1
A1
(2) 2 AD1 BD1 x AC1
C1 B1
(3) AC AB1 AD1 x AC1
D
C
A
B
例 3 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，求满足 下列各式的x的值。
(1) AB AD AA1;
D1
(2)DD1 AB BC;
(3) AB
AD
1 2
( DD1
BC ).A1
解：(3) AB
AD
1 2
( DD1
BC)
D
AC
1 2
(CC1
CB)
A
AC
1 2
CB1
AC CM AM
C1 B1
M
C B
练习
1
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量。