两个常用绝对值不等式的应用

两个常用绝对值不等式的应用

教学目标

理解及其两个推论，并能应用它证明简单含有绝

对值不等式的证明问题。

教学重点难点

重点是理解掌握定理及等号成立的条件，绝对值不等式的证明。

难点是定理的推导过程的探索，摆脱绝对值的符号，通过定理或放缩不等式。

教学过程

一、复习引入

我们在初中学过绝对值的有关概念，请一位同学说说绝对值的定义。

当时，则有：

那么与及的大小关系怎样？

这需要讨论当

当

当

综上可知：

我们已学过积商绝对值的性质，哪位同学回答一下？

.

当时，有：或.

二、引入新课

由上可知，积的绝对值等于绝对值的积；商的绝对值等于绝对值的商。

那么和差的绝对值等于绝对值的和差吗？

1．定理探索

和差的绝对值不一定等于绝对值的和差，我们猜想

.

怎么证明你的结论呢？

用分析法，要证.

只要证

即证

即证，

而显然成立，

故

那么怎么证？

同样可用分析法

当时，显然成立，

当时，要证

只要证，

即证

而显然成立。

从而证得.

还有别的证法吗？（学生讨论，教师提示）

由与得.

当我们把看作一个整体时，上式逆用可得什么结

论？

。

能用已学过得的证明吗？

可以表示为.

即（教师有计划地板书学生分析证明的过程）

就是含有绝对值不等式的重要定理，即.

由于定理中对两个实数的绝对值，那么三个实数和的绝对值呢？

个实数和的绝对值呢？

亦成立

这就是定理的一个推论，由于定理中对没有特殊要求，如果用代换会

有什么结果？（请一名学生到黑板演）

，

用代得，

即。

这就是定理的推论成立的充要条件是什么？

那么成立的充要条件是什么？

.

例1求证.

证法：（直接利用性质定理）在时，显然成立.

当时，左边

.

三、随堂练习

1．求证.

答案：

与同号

四、小结

1．定理. 把、、看作是三角形三边，很象

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，这样理解便于记忆，此定理在后面学习复数时，可以推广到比较复数的模长，并有其几何意义，有时也称其为“三角形不等式”.

2．平方法能把绝对值不等式转化为不含绝对值符号的不等式，但应注意两边非负时才可平方，有些证明并不容易去掉绝对值符号，需用定理及其

推论。

3．对要特别重视.