总结一阶微分方程的类型及其解法概要
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1 sin x y ' y 例. 求方程 x x 的通解
解:题设方程是一阶非齐次线性方程,这里 1 sin x p( x) ,Q( x) x x
sin x 于是,所求通解为 y e ( e dx c) x sin x ln x ln x e ( e dx c) x 1 1 ( sin xdx c) ( cos x c) x x
例:求微分方程
dy 2 xy 的通解 dx
dy 解 题设方程是可分离变量的,分离变量得 y 2 xdx
dy 2 xdx 得 两端积分 y
从而
ln y x c1
2
y e
x 2 c1
e e
c1
x2
记
c e
c1
则得到题设方程的通解
y ce
x u y
dy
于是,原方程变为
即
du u x dx u 1
dy u 2 ux dx u 1
dx
1 dx 1 )du 分离变量,得 ( u x
两端积分,得
u ln u c ln x ,或 ln xu u c
y 将 u x
回代,
二、举例说明微分方程的应用
1.衰变问题 2.逻辑斯蒂方程 3.价格调整问题 4.人才分配问题
(1)衰变问题
例:碳-14( c)是放射性物质,随时间而衰竭,碳-12是非 放射性物质,活性人体因吸纳食物和空气,恰好补偿碳-14 衰减损失量而保持碳-14和碳-12之比为常数,通过测量, 已知一古墓中遗体所含碳-14的数量为原有碳-14的80%。 试确定遗体的活性人体的死亡年代。
总结一阶微分方程 的类型及其解法
(一)总结一阶微分方程的类型及其 解法
1
可分离变量的微分方程
dy 设有一阶微分方程 dx F ( x, y ) ,如果其右端函数能 dy 分解成 F ( x, y) f ( x) g ( y) 即有 dx f ( x) g ( y ) ,
则称方程为可分离变量的微分方程,其中f(x),g(y)都 是连续函数。
14
0.00012097 t
ln 0.8 0.00012097 t
于是
ln 0.8 0.22314 t 1845 0.00012097 0.00012097 由此可知,遗体的活性人体大约死亡于1845年前。
Thank
you!
1 dx x
1 dx x
4.伯努利方程
dy p ( x) y Q( x) y n 形如 dx 的方程称为伯努利方程,
其中n为常数,且
n 0.1
例. 求方程 解,以
dy y 2 (a ln x) y 的通解 dx x
y
2
除方程的两端,得 y
Baidu Nhomakorabea
2
d( y 1) 1 1 y a ln x 即 dx x
y 则得到题设方程的通解为 ln y c x
一阶线性微分方程
dy p( x) y Q( x) 形如 dx 的方程称为一阶线性微分方程, p( x), Q是某一区间 ( x) 其中 I上的连续函数,当 dy Q( x) 0 时,方程变为 p( x) y 0 ,这个方程称为 dx dy 一阶齐次线性微分方程。相应地,方程 p ( x) y Q( x) dx 称为一阶非齐次线性微分方程。
2
0
2
两边取自然对数,得
1 5730k= ln 2 0.69315 ,即 k 0.00012097
于是, c 含量的函数模型为 p f (t ) p0e 14 由题设条件可知,遗体中 c的含量为原含量 p0 的80%, 故有 即 0.00012097 t 0.00012097 t 0 .8 p p e 0 .8 e 0 0 两边取自然对数,得
14
解:放射性物质的衰减速度与该物质的含量成比例,它符 合指数函数的变化规律。设遗体的活性人体当初死亡时 14 c 14 p p f ( t ) o 的含量为 ,t时的含量为 ,于是, c 含量的函 kt 数模型为 p f (t ) p 0 e 其中 p0 f (0) k是一常数 常数k可以这样确定:由化学知识可知, 14 c 的半衰期为 5730年,即 14 c 经过5730年后其含量衰减一半, 1 p0 5730 k 5730 k 故有 即 e pe
x2
2. 齐次方程
dy y f( ) 形如 dx x 的一阶微分方程称为齐次微分 方程,简称齐次方程。齐次方程通过变量替换,可 化为可分离变量的方程来求解。
y 2 ( ) dx y2 x 2 y dy xy x 例. 求解微分方程 x2 x
易见,题设方程是齐次方程,令 则 y ux , dx u x du
令
dy 1 1 y a ln x dx x
z
dz 1 1 z a ln x y ,则上述方程变为 dx x
a 2 解此方程得 z x c (ln x) 2
以
y
1
a 2 代z,得通解为 yx (ln x) 1 2