定积分在高考中的常见题型

定积分在高考中的常见题型解法

贵州省印江一中（555200） 王代鸿

定积分作为导数的后续课程，与导数运算互为逆运算,也是微积分基本概念之一，同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来看，定积分是高考命题的一种新方向，在高考复习中要求学生了解定积分的定义，几何意义，掌握解决问题的方法。

一、利用微积分基本定理求定积分

1、微积分基本定理：一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么⎰-=b a b F a F dx X f )()()(.这个结论叫做微积分基本

定理（又叫牛顿-莱布尼兹公式）。

2、例题讲义

例1、计算⎰+e dx x x 1)21( 解：因为

x x x x 21

)ln 2+='+（ 所以⎰+e dx x x

1)21(=22212)11(ln )(ln |ln e e e x x e =+-+=+）（ 【解题关键】：计算⎰b a dx X f )(的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数

)(x F 。

跟踪训练：1计算⎰+2

0)cos (π

dx x e x

二、利用定积分的几何意义求定积分。

1、定积分的几何意义 ：设函数y=f(x)在

[]b a ,上y=f(x)非负、连续，由直线x=a,x=b,

y=0及曲线y=f(x) 所围成的曲边梯形面积 S=⎰b

a dx X f )(

2、例题讲义：

例2、求由曲线12+=x y ，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积S 等于=___________

解： 联立方程组 （如图所示） ⎩

⎨⎧-=+=11x y x y 解得⎩⎨⎧==34y x S =BCD OBCE AOB S S S 曲边梯形曲边梯形++∆

=dx x x dx x )1(11112

14210--++++⨯⨯⎰⎰）（）（ = 412231023|)22

132(|)3221x x x x x +-+++（ =3

8

【解题关键】：将曲边梯形进行分割成几个容易求面积的图形，再求面积和

例3、求dx x ⎰+402)2-4（

的值 解：令)0()2(42≥+-=y x y 则有)0()2(42

2≥+-=y x y

及）（）（04222≥=++y y x 右图所以π22

1)2-1402==+⎰A S dx x 圆（ 【解题关键】：将被积函数转化为熟悉的曲线方程，利用曲线图形的

特点求其定积分。

练习：由直线21=x ，x=2，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为（ ）

A. 415

B. 417

C. 2ln 21

D. 2ln 2

三、利用变换被积函数求定积分

1、从积分变量x 分割的几何图形较多，不容易求其定积分时，就变换被积函数求其定积分。

2、例题讲义

例4、求抛物线x y 22=与4-=x y 直线所围成的图形的面积。

解：方法1分割如右图

如图所示联立方程组

⎩

⎨⎧-==422x y x y 解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-==4822y x y x 或 CDE ODC ABC OAB S S S S S 曲边梯形曲边梯形三角形曲边梯形+++=

dx x x dx x dx x )42(2222

1)2(844020+-++⨯⨯+-=⎰⎰⎰ =18

方法2：由x y 22

=得22

y x =， 由4-=x y 得4+=y x

所以S=18)24(4

2-2

=-+⎰dy y y 【解题关键】：改变被积函数求面积比分割求面积

简单

四、定积分与几何概型知识的交叉应用

例5、如图，四边形OACB 是AB=1,AD=2的

矩形，阴影部分是由直线x=1与抛物线x y 22=围成的区域，在矩形

ABCD 内（含边界）任意取点，则这点取自阴影部分（含边界）的概率是多少？

解：如图所示本题是古典概型

32

2212210=⨯=⎰dx

x S S

p ABCD OBC 矩形曲边梯形

【解题关键】：求曲边梯形OACBD 面积

练习：设区区域{}31,20|),(≤≤-≤≤=y x y x D ，在

区域D 内任取一点，则此点落在区域

{}11,20|),(2-≤≤-≤≤=x y x y x M 内的概率是多

少？

参考文献

1、《人教版数学选修2-2》

2、《新教材完全解读2-2》

3、《历年高考试题》