随机信号分析习题6
随机信号分析课后习题答案
1第一次作业：练习一之1、2、3题1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。
求随机变量的数学期望和方差。
解：875.087813812411210)(][41==⨯+⨯+⨯+⨯===∑=i i i x X P x X E81)873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224122⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-=∑=i i i P X E x X D109.16471==1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。
解：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-π==其他0201)](2π[cos 2)()(x x A dx x dF x f 由1)(=⎰∞∞-dx x f得 2A 021)](2πAsin[1)]d (2π[cos 2=-=-π⎰∞∞-x x x A21A =35.042)]15.0(2[sin 21)]11(2[sin 21)5.0(F )1(F )15.0(==-π--π=-=<<x P1.3 试确定下列各式是否为连续随机变量的概率分布函数，如果是概率分布函数，求其概率密度。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1110Α00)(2x x x x x F （3）0)]()([)(>--=a a x u x u a xx F （4）0)()()(>---=a a x u axa x u a x x F2解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-000e 1)(2x x x F x 当0≥x 时，对于12x x ≥，有)()(12x F x F ≥，)(x F 是单调非减函数； 1)(0≤≤x F 成立；)()(x F x F =+也成立。
随机信号分析 第三版 第一章 习题答案
1. 2. 3. 4. 5.6. 有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。
第二批有500个零件，其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。
我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。
（1） 问所选零件为次品的概率是多少？ （2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。
()()()()123414P B P B P B P B ==== ()()()()12341002000.050.420005001001000.10.110001000P D B P D B P D B P D B ========()11110.050.40.10.10.16254444P D =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，()()()2220.250.40.6150.1625P B P D B P B D P D ⨯===7. 8.9. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-10.11. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()0()2xxxf x dx ae dx a e dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a = （2）()1()2x xtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩12.13.14. 若随机变量X 与Y 的联合分布律为求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
随机信号分析试题
姓名年级学院专业学号密封线内不答题一.填空题（每空3分共33分） 1.随机变量X ，Y 独立的条件是 。
2.若窄带信号()X t 通过一个幅度为A 的宽带系统输出()Y t ,则二者的关系为 。
3.白噪声通过理想带通系统后，其输出功率谱密度为 分布。
4.实信号)(t x 的解析信号是 。
5.随机变量X 服从0,1分布（P x p ==)1(）的特征函数()X φυ= 。
6.若信号()X t 与()Y t 恒有12(,)0R t t =,则()X t 与()Y t 彼此 。
7.若信号()X t 与()Y t 无关, 如果 则 ()X t 与()Y t 独立。
8.若信号()X t 与()Y t 都是高斯信号,则()X t 与()Y t 独立的充要条件是 。
9.随机信号的平稳性包括 。
10.白噪声信号的()R τ= 。
11.随机信号()X t 均值各态历经表示 。
二、（12分）设正态分布随机变量),(~2σμN X 的特征函数。
姓名年级学院专业学号密封线内不答题三、（12分）假定三维随机变量),(~),,(321x x C X X X μ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x μ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820242024x C 求（1）1X 的密度函数；（2）),(21X X 的密度函数；（3）31X X +的密度函数。
姓名年级学院专业学号密封线内不答题四、（14分）已知)()cos()()()(0t N t a t N t S t X ++=+=θω,其中θω,,0a 为常数，白噪声)(t N 的功率谱为2/0N 。
求此RC 电路输入前、后的信噪比？姓名年级学院专业学号密封线内不答题五、(15分) 1. 给出严格平稳随机过程和广义平稳随机过程的定义。
2.给出严格各态历经和广义各态历经的定义。
姓名 年级 学院 专业 学号 密封线内不答题 3.解释等效噪声带宽。
六、（14分）设随机过程()cos()X t A t ωϕ=+，其中ϕ是在(−π, π)中均匀分布的随机变量，A 、ω为常数。
随机信号分析（第3版）课后习题解答
随机信号分析（第3版）课后习题解答《随机信号分析》课程（32学时）—— 2007年教学内容建议1 概率论基础 1.12 随机信号2.1 两条样本函数为：0)(0=t X 、wt t X cos 21)(1=；1)0,(=x f X 、2)4,(=w x f X π；）（0-)2,(x wx f X δπ= 2.2 3103532)2,(=++=X E 、）（）（）（5-313-312-31)2,(x x x x F X εεε++= 2.3 ）（）（1-2121)21,(x x x F X εε+=、）（）（2-21121)1,(x x x F X εε++=；）（）（）（）（2-,1411,1412-,411,41)1,21,,(21x x x x x x x x x x F X -++-+++=εεεε2.4 略2.5 ）（）（1-1.09.0)5,(x x x F X εε+=；）（）（y x y x y x F ,11.0,9.0)0025.0,0,,(-+=εε；0因为其概率为0.9；1的概率为1（样本函数），它是可预测的，就是样本函数。
2.6 略 2.7 略 2.8 ）（）（121121),(-++=x x n x f X δδ、0121)1(21)(=?+-?=n X E 、{})()]()([)]()()][()([),(2121221121n n n X n X E n m n X n m n X En n Cov X X -==--=δ；不可预测2.9 （2.19）10103523)()(),(2111=?==t t t t Cov σσρ、所以（X,Y ）满足10103;5,2;2,2的高斯分布。
其概率密度函数为：-+--?--?-=-+--?----=5)2(5)2)(2(32)2(5exp215)2(10)2)(2(1010322)2()10/91(21exp 21),(2222y y x x y y x x y x f XY ππ；特征函数为：++-+=)6)(5)(2(21)22(exp ),(21222121v v v v v v j y x XY φ3 平稳性与功率谱密度3.1 kk k u t t u u f-=)4exp(2*21),,;,,(211π ；因为k 阶概率密度函数与绝对时间无关，所以为严格平稳过程。
随机信号分析课后习题答案
随机信号分析课后习题答案随机信号分析课后习题答案随机信号分析是现代通信系统设计和信号处理领域中的重要基础知识。
通过对随机信号的分析，我们可以更好地理解和处理噪声、干扰等随机性因素对通信系统性能的影响。
下面是一些关于随机信号分析的课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 什么是随机信号？随机信号是在时间域上具有随机性质的信号。
与确定性信号不同，随机信号的每个样本值都是随机变量，其取值不是确定的。
随机信号可以用统计特性来描述，如均值、方差、功率谱密度等。
2. 什么是平稳随机信号？平稳随机信号是指在统计性质上不随时间变化的随机信号。
具体来说，平稳随机信号的均值和自相关函数不随时间变化。
平稳随机信号在实际应用中较为常见，因为它们具有一些方便的数学性质，可以简化信号处理的分析和设计。
3. 如何计算随机信号的均值？随机信号的均值可以通过对信号样本值的求平均来计算。
对于离散时间随机信号，均值可以表示为：E[x[n]] = (1/N) * Σ(x[n])其中，E[x[n]]表示信号x[n]的均值，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
4. 如何计算随机信号的方差？随机信号的方差可以用均方差来表示。
对于离散时间随机信号，方差可以表示为：Var[x[n]] = E[(x[n] - E[x[n]])^2]其中，Var[x[n]]表示信号x[n]的方差，E[x[n]]表示信号的均值。
5. 什么是自相关函数？自相关函数是用来描述随机信号与其自身在不同时间延迟下的相似性的函数。
自相关函数可以用来分析信号的周期性、相关性等特性。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = E[x[n] * x[n-m]]其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，E[ ]表示期望运算。
6. 如何计算随机信号的自相关函数？随机信号的自相关函数可以通过对信号样本值的乘积进行求平均来计算。
对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = (1/N) * Σ(x[n] * x[n-m])其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。
(完整word版)随机信号分析习题.(DOC)
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数.并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π 求:（1）边沿密度)(x f X ,)(y f Y（2)条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。
(1）求Y 的可能取值 （2）确定Y 的分布. （3）求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1)X 与Y 不相关时的所有A 值。
（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量（X ，Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ,Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f .8. 两个随机变量1X ，2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。
《随机信号分析》-高新波等-课后答案
C = *第0章1/1;1/ 2;1/ 3;1/4;1/ 5;1/ 6;2 /1;2 / 2;2 / 3;2 /4;2 / 5;2/6;3/l;3/2;3/3;3/4;3/5;3/6;4/l;4/2;4/3;4/4;4/5;4/6;5/l;5/2;5/3;5/4;5/5;5/6;6/l;6/2;6/3;6/4;6/5;6/64 = {l/l;2/2;3/3;4/4;5/5;6/6}1/5;!/ 6;2 /4;2 / 5;2 / 6;3 / 3;3 / 4;3 / 5;3 / 6;4 / 2;4 / 3;4 / 4;4 / 5;'4/6;5/l;5/2;5/3;5/4;5/5;5/6;6/l;6/2;6/3;6/4;6/5;6/6 /1 /1;1 / 2;1 / 3;1 / 4;1 / 5;1 / 6;2 /1;2 / 2;2 / 3;2 / 4;2 / 5;2 / 6;3 /1;3 / 2;'3/3;3/4;3/5;3/6;4/l;4/2;4/3;5/l;5/2;5/3;6/l;6/2;6/3B =0.2（2）'0用）=x < 00<x<30x 2/12 2x -3-x 2/4,3<x <41 x>4P （l<x<7/2）=f^v +⑴⑶0.3E （X ）= L 2<T ：t/r = £ ~^y %dy =E （X2）=「Ji 奇dx = 了241a\^e~y 晶尸dy = 2a 2r （2）= 2a 2o(x)=£(/)-(研x))2=2尸_m S=04292S 0.4⑴£(Jf)=(-1)x03+0x0.44-1x03=0£(K)=1x0.4+2x0.2+3x0.4=2(2)由于存在X=0的情况，所以研Z)不存在(3)E(Z)=(-1-1)2x0.2+(-1-2)2xO.l+(O-l)2xO.l+(0-3)2x0.3+(l-l)2xO.1+0-2)2x0.1+(1-3)2x0.1=5 0.5X=ln*,当\dy\=^M=^e(Iny-mf2/”00.6t2+勺血s=£0<x<l,0<.y<2f32\X x~.—+—s as=(363-)7X*i X丁-312=诉号＞=2尸号间=fp+导=土名/(x)0.7££be~^x+y^dxdy=[/>(1-e~'\~y dy=/>(1-e-,)= 1,/>=(!—e~x尸/(x)=he~x Ve-y dy=—^e~x fi<x<\f(y)=be~y^e~x dx—e~y,y>00.8(1)x,v不独立⑵F(z)=££~'|(X+yY{x+y}dxdy=£|/『(xe~x +ye~x}ixdy =g按(1一(1+Z一*片5+*(]_e-(z-y)肱,=]_]+z+/2\2f(z)=F'(z)=\+z+—e~:-(1+z)e~z=—e-2,z>0、2)20.9。
随机信号分析第3版习题及答案word资料18页
1. 有四批零件，第一批有2019个零件，其中5%是次品。
第二批有500个零件，其中40%是次品。
第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。
我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。
（1） 问所选零件为次品的概率是多少？（2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用i B 表示第i 批的所有零件组成的事件，用D 表示所有次品零件组成的事件。
（2）发现次品后，它来自第二批的概率为， 2. 设随机试验X求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()()0.210.520.33f x x x x δδδ=-+-+- 3. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为4.求：（1）X 与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
（北P181,T3） 解：（1）（2） X 的分布律为 Y 的分布律为（3）Z XY =的分布律为 （4）因为 则X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。
5. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，U X YV X Y =+⎧⎨=-⎩。
（1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ；（2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为由反函数 22u v x u vy +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，1112211222J ==--， （2）由于, 222244414uv u v e π+---⎛⎫⎛⎫=⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎭所以随机变量U 与V 相互独立。
6. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，()4D X =，()16D Y =，0.5XY ρ=，又设3U X Y =+，2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和(,)Cov U V 。
北理随机信号分析第六章作业及答案
1、某雷达接收机系统如下图所示：
X(t) 线性窄带系统 Y(t) 线性包络检波器 Z(t)
X(t) 为白噪声，现测得 Z(t) 的均值为 m ，求：① Z(t) 的一维概率密度；② Z(t) 的平均功率。 2、对于零均值、方差为 σ2 的窄带平稳高斯过程：
2 K X (τ) = σX exp{−βτ2 } ， β ≥ 0 ，将其通过下图所示系统，则
(1) (2)
试求输出 Y(t) 的均值、方差和自相关函数 试求输出 Y(t) 的一维概率密度函数 f Y (y ; t)
X(t)
d(i) / dt
X(t)( i) 2 NhomakorabeaY(t) = X2 (t)
Z(t) = B(t) cos[ω0 t + Φ (t)] = X(t) cos ω0 t − Y(t)sin ω0 t
证明：包络任意时刻状态 B+ 满足：
E{B+ } =
π π⎞ ⎛ σ ， D{B+ } = ⎜ 2 − ⎟ σ2 2 2⎠ ⎝
3、现已知某均方可微高斯平稳随机过程 X(t) ，其均值为 α ，并且 α ≠ 0 ；其协方差函数为
随机信号分析（第3版）第六章习题及答案
随机信号分析（第3版）第六章习题及答案6.1 复随机过程0()()j t Z t eω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。
求：（1）[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号的功率谱。
解：(1)0000[()][]201[()()]212j t j t j j E Z t Z t e e d e d e ωτωπωτωττππ+∞++Φ-+Φ*-∞+=Φ=Φ=?0000[()][]2[(2)2]2(2)201[()()]212120j t j t j t j t j E Z t Z t e e d e d ee d ωτωπωτπωττπππ+∞++Φ+Φ-∞++Φ+Φ+=Φ=Φ=Φ=?[]2()Z Z j S F R F E Z t Z t F eωτωττπδωω*==+==-6.2 6.36.4 已知()a t 的频谱为实函数()A ω，假定ωω>?时，()0A ω=，且满⾜0ωω?，试⽐较：（1） 0()cos a t t ω和0(12)()exp()a t j t ω的傅⽴叶变换。
（2） 0()sin a t t ω和0(2)()exp()j a t j t ω-的傅⽴叶变换。
（3）0()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅⽴叶变换。
解：由傅⽴叶变换的定义可以得到：（1）00000()cos [()()]1()()2FTj t FT a t t A A a t e A ωωπωωωωπωω←?→-++←?→-01()2j t a t e ω的傅⽴叶变换是0()cos a t t ω的傅⽴叶变换的正频率部分。
（2）00000()s i n [()()]()()2FTj t FTa t t A A jj a t e A jωπωωωωωπωω←?→--+-←?→-0()2j t ja t e ω-的傅⽴叶变换是0()sin a t t ω的傅⽴叶变换的正频率部分。
随机信号分析答案 哈工大
0 ≤ x <1 ，求 Y=5X+1 的概率密度函 其他
1.6 设随机变量 X 1 , X 2 ,⋅ ⋅ ⋅, X n 在[a , b] 上均匀分布，且互相独立。若 Y = ∑ X i ,求
i =1
n
（1）n=2 时，随机变量 Y 的概率密度。 （2）n=3 时，随机变量 Y 的概率密度。
⎧ 1 a≤ x≤b ⎪b − a ⎪ 解： f i ( xi ) = ⎨ i = 1,2,⋅ ⋅ ⋅, n ⎪0 其它 ⎪ ⎩ n=2 时， f Y ( y ) = f X 1 ( y ) ∗ f X 2 ( y )
-∞
⎧1 1.5 设随机变量 X 的概率密度为 f X ( x) = ⎨ ⎩0 数。 解：反函数 X = h(y) = (Y-1)/5 1≤y≤6 h′(y) = 1/5 fY (y) = fX (h(y))｜h′(y)∣= 1 ×1/5 = 1/5 1≤ y ≤ 6 ⎧1 / 5 f Y ( y) = ⎨ 于是有 其他 ⎩ 0
⎧ X 1 = a1Y1 + b1Y2 ⎨ ⎩ X 2 = c1Y1 + d1Y2
（ Y1 , Y2 ）的联合概率密度为 证明：
⎧Y1 = aX 1 + bX 2 ⎨ ⎩Y2 = cX 1 + dX 2
f Y1Y2 ( y1 , y 2 ) =
1 f X X (a1 y1 + b1 y 2 , c1 y1 + d1 y 2 ) ad − bc 1 2
（4） F ( x) =
第二次作业：练习一之 4、5、6、7 题 1.4 随机变量 X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因 X 在[α，β]上均匀分布 ⎧ 1 α≤下≤β ⎪ f ( x) = ⎨ β − α ⎪ 其他 ⎩0
随机信号分析中文版答案
1≤ y ≤ 6
1 b−a
+∞ −∞
X 1 ⋅⋅⋅ X n 相互独立
φ X (ω ) = ∫
i
f X ( xi )e jω xi dxi
=∫
b
a
1 jω xi 1 1 jωb e dxi = (e − e jω a ) b−a b − a jω
(b+ a ) ⎛ (b − a )ω ⎞ jω 2 = Sa ⎜ ⎟e 2 ⎝ ⎠
π
2
−2+
π2
8
2 2 2 ∴ D [ x] = σ X =E⎡ ⎣x ⎤ ⎦ − E [ x] 2 =σy =
π
2
−2+
π2
8
−
π2
16
=
π2
16
+
π
2
−2
（4）
Rxy = E [ xy ]
π 1 π 2 2 xy sin ( x + y ) dxdy 2 ∫0 ∫0 π π ⎤ 1 π ⎡ = ∫ 2 x ⎢ − y cos ( x + y ) 02 + sin ( x + y ) 02 ⎥ dx 2 0 ⎣ ⎦
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《随机信号分析》 课后习题答案
武汉理工大学信息工程学院
cx1x 2 = rx1x 2 − mx1mx 2 cx1x 2 ⎞ ⎛10 2 ⎞ ⎛c cx ( x1, x 2) = ⎜ x1x1 ⎟=⎜ ⎟ ⎝ cx 2 x1 cx 2 x 2 ⎠ ⎝ 2 10 ⎠
1 − f x ( x1 , x2 ) = e 192π
1.8 解： C XY = E[( x − mx )( y − m y )] = E[ XY ] − mx m y = m11 − mx m y
《随机信号基础》练习题
《随机信号分析》练习题一、 概念题1．叙述随机试验的三个条件。
2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。
3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。
5．两个随机变量独立的充要条件。
6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。
8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。
9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。
10． 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。
11．设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1，则C Y (μ)=？12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数？13． 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。
14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。
15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续的条件是？17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？19． 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。
22． 何为线性系统？23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。
24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。
随机信号分析基础课后练习题含答案
随机信号分析基础课后练习题含答案第一部分随机变量和概率分布练习题1设离散随机变量X的概率分布函数为：X0 1 2 3 4P X0.05 0.15 0.35 0.30 0.15求E(X)和D(X)。
答案1根据概率分布函数的公式有：$$E(X)=\\sum_{i=1}^n x_i P_X(x_i) = 0 \\times 0.05 + 1\\times 0.15 + 2 \\times 0.35 + 3 \\times 0.30 + 4 \\times 0.15 = 2.25$$$$D(X)=\\sum_{i=1}^n (x_i-E(X))^2P_X(x_i) = 0.710625$$ 练习题2已知随机变量X的概率密度函数为：$$f_X(x) = \\begin{cases} \\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}} & x \\geq 0 \\\\ 0 & x < 0 \\end{cases}$$求E(X)和D(X)。
答案2根据概率分布函数的公式有：$$E(X)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}xf_X(x)dx =\\int_{0}^{+\\infty}x\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx=3$$ $$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}x^2f_X(x)dx-(E(X))^2=\\int_{0}^{+\\infty}x^2\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx-9=\\frac{27}{4}$$第二部分随机过程练习题3设二阶矩有限的离散时间随机过程X n的均值序列为m n，自相关函数为R n(i,j)=E(X i−m i)(X j−m j)，其中 $0 \\leq i,j \\leq N$。
若m n=n2,R n(i,j)=ij(i+j)，求 $E(\\sum_{n=0}^N X_n)$。
随机信号分析基础作业题
第一章1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。
如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。
如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？解：P (A )=0.3P (B )=0.2P (C )=0.1P (D )=0.4P (E |A )=0.25E －迟到，由已知可得P (E |B )=0.4P (E |C )=0.1P (E |D )=0全概率公式：P (E )=P (EA )+P (EB )+P (EC )+P (ED )贝叶斯公式：P (A |E )=P (EA )P (E |A )⋅P (A )0.075P (E )=P (E )=0.165=0.455P (B |E )=P (E |B )⋅P (B )0.08P (E )=0.165=0.485P (C |E )=P (E |C )⋅P (C )0.01P (E )=0.165=0.06P (D |E )=P (E |D )⋅P (D )P (E )=0综上：坐轮船⎧2x -x 3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为f ⎪e 2σX 2x(x )=⎨2,⎪σX⎩0,数σX>0，求期望E (X )和方差D (X )。
考察：已知f x(x )，如何求E (X )和D (X )？x >0式中，常x <E (X )=⎰x ⋅f (x )dx-∞22D (X )=E [(X -m x)]=⎰(X -m x)f (x )dx-∞∞∞D (X )=E (X )-E (X )⇒E (X )=⎰x 2⋅f (x )dx-∞222∞6、已知随机变量X 与Y ，有EX =1,EY =3,D (X )=4,D (Y )=16,ρXY=0.5，令U =3X +Y ,V =X -2Y ,试求EU 、EV 、D (U )、D (V )和Cov (U ,V )。
随机信号分析习题.doc
随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。
并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。
2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩， 求{}10,10<<<<Y X P 。
3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21ex p 1),(22y xy x y x f XY π 求：（1）边沿密度)(x f X ，)(y f Y（2）条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。
（1）求Y 的可能取值（2）确定Y 的分布。
（3）求][Y E 。
5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为：)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1）X 与Y 不相关时的所有A 值。
（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。
6. 二维随机变量（X ，Y ）满足：ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ，Y 的独立性与相关性。
7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ，求2bX Y =的概率密度)(y f 。
8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。
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随机信号分析习题六：
1. 分别求下列信号的希尔伯特变换
(1) 10()sin s t t ω=。
(2) 20()cos s t t ω=。
2. 试求下列信号的解析信号及复数包络：
(1) 指数衰落正弦波
0()cos[()]at X t Ae t t ωψ-=+
(2) 调幅波
00()(1cos )cos ,X t A t t ωωω
ω=+
(3) 线性调制波
200()cos ,2b X t A t t b
ωω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
3. 设低频信号()a t 的频谱为
(),2
()0,A A others ωωωω⎧<∆=⎨
⎩
证明当02ωω>∆时，有
0000[()cos ]()sin [()sin ]()cos H a t t a t t H a t t a t t
ωωωω==-
4. 试证：
(1) 偶函数的希尔伯特变换为奇函数； (2) 奇函数的希尔伯特变换为偶函数。
5. 试证：
(1) 00[]j t
j t H e
je ωω=-；
(2) 1[()]H t t
δπ=
； 6. 设ˆ()x
t 为()x t 的希尔伯特变换，证明： (1) ()x t 和ˆ()x
t 在范围t -∞<<+∞内的功率相等，即 2
21
1
ˆlim ()lim ()22T
T
T T
T T x t dt x
t dt T
T
--→∞→∞=⎰⎰
(2) 在范围t -∞<<+∞内，()x t 和ˆ()x
t 是正交的，即
1ˆlim ()()02T
T
T x t x
t dt T
-→∞=⎰。
7. 证明下式成立，其中()X t 为平稳随机过程，()X t 为()X t 的解析信号：
(1) ˆ()2[()()]x x x
R R jR τττ=+； (2) [()()]0E X t X t τ+=
8. 一个线性系统输入为()X t 时，相应的输出为()Y t 。
证明若该系统的输入为()X t 的希
尔伯特变换ˆ()X
t ，则相应的输出()Y t 的希尔伯特变换为ˆ()Y t 。
9. 证明若加到系统()2()H j U ωω=的输入为()X t ，则相应的输出为对应于()X t 的解析
信号，即
ˆ()()()Z t X t jX
t =+ 10. 设谱密度为
2
N 的零均值高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为c f ，带宽为2B 。
试求滤波器输出端的窄带过程()X t 及其同相和正交分量的自相关函数()X R τ、()c R τ、()s R τ。
11. 设窄带过程()X t 的功率谱()X S ω如图所示，试求：
(1) ()X t 的同相和正交分量的功率谱密度。
(2) 互谱密度()sc S ω。
12. 设如图所示系统的输入是谱密度为
2
N 的零均值高斯白噪声()X t ，
Θ在(0,2)π上服从均匀分布，且与()X t 统计独立。
其中两个滤波器的通带分别为(,)B B -和
0000(,2),(2,)f f B f B f +---。
(1) 求输出过程()Y t 的功率谱密度()Y S f 。
(2) 求()Y t 的方差。
13. 零均值平稳窄带噪声()Y t 具有对称功率谱，其相关函数为0()()cos Y R A ττωτ=，求正
交和同相分量的相关函数()c R τ、()s R τ和方差2
c σ、2s σ，并求互相关函数()sc R τ、
()cs R τ。
14. 对于零均值，方差为2
σ的窄带平稳高斯过程
000()()cos[()]
()cos ()sin c s Z t B t t t A t t A t t
ωφωω=+=-
求证：包络在任意时刻所给出的随机变量t B 其数学期望值与方差分别为
2[],[]22
t t E B D B πσ⎛
⎫=
=- ⎪⎝
⎭。
15. 试证：均值为零、方差为1的窄带平稳高斯过程，其任意时刻的包络平方的数学期望为
2，方差为4。