相似图形单元测试及答案

合集下载

人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试题(含答案解析)

人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试题(含答案解析)

春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题一.选择题(共10小题)1.已知x:y:z=1:2:3,且2x+y﹣3z=﹣15,则x的值为()A.﹣2B.2C.3D.﹣32.若a:b=3:2,且b是a、c的比例中项,则b:c等于()A.4:3B.3:4C.3:2D.2:33.下列命题中,其中正确的命题个数有()(1)在△ABC中,已知AB=6,AC=,∠B=45°,则∠C的度数为60°;(2)已知⊙O的半径为5,圆心O到弦AB的距离为3,则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个;(3)圆心角是180°的扇形是一个半圆;(4)已知点P是线段AB的黄金分割点,若AB=1,则AP=.A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图,已知直线l1,l2,l3分别交直线l4于点A,B,C,交直线l5于点D,E,F,且l1∥l2∥l3,若AB=4,AC=6,DF=9,则DE=()A.5B.6C.7D.85.下列说法中正确的是()A.两个直角三角形一定相似B.两个等腰三角形一定相似C.两个等腰直角三角形一定相似D.两个矩形一定相似6.两个相似的六边形,如果一组对应边的长分别为3cm,4cm,且它们面积的差为28cm2,则较大的六边形的面积为()A.44.8 cm2B.45 cm2C.64 cm2D.54 cm27.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为()A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm8.如图,△ABC中,P为AB上的一点,在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP•AB;④AB•CP=AP•CB,能满足△APC和△ACB相似的条件是()A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③9.如图,在平行四边形ABCD中,E是DC上的点,DE:EC=3:2,连接AE交BD于点F,则△DEF与△BAF的面积之比为()A.2:5B.3:5C.9:25D.4:2510.在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为25m,那么这根旗杆的高度为()A.10m B.12m C.15m D.40m二.填空题(共8小题)11.若=,则=.12.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C;过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E.若AB=2,BC=4,BD=1.5,则线段DE的长为.13.已知==,且a+b﹣2c=6,则a的值.14.如图,△ABC与△ADB中,∠ABC=∠ADB=90°,∠C=∠ABD,AC=5cm,AB=4cm,AD 的长为.15.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,则=.16.已知△ABC和△DEF中.点A、B、C分别与点D、E、F相对应.且∠A=70°时,∠B=34°,∠D=70°,则当∠F=时,△ABC∽△DEF.17.如图,已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A(m,m),B(2n,n),以原点O为位似中心,相似比为,把线段AB缩小,则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′,B′;点A到原点O的距离是.18.如图,比例规是一种画图工具,使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短,它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的,如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD,OB=3OC),然后张开两脚,使A、B两个尖端分别在线段l的两端上,若CD =2,则AB的长是.三.解答题(共8小题)19.已知,(1)求的值;(2)若x﹣2y+4z=24,求x+y+z的值.20.如图,四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形,AB=3,AD=6.5,BF=2.(1)求下列各线段的比:,,;(2)指出AB,BC,CF,CD,EF,FB这六条线段中的成比例线段(写一组即可)21.如图,在△ABC与△A'B'C'中,∠A=∠A',BD、CE是△ABC的高,B'D'、C'E'是△A'B'C'的高,点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上,且=.求证:=22.如图所示:在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D,E分别为BC.AB边上一点,∠ADE=∠C,(1)求证:AD2=AE•AB;(2)∠ADC与∠BED是否相等?请说明理由;(3)若CD=2,求AD的长.23.如图,∠ABC=∠BCD=90°,∠A=45°,∠D=30°,BC=1,AC,BD交于点O.求的值.24.如图,以O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍(不写作法,保留作图痕迹).25.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,AC2=AB•AD,∠ADC=90°,点E为AB的中点.(1)求证:△ADC∽△ACB.(2)若AD=2,AB=3,求的值.26.如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,联结DE,过顶点B作BF⊥DE,垂足为F,BF交边DC于点G.(1)求证:GD•AB=DF•BG;(2)联结CF,求证:∠CFB=45°.春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.已知x:y:z=1:2:3,且2x+y﹣3z=﹣15,则x的值为()A.﹣2B.2C.3D.﹣3【分析】先利用x:y:z=1:2:3,y=2x,z=3x,然后消去y与z得到关于x的一元一次方程,再解一次方程即可.【解答】解:∵x:y:z=1:2:3,∴y=2x,z=3x,∴2x+2x﹣9x=﹣15,∴x=3.故选:C.【点评】本题考查了解三元一次方程组:利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题.2.若a:b=3:2,且b是a、c的比例中项,则b:c等于()A.4:3B.3:4C.3:2D.2:3【分析】由b是a、c的比例中项,根据比例中项的定义,即可求得,又由a:b=3:2,即可求得答案.【解答】解:∵b是a、c的比例中项,∴b2=ac,即,∵a:b=3:2,∴b:c=3:2.故选:C.【点评】此题考查了比例线段以及比例中项的定义.解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形.对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.3.下列命题中,其中正确的命题个数有()(1)在△ABC中,已知AB=6,AC=,∠B=45°,则∠C的度数为60°;(2)已知⊙O的半径为5,圆心O到弦AB的距离为3,则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个;(3)圆心角是180°的扇形是一个半圆;(4)已知点P是线段AB的黄金分割点,若AB=1,则AP=.A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】(1)作出图形,过点A作AD⊥BC于点D,然后求出AD的长度,再在Rt△ACD中,利用锐角的正弦值求出∠C的度数即可;(2)作出图形,根据圆的半径为5,圆心到AB的距离为3作出到直线AB的距离为2的直线,与圆的交点的个数即为所求;(3)根据半圆的圆心角等于180°解答;(4)因为AP是较长的线段还是较短的线段不明确,所以分两种情况讨论求解.【解答】解:(1)如图,过点A作AD⊥BC于点D,∵AB=6,∠B=45°,∴AD=AB sin45°=6×=3,又∵AC=,∴sin∠C===,∴∠C=60°,故本小题正确;(2)如图所示,到直线AB的距离为2的点有3个,故本小题正确;(3)∵半圆的圆心角为180°,∴圆心角是180°的扇形是一个半圆加一条直径,故本小题错误;(4)①若AP是较长线段,则AP2=AB•BP,即AP2=1×(1﹣AP),AP2+AP﹣1=0,解得AP=,②若AP是较短的线段,则AP=1﹣=,故本小题错误.综上所述,正确的命题有(1)(2)共2个.故选:B.【点评】本题考查了黄金分割,垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,解直角三角形,作出图形,利用数形结合的思想求解比较关键.4.如图,已知直线l1,l2,l3分别交直线l4于点A,B,C,交直线l5于点D,E,F,且l1∥l2∥l3,若AB=4,AC=6,DF=9,则DE=()A.5B.6C.7D.8【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可.【解答】解:∵l1∥l2∥l3,AB=5,AC=8,DF=12,∴,即,可得;DE=6,故选:B.【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用,能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键,题目比较典型,难度适中,注意:对应成比例.5.下列说法中正确的是()A.两个直角三角形一定相似B.两个等腰三角形一定相似C.两个等腰直角三角形一定相似D.两个矩形一定相似【分析】根据三角形、矩形相似的判定方法逐个分析,确定正确答案即可.【解答】解:A、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等,其他两个角度未知,故A不正确;B、等腰三角形的角度不一定相等,各边也不一定对应成比例,故B不正确;C、两个等腰直角三角形的对应相等,所以两个等腰直角三角形相似,故C正确;D、两个矩形对应角相等,但对应边的比不一定相等,故D不正确;故选:C.【点评】本题考查了相似图形的知识,解题的关键是了解对应角相等,对应边的比相等的图形相似,难度不大.6.两个相似的六边形,如果一组对应边的长分别为3cm,4cm,且它们面积的差为28cm2,则较大的六边形的面积为()A.44.8 cm2B.45 cm2C.64 cm2D.54 cm2【分析】设大六边形的面积为xcm2,根据相似多边形的性质列出比例式,计算即可.【解答】解:设大六边形的面积为xcm2,则小六边形的面积为(x﹣28)cm2,∵两个六边形相似,∴=()2,解得,x=64,故选:C.【点评】本题考查的是相似多边形的性质,掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.7.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为()A.3cm B.4cm C.4.5cm D.5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得.【解答】解:设另一个三角形的最长边长为xcm,根据题意,得:=,解得:x=4.5,即另一个三角形的最长边长为4.5cm,故选:C.【点评】本题主要考查相似三角形的性质,解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等,对应边的比相等.8.如图,△ABC中,P为AB上的一点,在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③AC2=AP•AB;④AB•CP=AP•CB,能满足△APC和△ACB相似的条件是()A.①②④B.①③④C.②③④D.①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断;根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断.【解答】解:当∠ACP=∠B,∠A公共,所以△APC∽△ACB;当∠APC=∠ACB,∠A公共,所以△APC∽△ACB;当AC2=AP•AB,即AC:AB=AP:AC,∠A公共,所以△APC∽△ACB;当AB•CP=AP•CB,即=,而∠PAC=∠CAB,所以不能判断△APC和△ACB相似.故选:D.【点评】本题考查了相似三角形的判定:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;有两组角对应相等的两个三角形相似.9.如图,在平行四边形ABCD中,E是DC上的点,DE:EC=3:2,连接AE交BD于点F,则△DEF与△BAF的面积之比为()A.2:5B.3:5C.9:25D.4:25【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB,进而可得出△DEF∽△BAF,根据相似三角形的性质结合DE:EC=3:2,即可得出△DEF与△BAF的面积之比,此题得解.【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴CD∥AB,∴△DEF∽△BAF.∵DE:EC=3:2,∴==,∴=()2=.故选:C.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质,牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.10.在某一时刻,测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m,同时测得一根旗杆的影长为25m,那么这根旗杆的高度为()A.10m B.12m C.15m D.40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解.【解答】解:设旗杆高度为x米,由题意得,=,解得:x=15.故选:C.【点评】本题考查了相似三角形的应用,主要利用了同时同地物高与影长成正比,需熟记.二.填空题(共8小题)11.若=,则=.【分析】根据分比性质,可得答案.【解答】解:由分比性质,得=﹣=﹣2=,∴=,故答案为:.【点评】本题考查了比例的性质,利用了分比性质,用x表示y,是解题关键.12.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C;过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E.若AB=2,BC=4,BD=1.5,则线段DE的长为 4.5.【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=,然后把AB、BC、BD的值代入后,利用比例的性质可计算出DE的长.【解答】解:∵l1∥l2∥l3,∴=,即,∴BE=3,∴DE=3+1.5=4.5.故答案为:4.5.【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.13.已知==,且a+b﹣2c=6,则a的值10.【分析】设===k,表示出a,b,c,代入a+b﹣3c=求出k的值,即可确定出a的值.【解答】解:设===k,则有a=5k,b=6k,c=4k,代入a+b﹣2c=得:5k+6k﹣8k=6,解得:k=2,则a=10,故答案为:10【点评】此题考查了比例的性质,熟练掌握比例的性质是解本题的关键.14.如图,△ABC与△ADB中,∠ABC=∠ADB=90°,∠C=∠ABD,AC=5cm,AB=4cm,AD 的长为.【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案.【解答】解:∵∠ABC=∠ADB=90°,∠C=∠ABD,∴△ACB∽△ABD,∴,∴AD==cm,故答案为:【点评】本题考查相似三角形的性质与判定,解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定,本题属于基础题型.15.如图,在△ABC中,DE∥BC,=,则=.【分析】由DE∥BC可得出∠ADE=∠B、∠AED=∠C,进而可得出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的性质可得出的值.【解答】解:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∴△ADE∽△ABC,∴==.故答案为:.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,利用相似三角形的判定定理证出△ADE∽△ABC是解题的关键16.已知△ABC和△DEF中.点A、B、C分别与点D、E、F相对应.且∠A=70°时,∠B=34°,∠D=70°,则当∠F=76°时,△ABC∽△DEF.【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断.【解答】解:∵△ABC和△DEF中.点A、B、C分别与点D、E、F相对应.且∠A=70°时,∠B =34°,∠D=70°,∴∠B=∠E=34°,∴∠C=∠F=76°,故答案为:76°【点评】此题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键.17.如图,已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A(m,m),B(2n,n),以原点O为位似中心,相似比为,把线段AB缩小,则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′(m,m),B′(n,n);点A到原点O的距离是m.【分析】由于在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k,则把点A和点B的坐标都乘以即可得到点A′和点B′的坐标,再利用两点间的距离公式计算点A到原点O的距离.【解答】解:∵A(m,m),B(2n,n),而位似中心为原点,相似比为,∴A′(m,m),B′(n,n);点A到原点O的距离==m.故答案为(m,m),(n,n);m.【点评】本题考查了位似变换:如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k.18.如图,比例规是一种画图工具,使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短,它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的,如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OD,OB=3OC),然后张开两脚,使A、B两个尖端分别在线段l的两端上,若CD =2,则AB的长是6.【分析】根据题意可知△ABO∽△DCO,根据相似三角形的性质即可求出AB的长度,此题得解.【解答】解:根据题意,可知:△ABO∽△DCO,∴=,即=3,∴AB=6.故答案为:6.【点评】本题考查了相似三角形的应用,利用相似三角形的性质求出AB的长度是解题的关键.三.解答题(共8小题)19.已知,(1)求的值;(2)若x﹣2y+4z=24,求x+y+z的值.【分析】设=k,于是得到x=2k,y=3k,z=4k,代入代数式即可得到结论.【解答】解:∵,∴设=k,∴x=2k,y=3k,z=4k,∴(1)==;(2)∵x﹣2y+4z=24,∴2k﹣6k+16k=24,∴k=2,∴x+y+z=2k+3k+4k=9k=18.【点评】本题考查了比例的性质,熟练掌握比例的性质是解题的关键.20.如图,四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形,AB=3,AD=6.5,BF=2.(1)求下列各线段的比:,,;(2)指出AB,BC,CF,CD,EF,FB这六条线段中的成比例线段(写一组即可)【分析】(1)根据矩形的性质和线段的和差关系得到CD,EF,BC,CF,再代入数据即可求得各线段的比;(2)根据成比例线段的定义写一组即可求解.【解答】解:(1)∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形,AB=3,AD=6.5,BF=2,∴CD=EF=AB=3,BC=AD=6.5,CF=BC﹣BF=4.5,∴==,==,=;(2)成比例线段有=.【点评】本题考查了矩形的性质,比例线段,解决问题的关键是得到CD,EF,BC,CF的值.21.如图,在△ABC与△A'B'C'中,∠A=∠A',BD、CE是△ABC的高,B'D'、C'E'是△A'B'C'的高,点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上,且=.求证:=【分析】先证△BDC∽△B′D′C′得∠ACB=∠A′C′B′,结合∠A=∠A′可证△ABC∽△A'B'C',再利用相似三角形的性质可得答案.【解答】解:∵BD是AC边上的高、B'D'是A'C'的高,∴∠BDC=∠B′D′C′=90°,∴△BDC和△B′D′C′均为直角三角形,∵=,∴△BDC∽△B′D′C′,∴∠ACB=∠A′C′B′,∵∠A=∠A′,∴△ABC∽△A'B'C',∵BD、CE是△ABC的高,B'D'、C'E'是△A'B'C'的高,∴=.【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的对应边的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比、面积比等于相似比的平方的性质.22.如图所示:在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D,E分别为BC.AB边上一点,∠ADE=∠C,(1)求证:AD2=AE•AB;(2)∠ADC与∠BED是否相等?请说明理由;(3)若CD=2,求AD的长.【分析】(1)证明△DAE∽△BAD,根据相似三角形的性质证明;(2)根据三角形的外角的性质、等腰三角形的性质证明;(3)证明△ADC∽△DEB,根据相似三角形的性质求出BE,代入(1)的结论计算即可.【解答】(1)证明:∵∠ADE=∠C,∠DAE=∠BAD,∴△DAE∽△BAD,∴=,即AD2=AE•AB;(2)∠ADC=∠DAE+∠B,∠BED=∠DAE+∠ADE,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠ADC=∠BED;(3)∵∠ADC=∠BED,∠B=∠C,∴△ADC∽△DEB,∴=,即=,解得,BE=2.4,由(1)得,AD2=AE•AB=13,则AD=.【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.23.如图,∠ABC=∠BCD=90°,∠A=45°,∠D=30°,BC=1,AC,BD交于点O.求的值.【分析】由同旁内角互补两直线平行得到AB与CD平行,再利用两直线平行内错角相等,以及对顶角相等得到三角形相似,由相似得比例求出所求即可.【解答】解:∵∠ABC=∠BCD=90°,∴AB∥CD,∴∠A=∠ACD,∴△ABO∽△CDO,∴,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=45°,BC=1,∴AB=1,在Rt△BCD中,∠BCD=90°,∠D=30°,BC=1,∴CD=,∴==.【点评】此题考查了相似三角形的性质与判定,以及平行线的性质,能利用相似三角形的性质将未知线段的比转化为已知线段的比是解本题的关键.24.如图,以O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍(不写作法,保留作图痕迹).【分析】延长OA到A′使OA′=2OA,同样作出点B′、C′,从而得到满足条件的△A′B′C′;反向延长OA到A″使OA″=2OA,同样作出点B″、C″,从而得到满足条件的△A″B″C″.【解答】解:如图所示:△A′B′C′和△A″B″C″.【点评】本题考查了作图﹣位似变换:画位似图形的一般步骤为:先确定位似中心;再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点;然后根据位似比,确定能代表所作的位似图形的关键点;最后顺次连接上述各点,得到放大或缩小的图形.25.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,AC2=AB•AD,∠ADC=90°,点E为AB的中点.(1)求证:△ADC∽△ACB.(2)若AD=2,AB=3,求的值.【分析】(1)根据角平分线的定义得到∠DAC=∠CAB,根据相似三角形的判定定理证明;(2)根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠ADC=90°,根据直角三角形的性质得到CE=AE,根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明=,由相似三角形的性质列出比例式,计算即可.【解答】(1)证明:∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,∵AC2=AB•AD,∴=,∴△ADC∽△ACB;(2)∵△ADC∽△ACB,∴∠ACB=∠ADC=90°,∵点E为AB的中点,∴CE=AE=AB=,∴∠EAC=∠ECA,∴∠DAC=∠EAC,∴∠DAC=∠ECA,∴CE∥AD;∴==,∴=.【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.26.如图,点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,联结DE,过顶点B作BF⊥DE,垂足为F,BF交边DC于点G.(1)求证:GD•AB=DF•BG;(2)联结CF,求证:∠CFB=45°.【分析】(1)由∠BCD=∠GFD=90°、∠BGC=∠FGD可证得△BGC∽△DGF,即可知,根据AB=BC即可得证;(2)连接BD,由△BGC∽△DGF知,即,根据∠BGD=∠CGF可证△BGD∽△CGF得∠BDG=∠CFG,再由即可得证.【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD=∠ADC=90°,AB=BC,∵BF⊥DE,∴∠GFD=90°,∴∠BCD=∠GFD,∵∠BGC=∠FGD,∴△BGC∽△DGF,∴,∴DG•BC=DF•BG,∵AB=BC,∴DG•AB=DF•BG;(2)如图,连接BD、CF,∵△BGC∽△DGF,∴,∴,又∵∠BGD=∠CGF,∴△BGD∽△CGF,∴∠BDG=∠CFG,∵四边形ABCD是正方形,BD是对角线,∴,∴∠CFG=45°.【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质,解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质.。

图形的相似单元测试【含答案】

图形的相似单元测试【含答案】

DC B A 图形的相似 单元测试(时间:60分钟,共100分)一、选择题(每小传统3分,共30分) 1.下列语句正确的是 ( )A .在△ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°, 则△ABC 和△A′B′C′不相似B .在△ABC 和△A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C′=16,B′C′=14,A′B ′=10,则△ABC ∽△A′B′C′C .两个全等三角形不一定相似D .所有的菱形都相似2.如图所示,△ABC ∽△ADE ,AE=30cm ,EC=15cm ,BC=60cm ,则DE 的长为 ( ) A .40cm B .50cm C .45cm D .35cm 3.如图所示,能保证△ACD ∽△ABC 的条件是 ( ) A .AB:BC=AC:CD B .CD:AD=BC:AC C .CD 2=AD .DC D .AC 2=AB .AD 4.如果两个相似多边形的面积比为9:4,那么这两个相似多边形的相似比为 ( ) A .9:4 B .2:3 C .3:2 D .81:16 5.小明用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上,如图 所示给出的四个图案中,符合图示胶滚图案的是 ( )6.语句:“①所有度数相等的角都相似;②所有边长相等的菱形都相似;③所有的正方形都相似;④所有的圆都相似”中准确的有 ( )A .4句B .3句C .2句D .1句 7.下列语句中不正确的是 ( )A .求两条线段的比值,必需采用相同的长度单位B .求两条线段的比值,只需采用相同的长度单位,与选用何种长度单位无关C .两个相似三角形中,任意两组边对应成比例D .不相似的两个三角形中,也有可能两组边对应成比例 8.下列各组图形有可能不相似的是 ( ) A .各有一个角是50°的两个等腰三角形 B .各有一个角是100°的两个等腰三角形 C .各有一个角是50°的两个直角三角形 D .两个等腰直角三角形9.一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6,另一个多边形和这个多边形相似,其最短边长为6,则最长边长为( )A .12B .18C .24D .301250800xy ╯ ╮ 650 536╭α ╰ ╯ 803 10. 已知cba b a c a c b +=+=+=k ,则k=( ) A .2 B .-1 C .2或-1 D .0二、填空题(每小题3分,共24分)11.如果一个三角形的面积扩大9倍,那么它的边长扩大_____________倍.12.如图所示,有一块呈三角形的草坪,其一边长为20m ,在这个草坪的图纸上,若这条边的长为5cm ,其他两边的长都是3.5cm ,则该草坪其他两边的实际长度为______________.13.如图所示的两个三角形是相似的x=_________,m=___________,n=____________.x2a 55︒m ︒45︒103a n ︒80︒45︒14. 已知如图,两个矩形相似, 则x= ,y= ,α= .15. 在相同时刻的物高与影长成比例,如果一古塔在地面上影长为50m ,同时,高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ,那么,古塔的高是___米.16.如图中的两个矩形相似,则x=___________.17. 请把下列各组图形是否相似的结论写在下面的括号里.18.如图在直角坐标系中,右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(-4,2)、(-2,2),右图中左眼的坐标是(3,4),则右图案中右眼的坐标是 .三、解答题(19小题6分,其余各小题8分,共46分) 19.把上下对应的相似图形用线连起来20.如图所示,写出多边形ABCDEF 各个顶点的坐标,并画出多边形ABCDEF 关于y 轴的轴对称图形,它们相应的对称点的坐标有什么变化?-3 -2 -1 32 1 O -1 -212 3 xy21.学生会举办一个校园摄影艺术展览会,小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边,如图所示.两人在设计时发生了争执:小华要使内外两个矩形相似,感到这样视觉效果较好;小刚试了几次不能办到,表示这是不可能的.小红和小莉了解情况后,小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到,小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到.请你动手试一试,说一说你的看法.222.以下列正方形网络的交点为顶点,分别画出两个相似比不为1的相似三角形,使它们:(1)都是直角三角形;(2)都是锐角三角形;(3)都是钝角三角形.23.如果一个图形经过分割,能成为若干个与自身相似的图形,我们称它为“能相似分割的图形”,如图所示的等腰三角形和矩形就是能相似分割的图形. (1)你能否再各举出一个 “能相似分割”的三角形和四边形?(2)一般的三角形是否“能相似分割的图形”?如果是的话给出一种分割方案,否则说明原因.24.我们通常用到的一种复印纸,整张称为A 1纸,对折一分为二裁开成为A 2纸,再一分为二成为A 3纸,…,它们都是相似的矩形.求这种纸的长与宽的比值(精确到千分位).参考答案1.B ;对应边成比例 2.A ;根据对应边成比例 3.D ;比例性质 4.C ;相似形的性质 5.C ;图形的相似 6.B ;②③④ 7.C ;注意对应 8.A ;不符合对应关系 9. 由相似多边形对应边成比例,设最长边为x .∴x662 ,∴2x=36,x=18.答案:B 10.C .2或-1二、11.3倍 12.14m 13.20314.根据相似形的性质,得x=2.5,y=1.5,α=900;⑵x=22.5. 15.在相同时刻的物高与影长成比例,设古塔的高为xm ,则505.25.1x=,解得x=30(m ) 16.已知两个矩形相似,根据相似形的性质,有x201530=,∴30x =15×20,解得x =10;又152030=x ,∴x =22.5 17. ①相似,②不相似,③不相似,④相似,⑤不相似,⑥不相似 18. 由左图案中左右眼睛的坐标分别是(-4,2)、(-2,2),不难发现左右眼睛之间的距离2个单位;平移后的图形右图中左眼的坐标是(3,4),则右图案中右眼的坐标的纵坐标不变,横坐标为3+2=5,即右图案中右眼的坐标是(5,3). 三、19.相似形连线如(1)-(a ),(2)-(d),(3)-(g)20.提示:A(-2,0),B(0,-3),C(3,-3),D(4,0),E(3,3),F(0,3),A′(2,0),B′(0, 3),C′(-3,-3),D′(-4,0),E′(-3,3),F′(0,3).21.只有正方形才能做到,设矩形的一边为a ,另一边为b ,等宽的纸边宽为c ,按小华的要求,应有cb ca b a 22--=,化简得a=b . 22.作图如下23.例如直角三角形,一组底角是60°、三边相等的等腰梯形. 三角形都是“能相似分割的图形”(提示:顺次连结三角形三边中点,将三角形分成的四个三角形都和原三角形相似)24. 1.414(提示:设 A 1纸的长为a ,观为b ,由A 1,A 2纸的长余观对应成比例,得a:b=b:21a )。

湘教版九年级上册数学《第3章图形的相似》单元测试题含答案

湘教版九年级上册数学《第3章图形的相似》单元测试题含答案

第3章图形的相似一、选择题1.在1:1000000的地图上,A,B两点之间的距离是5cm,则A,B两地的实际距离是()A. 5kmB. 50kmC. 500kmD. 5000km2.下列说法错误的是()A. 两个等边三角形一定相似B. 两个等腰三角形一定相似C. 两个等腰直角三角形一定相似D. 两个全等三角形一定相似3.若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1:2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为()A. 1:2B. 1:4C. 2:1D. 4:14.已知△ABC∽△DEF,如果∠A=55º,∠B=100º,则∠F=()A. 55ºB. 100ºC. 25ºD. 30º5.如图,若DC∥FE∥AB,则有()A. B. C. D.6.如图,已知l1∥l2∥l3,DE=4,DF=6,那么下列结论正确的是()A. BC:EF=1:1B. BC:AB=1:2C. AD:CF=2:3D. BE:CF=2:37.某一时刻,身高1.6m 的小明在阳光下的影长是0.4m.同一时刻同一地点,测得某旗杆的影长是5m,则该旗杆的高度是()A. 1.25mB. 10mC. 20mD. 8m8.如图,已知D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点,DE∥BC,且S四边形DBCE=8S△ADE.那么AE:AC的值为()A. 1:8B. 1:4C. 1:3D. 1:99.如图所示,在△ABC中D为AC边上一点,若∠DBC=∠A ,BC=3,AC=6,则CD的长为()A. 1B. 2C.D.10.如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连接AE、AC,分别交BD于M、N,则BM:DN等于()A. 1:2B. 1:3C. 2:3D. 以上都不正确二、填空题11.若线段a,b,c,d成比例,其中a=3cm,b=6cm,c=2cm,则d=________ .12.如果两个相似三角形的相似比是1:3,那么这两个三角形面积的比是________.13.已知实数a,b,c满足a+b+c=10,且,则的值是________14.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等,则=________ .15.如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心点是O,= ,则=________ .16.已知,△ABC在直角坐标系内,三个顶点的坐标分别为A(0,3),B(3,4),C(2,2)(正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度).①画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1,点C1的坐标是________ ;②以点B为位似中心,在网格内画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2:1________ ,点C2的坐标是________ ;③若M(a,b)为线段AC上任一点,写出点M的对应点M2的坐标________ .17.如图,已知D ,E分别是△ABC的边BC和AC上的点,AE=2,CE=3,要使DE∥AB ,那么BC:CD应等于________.18.如图,△ABC的两条中线AD和BE相交于点G,过点E作EF∥BC交AD于点F,那么=________ .19.如图,阳光通过窗口AB照射到室内,在地面上留下4米宽的亮区DE,已知亮区DE到窗口下的墙角距离CE=5米,窗口高AB=2米,那么窗口底边离地面的高BC=________米.20.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放,被分割成了5个部分.①,②,③这三块的面积比依次为1:4:41,那么④,⑤这两块的面积比是________三、解答题21.如图,在△ABC中,点D在边AB上,满足且∠ACD=∠ABC,若AC=2,AD=1,求DB的长.22.如图,在正方形ABCD中,E为边AD的中点,点F在边CD上,且CF=3FD,△ABE与△DEF相似吗?为什么?23.如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且△ACP∽△PDB,求∠APB的度数.24.已知:如图,.(1)求证:;(2)当时,求证:EC BC.25.在矩形ABCD中,AD=3,CD=4,点E在边CD上,且DE=1.(1)感知:如图①,连接AE,过点E作EF⊥AE,交BC于点F,连接AF,易证:△ADE≌△ECF(不需要证明);(2)探究:如图②,点P在矩形ABCD的边AD上(点P不与点A、D重合),连接PE,过点E作EF⊥PE,交BC于点F,连接PF.求证:△PDE∽△ECF;(3)应用:如图③,若EF交AB边于点F,其他条件不变,且△PEF的面积是3,则AP的长为________.参考答案一、选择题B B BCD B C C C C二、填空题11.4cm12.1:913.14.15..16.(2,﹣2);;(1,0);(2a﹣3,2b﹣4)17.18.19.2.520.9:14三、解答题21.解∵∠ACD=∠ABC,∠BAC=∠CAD,∴△ADC∽△ACB.∴. ∵AC=2,AD=1,∴.∴DB=AB-AD=3.22.解:△ABE与△DEF相似.理由如下:∵四边形ABCD为正方形,∴∠A=∠D=90°,AB=AD=CD,设AB=AD=CD=4a,∵E为边AD的中点,CF=3FD,∴AE=DE=2a,DF=a,∴=2,=2,∴而∠A=∠D,∴△ABE∽△DEF.23.解:∵△PCD是等边三角形,∴∠PCD=60°,∴∠ACP=120°,∵△ACP∽△PDB,∴∠APC=∠B,又∠A=∠A,∴△ACP∽△ABP,∴∠APB=∠ACP=120°24.证明:(1)∵∴△ABC∽△DEF∴,(2)∵BAC=DAE∴BAD=CAE又∵∴∴△ABD∽△ACE∴ABD=ACE∵BAC=90°∴ABD+ACD=90°∴ACE+ACD=90°即EC BC.25.(1)证明:感知:如图①,∵四边形ABCD为矩形,∴∠D=∠C=90°,∴∠DAE+∠DEA=90°,∵EF⊥AE,∴∠AEF=90°,∴∠DEA+∠FEC=90°,∴∠DAE=∠FEC,∵DE=1,CD=4,∴CE=3,∵AD=3,∴AD=CE,∴△ADE≌△ECF(ASA)(2)探究:如图②,∵四边形ABCD为矩形,∴∠D=∠C=90°,∴∠DPE+∠DEP=90°,∵EF⊥PE,∴∠PEF=90°,∴∠DEP+∠FEC=90°,∴∠DPE=∠FEC,∴△PDE∽△ECF(3)2。

相似图形单元测试题(含答案)

相似图形单元测试题(含答案)

第四章相似图形单元测试题时间120分钟,满分120分一.选择题(每小题3分,共30分)1、如图,在Rt ABC △内有边长分别为a ,b ,c 的三个正方形.则a ,b ,c 满足的关系式是( )A .b a c =+B .b ac =C .222b ac =+ D .22b a c ==2、如图,小正方形的边长均为1,则图中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )3、如下左图,五边形ABCDE和五边形A 1B 1C 1D 1E 1是位似图形,且PA 1=32PA ,则AB ׃A 1B 1等于( ) A .32 B .23 C . 53 D .354、如上中图,在大小为4×4的正方形网格中,是相似三角形的是( ).A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④5、厨房角柜的台面是三角形,如上右图,如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石.(图中阴影部分)其余部分铺成白色大理石,那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是( )A .14B .41C .13D .346、在△MBN 中,BM =6,点A ,C,D 分别在MB 、NB 、MN 上,四边形ABCD 为平行四边形,∠NDC =∠MDA 则□ABCD 的周长是( )A .24B .18C .16D .127、下列说法“①位似图形都相似;②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到;③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1∶2;④两个相似多边形的面积比为4∶9,则周长的比为16∶81.”中,正确的有()A .1个B .2个C .3个D .4个8、如图,点M 在BC 上,点N 在AM 上,CM=CN ,CMBMAN AM =,下列结论正确的是( ) A .∆ABM ∽∆ACB B .∆ANC ∽∆AMB C .∆ANC ∽∆ACM D .∆CMN ∽∆BCA9、已知:如图,小明在打网球时,要使球恰好能打过而且落在离网5米的位置上(网球运行轨迹为直线),则球拍击球的高度h 应为( ).A.0.9m B.1.8m C.2.7m D.6m10、如图,路灯距地面8米,身高1.6米的小明从距离灯的底部(点O )20米的点A 处,沿OA 所在的直线行走14米到点B 时,人影的长度A .增大1.5米B .减小1.5米C .增大3.5米D .减小3.5米BA C第8题图ABCN ME 1D1C 1B 1A 1BDACEP二、填空题:(30分)11、如图,在平行四边形ABCD 中,M 、N 为AB 的三等分点,DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点,则AP :PQ :QC= .12、如图,将①∠BAD = ∠C ;②∠ADB = ∠CAB ; ③BC BD AB ⋅=2;④DBABAD CA =;⑤DA AC BA BC =; ⑥ACDABA BC =中的一个作为条件,另一个作为结论,组成一个真命题,则条件是__________,结论是_______.(注:填序号)13、如图,Rt ∆ABC 中,AC ⊥BC ,CD ⊥AB 于D ,AC=8,BC=6,则AD=_________。

沪科版九年级数学上册试题 第22章《相似形》单元测试卷(含答案详解)

沪科版九年级数学上册试题  第22章《相似形》单元测试卷(含答案详解)

第22章《相似形》单元测试卷一、单选题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1.两千多年前,古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割,即:如图,点P 是线段AB 上一点(AP >BP ),若满足,则称点P 是AB 的黄金分割点.黄金分割在日常生活中处处可见,例如:主持人在舞台上主持节目时,站在黄金分割点上,观众看上去感觉最好.若舞台长20米,主持人从舞台一侧进入,设他至少走x 米时恰好站在舞台的黄金分割点上,则x 满足的方程是( )A .(20﹣x )2=20xB .x 2=20(20﹣x )C .x (20﹣x )=202D .以上都不对2.如图,点D ,E ,F 分别在的边上,,,,点M 是的中点,连接并延长交于点N ,则的值是( )A .B .C .D .3.将含有的三角板按如图所示放置,点在直线上,其中,分别过点,作直线的平行线,,点到直线,的距离分别为,,则的值为( )BP APAP AB=ABC V 13AD BD =DE BC ∥EF AB ∥EF BM AC ENAC32029161730︒ABC A DE 15BAD ∠=︒B C DE FG HIB DE HI 1h 2h 12h hA .1 BCD4.如图,点D 是△ABC 中AB 边上靠近A 点的四等分点,即4AD =AB ,连接CD ,F 是AC 上一点,连接BF 与CD 交于点E ,点E 恰好是CD 的中点,若S △ABC =8,则四边形ADEF 的面积是( )A .4B .C .2D .5.如图,在边长为的小正方形组成的网格中,建立平面直角坐标系,的三个顶点均在格点(网格线的交点)上.以原点为位似中心,画使它与的相似比为,则点的对应点的坐标是( )A .B .C .或D .或6.如图,已知、,与相交于点,作于点,点是的中点,于点,交于点,若,,则值为( )11-1181171ABC V O 111A B C △ABC V 2B 1B ()42,()42--,()42,()42--,()42,()42,-AB BC ⊥DC BC ⊥AC BD O OM BC ⊥M E BD EF BC ⊥G AC F 4AB =6CD =OM EF -A.B .C .D .7.如图,在平面直角坐标系中,为原点,为平面内一动点,,连接,点是线段上的一点,且满足.当线段取最大值时,点的坐标是( )A .B .C .D .8.如图,四边形是矩形,平分,,、的延长线交于点,连接,连接交于点.下列结论错误的是()A .图中共有三个等腰直角三角形B .C .D .9.如图,在平面直角坐标系中,点,点B 是线段上任意一点,在射线上取一点C ,使,在射线上取一点D ,使.所在直线的关系式为,点F 、G分别为线段的中点,则的最小值是()751253525O OA OB ==C 32BC =AC M AC :1:2CM MA =OM M36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ABCD CE BCD ∠AE CE ⊥EA CB F DE BD CE G DGC EBC∠=∠AB AD CG CE⋅=⋅∽CDG CEBV V ()E OE OA OB BC =BC BD BE =OA 12y x =OC DE 、FGABC .D .4.810.如图所示,正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成,且内接于正方形,连接,.已知正方形与正方形面积之比为,若,则( )A BCD .二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)11.已知,且,则 .12.在中,M ,N 分别是BC ,AC 边上一点,连接AM ,BN 交于点P ,若,,则 .13.正方形中,E ,F 分别是,上的点,连结交对角线于点G ,若恰好平分,,则的值为 .ABCD FGHI DE BE CE>ABCD FGHI 59DE CH ∥BECE=32::3:5:7a b c =10a b c -+=a b c ++=ABC V :2:3BM CM =:1:4AN CN =:AP MP =ABCD AD DC EF BD BE AEF ∠413DG GB =DE AE14.宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形.古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比,如图,矩形ABCD 为黄金矩形,AB <AD ,以AB 为边在矩形ABCD 内部作正方形ABEF ,若AD =1,则DF = .15.如图,矩形的两条对角线相交于点O ,,垂足为E ,F 是的中点,连接交于点P,那么.16.如图,中,,,,若正方形的顶点在上,顶点、都在上,射线交边于点,则长为 .17.如图:等腰直角三角形中,E 为边上一点,.将沿着翻折得到线段,连接,若.ABCD AC BD ,OE AB ⊥OC EF OB OPPB=ABC V 90ACB ∠=︒2BC =4AC =DEFC D AB F G AC AF BC H CH ABC BC 3BE CE =AB AE AD CD AB =CD =18.如图,在矩形中,,,点在直线上,从点出发向右运动,速度为每秒,点在直线上,从点出发向右运动,速度为每秒,相交于点,则的最小值为 .三、解答题19.(8分)如图,,于点D ,M 是的中点,交于点P ,.若,求的长.ABCD 5cm AB =6cm BC =E AD A 0.5cm F BC B 2cm BE AF 、G BG CG +cm AB AC =AD BC ⊥AD CM AB DN CP ∥6cm AB =PN20.(8分)如图,四边形ABCD 中,AB=AC=AD ,AC 平分∠BAD ,点P 是AC 延长线上一点,且PD ⊥AD .(1)证明:∠BDC=∠PDC ;(2)若AC 与BD 相交于点E ,AB=1,CE :CP=2:3,求AE 的长.21.(10分)如图,在斜坡的顶部有一铁塔AB ,B 是CD 的中点,CD 是水平的,在阳光的照射下,塔影DE 留在坡面上.若铁塔底座宽CD=12m ,塔影长 m ,小明和小华的身高都是1.6m ,同一时刻小明站在点E 处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为2m 和1m ,求塔高AB.18DE22.(10分)如图1,在,,,D 为上一点,连接,分别过点A 、B 作于点N ,于点M .(1)求证:;(2)若点D 满足,求的长;(3)如图2,若点E 为中点,连接,求证:.图1 图2Rt ABC △90ACB ∠=︒1AC BC ==AB CD AN CD ⊥BM CD ⊥ACN CBM V V ≌21BDAD =∶∶DM AB EM 45EMN ∠=︒23.(10分)如图,在正方形中,点是对角线上一点,的延长线交于点,交的延长线于点,连接.(1)求证:;(2)求证:;(3)若的长.ABCD G BD CG AB E DA F AG CG AG =2AB BE DF =⋅GE =GC =EF24.(12分)如图,在平面直角坐标系中,点A 在轴的正半轴上,点在轴的负半轴上,点在轴的正半轴上,且,线段、的长是一元二次方程的两个根,且.(1)求点A 、点的坐标;(2)求点的坐标;(3)若直线过点A 交线段于点,且,求点坐标;(4)在平面内是否存在一点,使得以为直角顶点的与相似,若存在,请直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.x B x C y 90ACB ∠=︒OB OA 213360x x -+=OB OA <B C l BC D :1:2ABD ADC S S =△△D P P APC △ABC V P答案一、单选题1.A【分析】点P 是AB 的黄金分割点,且PB <PA ,PB =x ,则PA =20−x ,则,即可求解.解:由题意知,点P 是AB 的黄金分割点,且PB <PA ,PB =x ,则PA =20−x ,∴,∴(20−x )2=20x ,故选:A .2.A【分析】过点F 作交AC 于点G,可证.同理,可得,,;由,得,于是;设,则,,,从而得.解:过点F 作交AC 于点G,∴∴.BP AP AP AB=BP AP AP AB =FG BN ∥EN GN =13AE AD EC DB ==3EC AE =13AE BF EC FC ==FG BN ∥13BF NG FC GC ==3GC NG =EN NG a ==3=GC a 5EC a =203AC a =320EN AC =FG BN ∥1EN EM GN FM==EN GN =∵,∴.∴.∵,∴.∵,∴.∴.设,则,∴∴.∴.∴.∴.故选:A3.B【分析】设交于点,由,得三角形BCM 为等腰直角三角形,再由含30度角直角三角形三边长比及等腰直角三角形的边长比,设BC 为x ,可得MA 为,再由平行线分线段成比例求解.解:设交于点,∵,,DE BC ∥13AE AD EC DB ==3EC AE =EF AB ∥13AE BF EC FC ==FG BN ∥13BF NG FC GC ==3GC NG =EN NG a ==3=GC a 5EC EN NG GC a=++=35EC AE a ==53AE a =520+533AC AE EC a a a =+==320203EN a AC a ==CE FG M 45DAC BAD CAB ∠=∠+∠=︒MA x =-CE FG M 30CAB ∠=︒15BAD ∠=︒∴,∵,∴,三角形为等腰直角三角形,在Rt △ABC 中,设长为,则,∵,∴,∴,∵,∴,故选:B .4.D【分析】过D 点作DG∥EF ,连接AE ,,GF =FC ,再计算△ADE 和△AEF 的面积即可.解:过D 点作DG ∥EF ,连接AE ,∵点E 恰好是CD 的中点,4AD =AB ,∴,GF =FC ,设AG =k ,则AF =4k ,GF =3k ,FC =3k ,∴,∵,S △ABC =8,∴,∴,∵,∴,∴=.45DAC BAD CAB ∠=∠+∠=︒//FG DE 45CMB DAC ∠=∠=︒BCM BC x CM BC x ==30CAB ∠=︒CA ==MA x =-////HI FG DE 121h MA h CM ===14AG AD AF AB ==14AG AD AF AB ==43AF FC =14ACD ABC S AD S AB ∆∆==124ACD ABC S S ∆∆==112ADE AEC ACD S S S ∆∆∆===43AEFCEF S AF S CF ∆∆==4477AEF AEC S S ∆∆==417ADE AEF ADEF S S S ∆∆=+=+四边形117故选:D .5.C【分析】直接利用位似图形的性质画出三角形顶点的对应点,再顺次连接即可画出图形,根据点的位置写出坐标即可.解:如图所示,当和在原点同侧时,∵与的相似比为2,,∴,即;如图所示,当和在原点两侧时,∵与的相似比为2,,∴,即;综上所述,或,故选C.1B ABC V 111A B C △111A B C △ABC V ()2,1B ()122,12B ⨯⨯()142B ,ABC V 111A B C △111A B C △ABC V ()2,1B ()122,12B -⨯-⨯()142B --,()142B --,()142B ,6.A【分析】证明,,,,求出,求出,,得出即可得出答案.解:、,,∴,,,∴,,∴,,∴,,∴,点是的中点,,,,∴,,∴,∴,故选:.7.DCOM CAB △∽△BOM BDC V V ∽OM CM AB BC =OM BM DC BC =125OM =132EG CD ==122FG AB ==1EF EG FG =-=AB BC ⊥ DC BC ⊥OM BC ⊥OM AB CD ∥∥COM CAB ∴V V ∽BOM BDC V V ∽OM CM AB BC =OM BM DC BC =4OM CM BC =6OM BM BC=125OM =EF BC ⊥ EG AB CD ∥∥ E BD BE DE ∴=BG CG ∴=CF AF ∴=132EG CD ==122FG AB ==1EF EG FG =-=75OM EF -=A【分析】由题意可得点在以点为圆心,为半径的上,在轴的负半轴上取点,连接,分别过、作,,垂足为、,先证,得,从而当取得最大值时,取得最大值,结合图形可知当,,三点共线,且点在线段上时,取得最大值,然后分别证,,利用相似三角形的性质即可求解.解:∵点为平面内一动点,,∴点在以点为圆心,为半径的上,在轴的负半轴上取点,连接,分别过、作,,垂足为、,∵∴∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴当取得最大值时,取得最大值,结合图形可知当,,三点共线,且点在线段上时,取得最大值,C B 32OB x 0D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭BD C M CF OA ⊥ME OA ⊥F E OAM DAC V V ∽23OM OA CD AD ==CD OM D B C B DC CD BDO CDF V V ∽AEM AFC V V ∽C 32BC =C B 32OB x 0D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭BD C M CF OA ⊥ME OA ⊥F E OA OB ==AD OD OA =+=23OA AD =:1:2CM MA =23OA CM AD AC==OAM DAC ∠∠=OAM DAC V V ∽23OM OA CD AD ==CD OM D B C B DC CD∵∴,∴,∵,∴,∵轴轴,,∴,∵,∴,∴,解得同理可得,,∴,解得∴∴当线段取最大值时,点的坐标是,故选D .8.A【分析】根据矩形的性质以及角平分线的性质得,是等腰直角三角形,,是等腰直角三角形,由证明,可得,,则,是等腰直角三角形,由,可得,由三角形外角的性质可得,证明,列比例式并结合等量代换可得.OAOB ==OD =BD =152==9CD BC BD =+=23OM CD =6OM =y x ⊥CF OA ⊥90DOB DFC ∠∠==︒BDO CDF ∠∠=BDO CDF V V ∽OB BD CF CD =1529=CF =AEM AFC V V ∽23ME AM CF AC ==23=ME =OE ===OM M 45DCE BCE ∠=∠=︒CEF △45F DCE ∠=∠=︒ABF △SAS (SAS)≌EBF EDC V V FEB CED ∠=∠BE ED =90FEB CEB CEB CED ∠+∠=∠+∠=︒BED V EBF EDC △≌△FEB CED ∠=∠DGC EBC ∠=∠∽CDG CEB V V AB AD CG CE ⋅=⋅解:如图:四边形是矩形,,,,平分,,,,是等腰直角三角形,,,是等腰直角三角形,,,,,,,,是等腰直角三角形,是等腰直角三角形,故A 错误;,,,,故B 正确;,,故D正确;ABCD AB CD ∴=90ABC BCD ADC ∠=∠=∠=︒90ABF ∴∠=︒CE BCD ∠45DCE BCE ∴∠=∠=︒AE CE ⊥ 90FEC ∴∠=︒CEF ∴V EF CE ∴=45F ∠=︒ABF ∴V BF AB CD ∴==45F DCE ∠=∠=︒ (SAS)≌EBF EDC ∴V △FEB CED ∴∠=∠BE ED =90FEB CEB CEB CED ∴∠+∠=∠+∠=︒BE ED = BED ∴V DCH V 45EBD ∴∠=︒45DGC GCB CBG CBG ∠=∠+∠=︒+∠ 45EBC EBD CBG CBG ∠=∠+∠=︒+∠DGC EBC ∴∠=∠DCG ECB ∠=∠ ∽CDG CEB ∴V V,,,,,故C 正确.故选:A .9.A【分析】如图所示,连接,设射线交射线于H ,过点H 作于M ,连接,先根据三线合一定理得到,,进而证明四边形是矩形,得到,,故当点B 与点M 重合时,最小,即最小,最小值为,设,则,求出,利用相似三角形的性质求出(舍去),则的最小值为.解:如图所示,连接,设射线交射线于H ,过点H 作于M ,连接,∵,,点F 、G 分别为线段的中点,∴,,∵,∴,即,∴四边形是矩形,∴,,∴当最小时,最小,∴当点B 与点M 重合时,最小,即最小,最小值为,∵点H 在直线上,∴可设,∴,∵,CD CG CE CB∴=CD AB = BC AD =AB CG CE AD∴=AB AD CG CE ∴⋅=⋅BF BG ,ED OA HM OE ⊥BH BF OC BG DE ⊥,⊥OBF CBF DBG EBG ==∠∠,∠∠BFHG FG BH =90OHE ∠=︒BH FG HM ()2H m m ,2OM m HM m ==,OE =OMH HME △∽△m =0m =FG BF BG ,ED OA HM OE ⊥BH OB BC =BD BE =OC DE 、BF OC BG DE ⊥,⊥OBF CBF DBG EBG ==∠∠,∠∠180OBF CBF DBG EBG +++=︒∠∠∠∠90CBF DBG +=︒∠∠90FBG ∠=︒BFHG FG BH =90OHE ∠=︒BH FG BH FG HM 12y x =()2H m m ,2OM m HM m ==,()E∴∵,∴,又∵,∴,∴,∴∴(舍去),经检验,∴,故选A .10.A【分析】设,,则,根据正方形与正方形面积之比为,得到,求出,作交于点M ,作交于点P ,证明出,设,则然后利用相似三角形的性质得到,然后解方程求解即可.解:由题意可得,∴设,,则,∵,∴,OE =90MEH HOE MHO MOH +=︒=+∠∠∠∠MHO MEH =∠OMH HME =∠∠OMH HME △∽△OM HM HM ME=2m m =m =0m =m =FG CI DH a ==CH b =IH a b =+ABCD FGHI 59()22259a b a b +=+2BI CH a ==BM GH ⊥GH NE BM ⊥BM BPE ENC ∽V V CN m =IN BP a m ==+a m a a m +=BIC CHD ≌V V CI DH a ==CH b =IH a b =+90H ∠=︒22222CD CH DH a b =+=+∵正方形与正方形面积之比为,∴,即,∴整理得,∴,解得或(舍去),∴,∴,如图所示,作交于点M ,作交于点P ,由题意可得,,∵,∴四边形,是矩形,∴,,∴,∴设,则,∵,∴,∵,∴,∴,又∵,∴,ABCD FGHI 592259CD IH =()22259a b a b +=+222520a ab b -+=25220a a b b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭12a b =2a b=2b a =2BI CH a ==BM GH ⊥GH NE BM ⊥BM AGD DHC ≌V V ED CH ∥BINP ENHD 2PN BI a ==EN DH a ==PE PN EN a =-=CN m =IN BP a m ==+BE CE ⊥90BEP CEN ∠+∠=︒BP PN ⊥90BEP PBE ∠+∠=︒CEN PBE ∠=∠90BPE ENC ∠=∠=︒BPE ENC ∽V V∴,即,∴整理得,∴,∴解得,∴故选:A .二、填空题11.30【分析】设,,,根据得到,求得,从而得出,,,代入进行计算即可.解:,设,,,,,解得:,,,,,故答案为:30.12.【分析】过点M 作,交于点Q ,根据平行线分线段成比例可得,设,求出,即可求解.解:过点M 作,交于点Q ,BP PE BE EN CN CE ==a m a a m+=220a am m -+=210a a m m ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭a m =BE CE =3a k =5b k =7c k =10a b c -+=35710k k k -+=2k =6a =10b =14c =::3:5:7a b c = ∴3a k =5b k =7c k =10a b c -+= 35710k k k ∴-+=2k =6a ∴=10b =14c =6101430a b c ∴++=++=5:8MQ BN ∥AC 23BM NQ CM CQ ==2,3NQ k CQ k ==54k AN =MQ BN ∥AC∵,∴,设,∴,∵,∴,则,∵,∴,故答案为:.13.或4【分析】延长交于R ,作于T ,不妨设,,,可证得是等腰三角形,可推出,进而表示出,然后解,从而求出x 的值,进而可得结果.解:如图,延长交于R ,作于T ,,不妨设,,则,设,MQ BN ∥23BM NQ CM CQ ==2,3NQ k CQ k ==5CN NQ CQ k =+=:1:4AN CN =154AN k =54k AN =MQ PN ∥55428kAP AN MP NQ k ===5:812EF BC GT DE ⊥4DG =13GB =4DE x =REB V 413EG DE DG RG BR BG ===EG DEG △EF BC GT DE ⊥ 413DG GB =∴4DG =13GB =17BD =4DE x =四边形是正方形,,,,,,恰好平分,,,,,在中,,由勾股定理得,解得,,当,当,综上所述,或4,故答案为:或4.14【分析】先根据黄金矩形求出AB ,再利用正方形的性质求出AF ,然后进行计算即可解答.解:∵矩形ABCD 为黄金矩形,AB <AD ,ABCD ∴BC AD ∥AD ==∴EBC AEB ∠=∠4AE AD DE x =-=413EG DE DG RG BR BG ===∴13BR x = BE AEF ∠∴AEB FEB ∠=∠∴EBC FEB ∠=∠∴13ER BR x ==∴4521717EG ER x ==Rt EGT V GT DT DG ===4ET DE DT x =-=-((22252417x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭1x =2x =∴4DE x ==DE =AE ==∴4DE AE=DE =AE ==∴12DE AE =12DE AE =12∴∴∵四边形ABEF 是正方形,∴∴DF=AD -AF=15.【分析】根据矩形性质得到,利用三角形的三线合一得,过O 作交于点Q ,则有,,计算即可.解:∵是矩形,∴,∵F 是的中点,∴,又∵,∴,过O 作交于点Q ,∴,,∴,故答案为:.16.AB AD =AB AD ==1=13OA OB OC ==AE EB =OQ AB P EF OQF AEF V V ∽OQP BEP V V ∽ABCD OA OB OC ==OC 1122OF OC OA ==OA OB =OE AB⊥AE EB =OQ AB P EF OQF AEF V V ∽OQP BEP V V ∽13OP OQ OQ OF PB BE AE AF ====1343【分析】证明,,由相似三角形的性质得出 , ,设, 可得,, 从而可得出答案.解:∵四边形为正方形, ,∴,,∴,, ∴, , 设, ∴,, ∴, ∴, ∴.故答案为 .17.2【分析】如图,作,使,连接,,交于,过作于,可得,,可得,求解,,可得,由对折可得:,,,证明,可得,再证明,可得,有,,求解,可得,从而可得答案.解:∵等腰直角三角形,∴,如图,作,使,连接,,交于,过作于,△∽△ADG ABC AEF AHC V V ∽DG AG BC AC=EF AF CH AC =DG EF x ==24x AG =4x AG x CH +=DGFE 90ACB ∠=︒DG EF BC ∥∥DG EF =△∽△ADG ABC AEF AHC V V ∽DG AG BC AC=EF AF CH AC =DG EF x ==24xAG =4x AG x CH +=2AG x =24x x x CH +=43CH =43AH AE ⊥AH AE =DE EH CH DE K A AF BC ⊥F BAE CAH ∠=∠BC ==12AF CF BC ===()SAS BAE CAH ≌△△454590BCH ∠=︒+︒=︒BE CH ==CE EF ==AH AE ===52EH ==AB AD ==BAE DAE ∠=∠DE BE =45ADE ABE ∠=∠=︒()SAS AEC AHD V V ≌90ECH EDH ∠=∠=︒()Rt Rt HL HEC EHD V V ≌HED CHE ∠=∠CH DE ==EK HK =CK DK =EK HK ==CK DK ===HKE CKD V V ∽ABC AB =AB AC ==BC =AH AE ⊥AH AE =DE EH CH DE K A AF BC ⊥F∵等腰直角三角形,∴,,∴,∴,∴,,∴,∵,∴,,∴∴,由对折可得:,,,∵,∴,∴,∵,,∴,∴,∴,∴,∵,,∴,ABC 90BAC EAH ∠=︒=∠AB AC ==45B ACB ∠=∠=︒BAE CAH ∠=∠BC ==12AF CF BC ===()SAS BAE CAH ≌△△BE CH =45B ACH ∠=∠=︒454590BCH ∠=︒+︒=︒3BE CE =BE CH ==CE EF ==AH AE ===52EH =AB AD ==BAE DAE ∠=∠DE BE ==45ADE ABE ∠=∠=︒90BAC EAH ∠=∠=︒90BAE EAC DAE DAH ∠+∠=︒=∠+∠EAC DAH ∠=∠AE AH =AB AC AD ==()SAS AEC AHD V V ≌45ACE AHD ∠=∠=︒CE HD ==454590EDH ∠=︒+︒=︒90ECH EDH ∠=∠=︒EH EH =CE DH =()Rt Rt HL HEC EHD V V ≌∴,,∴,,由勾股定理可得:,∴,∴,∴,∴,,∴,∴,∴,故答案为:218.10【分析】过点作直线,分别交、于点,过点作直线,分别交、于点,易知四边形、、为矩形,证明,由相似三角形的性质可得;设两点运动时间为,则,,易得,;作点关于直线的对称点,由轴对称的性质可得,故当三点共线时,的值最小,即取最小值,此时,在中,由勾股定理求得的值,即可获得答案.解:如下图,过点作直线,分别交、于点,过点作直线,分别交、于点,HED CHE ∠=∠CH DE ==EK HK =CK DK =222EK CE CK =+222EK EK ⎫=-+⎪⎪⎭EK HK ==CK DK ===45DK CK EK HK ===HKE DKC ∠=∠HKE CKD V V ∽45CD CK HE HK ==4452552CD EH ==⨯=G MN BC ⊥AD BC M N 、G PQ CD ∥AB DC P Q 、ABNM PBNG GNCQ GAE GFB V V ∽AE GM BF GN =E F 、t 0.5AE t =2BF t =1cm GM =4cm GN =C PQ K CG KG =B G K 、、BG KG +BG CG +Rt BCK △BK G MN BC ⊥AD BC M N 、G PQ CD ∥AB DC P Q 、易知四边形、、为矩形,,∵四边形为矩形,∴,∴,,∴,∴,设两点运动时间为,则,,则有,即,∵,∴,,∵四边形为矩形,∴,作点关于直线的对称点,如图,则,,由轴对称的性质可得,当三点共线时,的值最小,即取最小值,此时,在中,,∴的最小值为.故答案为:10.三、解答题19.ABNM PBNG GNCQ 5cm MN AB ==ABCD AD BC ∥AB DC∥GAE GFB ∠=∠GEA GBF ∠=∠GAE GFB VV ∽AEGM BF GN=E F 、t 0.5AE t =2BF t =0.5124GM t GN t ==4GN GM =5cm MN =1cm GM =4cm GN =GNCQ 4cm QC GN ==C PQ K 4cm QK QC ==8cm KC QK QC =+=CG KG =B G K 、、BG KG +BG CG +Rt BCK △10cm BK ===BG CG +10cm解:∵,,∴,又∵,∴,∴,∵点M 是线段的中点,,∴,∴,∴,∵,∴.20.解:(1)证明:∵AB=AD ,AC 平分∠BAD ,∴AC ⊥BD ,∴∠ACD+∠BDC=90°,∵AC=AD ,∴∠ACD=∠ADC ,∴∠ADC+∠BDC=90°,∵PD ⊥AD ,∴∠ADC+∠PDC=90°,∴∠BDC=∠PDC ;(2)解:过点C 作CM ⊥PD 于点M ,AB AC =AD BC ⊥BD DC =DN CM ∥1BN BD PN DC==BN NP =AD DN CM ∥1AP AM PN MD==AP PN =13PN AB =6cm AB =()1162cm 33PN AB ==⨯=∵∠BDC=∠PDC ,∴CE=CM ,∵∠CMP=∠ADP=90°,∠P=∠P ,∴△CPM ∽△APD ,∴=,设CM=CE=x ,∵CE :CP=2:3,∴PC=x ,∵AB=AD=AC=1,∴=,解得:x=,故AE=1-=.21.解:如图,过点D 作,交AE 于点F ,过点F 作,垂足为点G.由题意得,,∴,∵,,∴,∴,答:塔高AB 为24m.CM AD PC PA32x 13x 23x 12+131323DF CD ⊥FG AB ⊥1.62DF DE =18 1.6214.4(m)DF =⨯÷=16m 2GF BD CD === 1.61AG GF =1.669.6(m)AG =⨯=14.49.624(m)AB =+=22.解:(1)证明:∵,,∴,,又∵,∴,∴∵,∴;(2)解:∵,,∴,∴,设,则,由(1)知,,∵,∴,∴,∴,∴,∴;(3)解:延长,相交于点H,AN CD ⊥BM CD ⊥90ANC ∠=︒90BMC ∠=︒90ACB ∠=︒90ACN BCM BCN CBM ∠+∠=∠+∠=︒ACN CBM∠=∠AC BC =()ACN CBM ASA V V ≌AND BMD ∠=∠ADN BDM ∠=∠AND BMD V V ∽12AN DN AD BM DM DB ===AN x =2BM x =AN CM x ==2BM CN x ==222AN CN AC +=()22221x x +=x =CM =CN =MN 2233DM MN ===ME AN∵E 为的中点,∴∵,,∴,∴,,∴,∴,又∵,∴,又∴,∴,∴.23.解:(1)证明:∵是正方形的对角线,∴,,在和中,,∴,∴;(2)证明:∵四边形是正方形,∴,,,AB AE BE=90ANM ∠=︒90BMN ∠=︒AN BM ∥HAE MBE ∠=∠AHE BME ∠=∠()AAS AHE BME V V ≌AH BM =BM CN =CN AH =CM AN=MN HN =45HMN ∠=︒45EMB ∠=︒BD ABCD 45C D B A D B ∠=∠=︒DC DA =CDG V ADG △DC DA CDG ADG DG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS CDG ADG ≌△△CG AG =ABCD 90CBE FDC ∠=∠=︒CB CD AB ==CB DF ∥∴,∴,∴,即,∴;(3)解:∵∴,∵四边形是正方形,∴,,,∴,∴,,∴,∴,设,则,∴,∵,∴,,∴,∴,∴,∴的长为24.(1)解:∵,∴.∴.∵点A 在轴的正半轴上,点在轴的负半轴上,BCE DFC ∠=∠BCE DFC ∽△△CB FD BE DC =AB FD BE AB=2AB BE DF =⋅GE =GC =CE CG GE =+=ABCD CD AB ∥CD AB =CB AD ∥BE CD ∥EBG CDG ∠=∠BEG DCG ∠=∠BEG DCG ∽△△BE GE DC GC ==BE =6CD x =(66AE AB BE CD BE x x =-=-==AF CB ∥FAE CBE ∠=∠AFE BCE ∠=∠AFE BCE △∽△EF AE EC BE==EF =EF 213360x x -+=(4)(9)0x x --=124,9x x ==x B x∴A 点坐标为,B 点坐标为,(2)∵A 点坐标为,B 点坐标为,∴,设点C 的坐标为,则,∵,,∴,∴,∴,∴,∴,解得,经检验,是方程的解且符合题意,∴点C 的坐标是;(3)过点D 作轴于点E ,轴于点F ,如图,则,∴,,∵,∴.∴;,∵,,∴;,()9,0()4,0-()9,0()4,0-9,4OA OB ==()0,t ()0t >OC t =90ACB ∠=︒90AOC COB ∠=∠=︒90OCB ACO OCB OBC ∠+∠=∠+∠=︒ACO OBC ∠=∠ACO CBO V V ∽OC AO OB OC=94tt =6t =6t =()0,6DE x ⊥DF y ⊥DE OC ∥DF OB∥BED BOC V V ∽CDF CBO V V ∽:1:2ABD ADC S S =△△:1:2BD DC =13DE BD OC BC ==23DF CD BO BC ==4OB =6OC =2DE =243DF =解得.∴.(4)解:存在,求解过程如下:设,由题意可得:,,当时,,即,,解得,或,即点坐标为或,当时,,即,,解得或,即点坐标为或,综上可知,满足条件的P 点为:或或或83DF =8,23D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(,)P x y 13AB OB OA =+=BC ===AC ===AP =CP =APC ACB △∽△AP AC PC AC AB CB ==29AC AP AB===6AC CB CP AB ⨯===00x y =⎧⎨=⎩721310813x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩P (0,0)72108,1313⎛⎫⎪⎝⎭APC BCA △∽△AP AC PC BC AB AC ==6AC BC AP AB ⨯===29AC CP AB===96x y =⎧⎨=⎩45133013x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩P ()9,64530,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭(0,0)72108,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭()9,64530,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭。

(必考题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试题(答案解析)

(必考题)初中数学九年级数学上册第四单元《图形相似》测试题(答案解析)

一、选择题1.如图,在平行四边形ABCD 中,E 是DC 上的点,:3:2DE EC =,连接AE 交BD 于点F ,则DEF 与DAF △的面积之比为( )A .2:5B .3:5C .4:25D .9:25 2.如图,////AB CD EF ,若3BF DF =,则AC CE 的值是( )A .2B .12C .13D .33.点B 把线段AC 分成两部分,如果BC AB AB AC ==k ,那么k 的值为( ) A .512+ B .51- C .5+1 D .5-1 4.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题:点G 将一线段MN 分为两线段MG 、GN ,使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项,即满足512MG GN MN MG -==,后人把512-这个数称为“黄金分割数”,把点G 称为线段MN 的“黄金分割点”.如图,在△ABC 中,已知AB =AC =3,BC =4,若点D 是边BC 边上的一个“黄金分割点”,则△ADC 的面积为( )A .55B .355C .205-D .1045-5.若2x =5y ,则x y的值是( ) A .25 B .52 C .45 D .546.如图,已知∠1=∠2,那么添加一个条件后,仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( )A .∠C =∠AEDB .∠B =∠DC .AB BC AD DE = D .AB AC AD AE = 7.若275x y z ==,则2x y z x z +-+的值是( ) A .67 B .13C .49D .4 8.若34,x y =则x y=( ) A .34 B .74 C .43D .73 9.已知点P 是线段AB 的黄金分割点(AP PB >),2AB =,那么AP 的长约为( )A .0.618B .1.382C .1.236D .0.764 10.如图,矩形ABCD 中,6AB =,8BC =,动点P 从A 点出发,按A B C →→的方向在AB 和BC 上移动,记PA x =,点D 到直线PA 的距离为y ,则y 关于x 的函数图象大致是( )A .B .C .D .11.如图,E 是平行四边形ABCD 的BA 边的延长线上的一点,CE 交AD 于点F .下列各式:①AE AB =AF BC ;②AE AB =AF DF ;③AE AB =FE FC;④AE BE =AF BC .其中成立的是( )A .③B .③④C .②③④D .①②③④ 12.如图,在四边形ABCD 中,如果ADC BAC ∠=∠,那么下列条件中不能判定ADC 和BAC 相似的是( )A .DAC ABC ∠=∠B .CA 是BCD ∠的平分线C .AD DC AB AC= D .2AC BC CD =⋅ 二、填空题13.如图所示是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图.已知桌面的半径为0.8m ,桌面距离地面1m ,若灯泡距离地面3m ,则地面上阴影部分的面积为_________m 2(结果保留)π.14.如图,已知在Rt ABC 中,C 90∠=︒,AC 3=,BC 4=,分别将Rt ABC 的三边向外平移2个单位并适当延长,得到111A B C △,则111A B C △的面积为______.15.如图,直线122y x =-+与坐标轴分别交于点,A B ,与直线12y x =交于点,C Q 是线段OA 上的动点,连接CQ ,若OQ CQ =,则点Q 的坐标为___________.16.如图,在平面直角坐标系中,点(0,6)A ,(8,0)B ,点C 是线段AB 的中点,过点C 的直线l 将AOB 截成两部分,直线l 交折线A O B --于点P .当截成两部分中有三角形与AOB 相似时,则点P 的坐标为__________.17.在Rt △ABC 中,AB =6,AC =5,点D 在边AB 上,且AD =2,点E 在边AC 上,当△ADE ∽△ABC 时,AE =____.18.已知点P 在线段AB 上,且AP ∶PB =2∶3,则PB ∶AB =____.19.如图,若ABC 与DEF 都是正方形网格中的格点三角形(顶点在格点上),则DEF 与ABC 的周长比为_________.20.如图所示,在矩形ABCD 中,3AB =6BC =E 在对角线BD 上,且1.8BE =,连结AE 并延长交DC 于点F ,则CF CD=________.三、解答题21.如图,正方形ABCD 中,6AB =,点E 在边CD 上,且3CD DE =.将ADE 沿AE 翻折至AFE △,延长EF 交边BC 于点G ,连接AG 、CF .(1)求证:BG GC =;(2)求CFG △的面积.22.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 是AC 上一点,射线BE 与CD 的延长线交于点P ,与边AD 交于点F ,连接FC .(1)若∠ABF =∠ACF ,求证:CE 2=EF •EP ;(2)若点D 是CP 中点,BE =23,求EF 的长.23.体验:如图1,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,∠B =90°,点M 在BC 边上,当∠AMD =90°时,可知△ABM △MCD (不要求证明).探究:如图2,在四边形ABCD 中,点M 在BC 上,当∠B =∠C =∠AMD 时,求证:△ABM ∽△MCD .拓展:如图3,在△ABC 中,点M 是边BC 的中点,点D 、E 分别在边AB 、AC 上.若∠B =∠C =∠DME =45°,BC =2CE =6,求DE 的长.24.如图,Rt ABC 中,90,ACB AC BC ∠=︒=,P 为ABC 内部一点,且135APB BPC ∠=∠=︒.(1)求证:PAB PBC △∽△;(2)若2PA =,求PB ;(3)若点P 到三角形的边AB ,BC ,CA 的距离分别为123,,h h h ,请直接写出123,,h h h 之间满足关系.25.如图,在平面直角坐标系中,ABC 的三个顶点坐标分别为(1,3),(2,3),(2,1)A B C ----.(1)画出ABC 关于原点O 成中心对称的111A B C △,并写出点1C 的坐标; (2)以原点O 为位似中心,在x 轴上方画出ABC 放大2倍后的222A B C △,并直接写出点2C 的坐标.26.如图,在平面直角坐标系中,ABC 的顶点为()()()2,1,1,3,4,1A B C ,若111A B C △与ABC 是以坐标原点О为位似中心的位似图形,且1A 的坐标为()4,2,请画出111A B C △,并给出顶点11,B C 的坐标.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.B解析:B【分析】由平行四边形的性质得出CD ∥AB ,进而得出△DEF ∽△BAF ,再利用相似三角形的性质可得35EF DE AF BA ==,然后利用高相同的三角形面积比等于底的比得出结果. 【详解】解:∵四边形ABCD 为平行四边形,∴CD ∥AB ,∴∠EDF=∠ABF ,∠DEF=∠BAF ,∴△DEF ∽△BAF .∵DE :EC=3:2, ∴33325DE BA ==+, ∴35EF DE AF BA ==, 设点D 到AE 的距离为h , ∴D 132152DEF AF EF h S S AF AF E h F ⋅===⋅. 故选择:B .【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质,解题的关键是掌握同高三角形的面积比等于底的比.2.A解析:A【分析】由BF=3DF ,得BD=2DF ,使用平行线分线段成比例定理计算即可.【详解】∵BF=3DF ,∴BD=2DF ,∵////AB CD EF , ∴AC CE =BD DF , ∴AC CE =2DF DF=2, 故选A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,熟练掌握定理,特别是定理的对应关系是解题的关键.3.B解析:B【分析】设AC=1,由题意得AB=k ,BC=2k ,由AC=AB+ BC=1得到关于k 的一元二次方程,解方程即可.【详解】设AC=1, ∵BC AB AB AC==k ,且0k >, ∴AB=k ,BC=2k ,∵AC=AB+ BC=1,∴21k k +=,即210k k +-=,∵1a =,1b =,1c =-,()224141150b ac =-=-⨯⨯-=>,∴12k -±=(负值舍去),∴k = 故选:B .【点睛】本题考查了比例线段,公式法解一元二次方程,由比例线段得到一元二次方程是解题的关键.4.A解析:A【分析】作AF ⊥BC ,根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长,再根据黄金分割点的定义求出CD 的长度,利用三角形面积公式即可解题.【详解】解:过点A 作AF ⊥BC ,∵AB=AC ,∴BF=12BC=2, 在Rt ABF ,AF=2222325AB BF -=-=,∵D 是边BC 的两个“黄金分割”点, ∴51CD BC -=即514CD -=, 解得CD=252-,∴12ADC C AF S D ⨯⨯==()125252⨯-⨯=55-, 故选:A .【点睛】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式,求出DC 和AF 的长是解题的关键.5.B解析:B【分析】利用内项之积等于外项之积进行判断.【详解】解:∵2x =5y ,∴52x y =. 故选:B .【点睛】本题考查了比例的性质:熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积,合比性质,分比性质,合分比性质,等比性质).6.C解析:C【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析,从而得到最后答案.【详解】解:∵∠1=∠2∴∠DAE =∠BAC∴A ,B ,D 都可判定△ABC ∽△ADE选项C 中不是夹这两个角的边,所以不相似,故选:C .【点睛】本题考查了相似三角形的判定:①如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;②如果两个三角形的两条对应边的比相等,且夹角相等,那么这两个三角形相似;③如果两个三角形的两个对应角相等,那么这两个三角形相似.7.C解析:C【分析】 根据275x y z k ===,则x =2k ,y =7k ,z =5k ,代入2x y z x z+-+进行计算即可. 【详解】 解:275x y z k ===(k≠0), 则x =2k ,y =7k ,z =5k , ∴2x y z x z+-+=2754495k k k k k +-+=, 故选:C .【点睛】 本题考查了比例的性质,解题的关键是掌握比例的性质进行解题.8.C解析:C【分析】根据比例的性质,两内项之积等于两外项之积进行计算即可求解.【详解】由比例的性质,由34,x y =得43x y =. 故选C .【点睛】本题考查了比例的性质,利用比例的性质是解题关键.9.C解析:C【分析】根据黄金分割点的定义,由题意知AP 是较长线段;则AP=15-+AB ,代入数据即可. 【详解】解:∵线段AB=2,点P 是线段AB 的黄金分割点(AP PB >), ∴AP=15-+AB=15-+≈1.236 故选:C 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念,熟记黄金分割的比值是解题的关键.10.A解析:A【分析】①点P 在AB 上时,点D 到AP 的距离为AD 的长度,②点P 在BC 上时,根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD ,再利用相似三角形的列出比例式整理得到y 与x 的关系式,从而得解.【详解】解:①当点P 在AB 上运动时,D 到PA 的距离8y AD ==,∴当06x ≤≤时,8y =,②当P 在BC 上运动时,∵∠APB+∠BAP=90°,∠PAD+∠BAP=90°,∴∠APB=∠PAD ,又∵∠B=∠DEA=90°,∴△ABP ∽△DEA ,∴AB AP DE AD=,即:68x y =, ∴当610x <≤时,48y x =,∴()()80648610x y x x ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩, 即当06x ≤≤时,函数图象为平行于x 轴的线段,且8y =;当610x <≤时,函数图象为反比例函数,故选项A 符合题意,故选:A .【点睛】本题考查动点问题函数图象,解题关键是利用相似三角形的判定与性质,难点在于根据点P的位置分情况讨论.11.C解析:C【分析】根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ,AB=CD ,由△AEF ∽△DCF 得到AE AF EF CD DF FC ==,用AB 等量代换CD ,得到AE AF EF AB DF FC==;再利用AF ∥BC ,由△AEF ∽△BEC 得AE AF BE BC=,由此可判断. 【详解】解:∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AB ∥CD ,AB=CD ;∴△AEF ∽△DCF , ∴AE AF EF CD DF FC ==,而AB=CD , ∴AE AF EF AB DF FC== ∴②③正确;又∵AF ∥BC ,∴△AEF ∽△BEC , ∴AE AF BE BC=, ∴④正确,①不正确;故选:C .【点睛】本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质.熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键.12.D解析:D【分析】已知∠ADC =∠BAC ,则A 、B 选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定;C 选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定;D 选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等,所以不能推出两三角形相似.【详解】在△ADC 和△BAC 中,∠ADC =∠BAC ,如果△ADC ∽△BAC ,需满足的条件有:①∠DAC =∠ABC 或AC 是∠BCD 的平分线; ②AD DC AB AC=; 故选:D .【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定方法;熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键.二、填空题13.44π【分析】证明△OBQ ∽△OAP 根据相似三角形的性质求出AP 根据圆的面积公式计算得到答案【详解】解:如图由题意得OB=08mOQ=OP-PQ=3-1=2(m )BQ ∥AP ∴△OBQ ∽△OAP ∴即解解析:44π【分析】证明△OBQ ∽△OAP ,根据相似三角形的性质求出AP ,根据圆的面积公式计算,得到答案.【详解】解:如图,由题意得,OB=0.8m ,OQ=OP-PQ=3-1=2(m ),BQ ∥AP ,∴△OBQ ∽△OAP ,∴BQ OQ AP OP =,即0.823AP =, 解得,AP=1.2(m ), 则地面上阴影部分的面积=π×1.22=1.44π(m 2),故答案为:1.44π.【点睛】本题考查的是相似三角形的应用,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.14.54【分析】作于点D 作于点E 作于点F 分别证明△和△求出和再根据三角形面积公式求解即可【详解】解:作于点D 作于点E 作于点F ∵三边向外平移个单位∴∵∴∠且∠∴△∴又∵∠且∠∴△∴∴∴又∵△∴∴∴【点睛】 解析:54【分析】作11CD B C ⊥于点D ,作11BE B C ⊥于点E ,作11BF A B ⊥于点F ,分别证明△ACB BFG ∆∽和△1GHB ACB ∆∽,求出11A C 和11B C ,再根据三角形面积公式求解即可.【详解】解:作11CD B C ⊥于点D ,作11BE B C ⊥于点E ,作11BF A B ⊥于点F ,∵Rt ABC ∆三边向外平移个单位,∴1=22,2,C D CD BE GH BF ====,∵11//AB A B∴∠ABC AGC =∠且∠90ACB BFG =∠=︒∴△ACB BFG ∆∽ ∴103BG = 又∵∠11B A GC ABC =∠=∠,且∠190GHB ACB =∠=︒∴△1GHB ACB ∆∽ ∴1AC GH BC B H= ∴183B H = ∴1111C B CD DE EH HB =+++1082433=+++12=又∵△111ABC A B C ∆∽ ∴1111AC B C AC BC= ∴119A C = ∴111111112A B C S AC B C ∆=⨯⨯ 11292=⨯⨯ 54=【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质与判定,能正确作出辅助线证明三角形是解答此题的关键.15.【分析】与联立组成方程组求出点C 的坐标为(21)从而可判断点C 是AB 的中点所以OC=AC 从而得到∠AOC=∠OAC 又因为所以∠AOC=∠OCQ 从而可判断△OCQ ∽△OAC 再根据相似三角形的性质可得最 解析:5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】122y x =-+与12y x =联立组成方程组求出点C 的坐标为(2,1)从而可判断点C 是AB 的中点,所以OC=AC ,从而得到∠AOC=∠OAC ,又因为OQ CQ =,所以∠AOC=∠OCQ ,从而可判断△OCQ ∽△OAC ,再根据相似三角形的性质可得OQ OC OC OA =,最后把数值代入求出OQ 的长,从而得到Q 点的坐标.【详解】解:如图所示,依题意得:12212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得:21x y =⎧⎨=⎩ ∴点C 的坐标为(2,1) 对于直线122y x =-+,令x=0,解得y=2, 令y=0,解得x=4.∴点A ,B 的坐标分别为(4,0),(0,2).∴点C 是AB 的中点.∵△OAB 为直角三角形,∴OC=AC ,∴∠AOC=∠OAC ,∵OQ CQ =,∴∠AOC=∠OCQ ,∴∠AOC=∠OCQ=∠OAC ,∴△OCQ ∽△OAC , ∴OQ OC OC OA = 又∵△OAB 为直角三角形,OA=4,OB=2,∴222224AB OB OA =+=+=25 ∴OC=AC=12AB =5 ∴55=, 解得:OQ=54, ∴点Q 的坐标为(54,0).故答案为:(54,0). 【点睛】 本题考查了一次函数与二元一次方程,等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质,掌握相关知识是解题的关键.16.或或【分析】分三种情况讨论当时则则当时由则当时则则再利用相似三角形的性质求解的坐标即可【详解】解:点是线段的中点当时则如图当时由如图当时则综上:或或故答案为:或或【点睛】本题考查的是坐标与图形三角形 解析:(0,3)或(4,0)或70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】分三种情况讨论,当PC OA ⊥时,则//,PC OB 则APC AOB ∽,当PC AB ⊥时,由90,,PCB AOB PBC ABO ∠=∠=︒∠=∠ 则BCP BOA △∽△,当CP OB ⊥时,则//,PC OA 则,BCP BAO ∽ 再利用相似三角形的性质求解P 的坐标即可.【详解】解:()()06,8,0,A B , 点C 是线段AB 的中点, 226,8,6810,OA OB AB ∴===+= 15,2AC AB == 当PC OA ⊥时,则//,PC OB ∴ APC AOB ∽,,AP AC AO AB ∴= 162AP ∴=, ()3,0,3,AP P ∴=如图,当PC AB ⊥时,由90,,PCB AOB PBC ABO ∠=∠=︒∠=∠∴ BCP BOA △∽△,,BC BP BO BA∴= 5,810BP ∴= 25,4BP ∴= 2578,44OP ∴=-=7,0,4P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭如图,当CP OB ⊥时,则//,PC OA,BCP BAO ∴∽,BC BP BA BO∴= 1,28BP ∴= 4,BP ∴=4,OP ∴=()4,0.P ∴综上:()0,3P 或7,04P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()4,0.P 故答案为:()0,3P 或7,04P ⎛⎫⎪⎝⎭或()4,0.P 【点睛】本题考查的是坐标与图形,三角形相似的判定与性质,掌握以上知识是解题的关键. 17.【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案【详解】解:∵△ADE ∽△ABC ∴即解得:AE =;故答案为:【点睛】此题考查了相似三角形的性质掌握相似三角形的性质是解题的关键 解析:53【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解,即可求得答案.【详解】解: ∵△ADE ∽△ABC , ∴AD AE AB AC=,即265AE =, 解得:AE =53; 故答案为:53. 【点睛】此题考查了相似三角形的性质.掌握相似三角形的性质是解题的关键.18.3∶5(或)【分析】根据比例的性质直接求解即可【详解】解:由题意AP:PB=2:3∴PB:AB=PB:(AP+PB)=3:(2+3)=3:5;故答案是:3:5(或)【点睛】本题主要考查比例问题关键是解析:3∶5(或35) 【分析】根据比例的性质直接求解即可.【详解】解:由题意AP:PB=2:3,∴PB :AB = PB :(AP+PB)=3:(2+3)=3:5;故答案是:3:5(或35). 【点睛】本题主要考查比例问题,关键是根据比例的性质解答. 19.【分析】设正方形网格的边长为1根据勾股定理求出△EFD △ABC 的边长运用三边对应成比例则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF ∽△BAC 即可解决问题【详解】解:设正方形网格的边长为1由勾股定理得:D【分析】设正方形网格的边长为1,根据勾股定理求出△EFD 、△ABC 的边长,运用三边对应成比例,则两个三角形相似这一判定定理证明△EDF ∽△BAC ,即可解决问题.【详解】解:设正方形网格的边长为1,由勾股定理得:DE 2=22+22,EF 2=22+42,∴DE=EF =同理可求:AC ,BC∵DF =2,AB =2,∴1EF DE DF BC AB AC ===∴△EDF ∽△BAC ,∴DEF 与ABC,.【点睛】本题主要考查了勾股定理和相似三角形的判定及其性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.20.【分析】根据勾股定理求出BD 的长度得到DE 的长根据相似三角形的性质得到对应线段成比例计算可求出DF 的长求出CF 计算得出CF 与CD 的比值即可【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形∴∵∴∵∴∵∴∴解得:则∴ 解析:13【分析】根据勾股定理求出BD 的长度,得到DE 的长,根据相似三角形的性质得到对应线段成比例,计算可求出DF 的长,求出CF ,计算得出CF 与CD 的比值即可.【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形,∴90BAD ∠=︒, ∵AB ==BC ∴3BD ==.∵ 1.8BE =,∴3 1.8 1.2DE =-=.∵//AB CD ,∴ABE FDE ∽△△ ∴ 1.21.8DF DE AB BE ==,解得:DF =,则CF CD DF =-=∴13CF CD ==. 故答案为:13. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质,掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键.三、解答题21.(1)见解析;(2)18 5【分析】(1)由条件可以求出ED的值,设FG=x,则BG=FG=x,CG=6-x,EG=x+2,由勾股定理可以求出x的值,从而可以求出BG和CG的值,得出结论.(2)过点F作FN⊥CG于点N,可以得出∠FNG=∠DCG=90°,通过证明△GFN∽△GEC,得出GF FNGE EC=,可以求出FN的值,最后利用三角形的面积公式可以求出其面积.【详解】解:(1)证明:∵AB=6,CD=3DE,∴DC=6,∴DE=2,CE=4,∴EF=DE=2,设FG=x,则BG=FG=x,CG=6-x,EG=x+2,在Rt△ECG中,由勾股定理得,42+(6-x)2=(x+2)2,解得x=3,∴BG=FG=3,CG=6-x=3,∴BG=CG.(2)过点F作FN⊥CG于点N,则∠FNG=∠DCG=90°,又∵∠EGC=∠EGC,∴△GFN∽△GEC,∴GF FN GE EC=,∴354FN =,∴FN=125,∴S△CGF=12CG•FN=112325⨯⨯=185.【点睛】本题考查了正方形的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理的运用及三角形面积公式的运用.在解答中注意相似三角形的对应顶点在对应的位置.22.(1)见解析;(2)EF=【分析】(1)由平行四边形的性质可得∠ABF BPC =∠,又∠ABF =∠ACF ,可得ACF BPC ∠=∠,又FEC PEC ∠=∠可证△FEC CEP ∆∽,从而可得结论;(2)证明△PFD PBC ∆∽得1122DF BC AD ==,由∠,AEB PEC ABE BPC =∠∠=∠可证明△ABE CPE ∆∽可求得PE =EF EP PF =-可得结论.【详解】解:(1)由题可知,∠ABF =∠ACF ,又∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AB//CD∴∠ABF BPC =∠∴∠ABF ACF BPC =∠=∠∴∠,ACF BPC FEC PEC =∠∠=∠∴△FEC CEP ∆∽ ∴CE EP EF CE= 即CE 2=EF •EP ;(2)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD//BC∴△PFD PBC ∆∽ ∴FD PD BC PC= ∵D 是CP 的中点, ∴PD=12PC ∴12FD BC = ∴1122DF BC AD == 即F 为AD 的中点,F 为BP 的中点∵∠,AEB PEC ABE BPC =∠∠=∠∴△ABE CPE ∆∽ ∴12BE AB PE CP ==∴22PE BE ==⨯=∴12EF EP PF BP =-= 1()2BE EP =+==故EF =【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质,此题难度适中,注意掌握数形结合思想.23.体验:∽;探究:△ABM ∽△MCD ;拓展:DE =103 【分析】体验:根据同角的余角相等得到∠BAM=∠DMC ,根据平行线的性质得到∠C=∠B=90°,根据两角相等的两个三角形相似证明结论;探究:根据三角形的外角性质、相似三角形的判定定理证明;拓展:根据相似三角形的性质求出BD ,根据等腰直角三角形的性质求出AD ,根据勾股定理计算,得到答案.【详解】解:体验:∵∠AMD =90°,∴∠AMB +∠DMC =90°,∵∠B =90°,∴∠AMB +∠BAM =90°,∴∠BAM =∠DMC ,∵AB ∥CD ,∠B =90°,∴∠C =∠B =90°,∴△ABM ∽△MCD ,故答案为:∽;探究:∵∠AMC =∠BAM +∠B ,∠AMC =∠AMD +∠CMD ,∴∠BAM +∠B =∠AMD +∠CMD .∵∠B =∠AMD ,∴∠BAM =∠CMD ,∵∠B =∠C ,∴△ABM ∽△MCD ;拓展:同探究的方法得出,△BDM ∽△CME , ∴BD CM =BM CE,∵点M 是边BC 的中点,∴BM =CM =,∵CE =6,∴=6, 解得,BD =163, ∵∠B =∠C =45°,∴∠A =180°﹣∠B ﹣∠C =90°,∴AC =AB =2BC =8, ∴AD =AB ﹣BD =8﹣163=83,AE =AC ﹣CE =2,在Rt △ADE 中,DE 103. 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理以及三角形外角性质,解本题的关键是判断出△ABM ∽△MCD .24.(1)见解析;(23)2123h h h =⋅【分析】(1)根据45PBA PBC PAB PBA ∠+∠=∠+∠=︒,利用两角分别相等的两个三角形相似即可证得结果;(2)由题意可得AB BC =1)的结论可得,AB PA BC PB=,从而即可求得PB ; (3)根据两角分别相等的两个三角形相似,可证得Rt AEP Rt CDP △△∽,求得322h h =,由PAB PBC △∽△可得32h ,从而得出结论.【详解】(1)∵90ACB ∠=︒,AC BC =,∴45ABC PBA PBC ∠=︒=∠+∠,又∵135APB ∠=︒,∴45PAB PBA ∠+∠=︒,∴PBC PAB ∠=∠,又∵135APB BPC ∠=∠=︒,∴PAB PBC △∽△;(2)由题可知,△ABC 为等腰直角三角形,∴AB BC=由(1)可知,AB PA BC PB =, ∴222BC PB PA AB ==⨯=; (3)如图,过点P 作PD BC ⊥,PE AC ⊥,PF BA ⊥,∴1PF h =,2PD h =,3PE h =,∵135135270CPB APB ∠+∠=︒+︒=︒,∴90APC ∠=︒,∴90EAP ACP ∠+∠=︒,又∵90ACB ACP PCD ∠=∠+∠=︒,∴EAP PCD ∠=∠,∴Rt Rt AEP CDP △∽△,由(1)可进一步得出,2PA PB =,2PB PC =, ∴2PA PC =,∴2PE AP DP PC==,即322h h =, ∴322h h =,∵PAB PBC △∽△,∴122h AB h BC== ∴122h h =,∴2212222322h h h h h h ==⋅=,即:2123h h h =⋅.【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,综合性较强,有一定的难度.25.(1)画图见解析;1(2,1)C -;(2)画图见解析;2(4,2)C -.【分析】(1)根据题意得到A ,B ,C 关于原点O 的对称点连接即可;(2)根据位似图形的作图方法作图即可;【详解】解:(1)根据题意可得()11,3A -,()12,3B ,()12,1C -,如图,1(2,1)C -, (2)根据题意可得,()22,6A -,()24,6B ,()24,2C -连接即可,如图,2(4,2)C -.【点睛】本题主要考查了旋转变换和位似变换,准确作图是解题的关键.26.见解析,11(),(2,6)8,2B C【分析】根据点A 、1A 的坐标求出位似比为2:1,再利用位似图形的性质得出对应点的位置即可得出答案.【详解】111A B C △与ABC 是以坐标原点О为位似中心的位似图形,点A 坐标为()2,1,点1A 的坐标为()4,2∴111A B C △与ABC 的位似比为2:1∴如图所示:111A B C △即为所求;11(),(2,6)8,2B C .【点睛】本题考查了位似三角形的性质,在直角坐标系中作位似图形,解题关键是熟练掌握位似的性质.。

相似单元测试题及答案解析

相似单元测试题及答案解析

相似单元测试题及答案解析一、选择题1. 以下哪项不是相似图形的特点?A. 形状相同B. 面积相等B. 边长成比例D. 角度相同答案:B解析:相似图形的特点是形状相同、边长成比例、角度相同,但面积不一定相等,而是面积比等于边长比的平方。

2. 如果两个三角形相似,它们的对应边长比为3:5,那么它们的对应角的度数比是多少?A. 1:1B. 3:5C. 5:3D. 无法确定答案:A解析:相似三角形的对应角相等,所以它们的对应角的度数比是1:1。

3. 一个矩形的长和宽分别是8厘米和6厘米,另一个矩形的长和宽分别是16厘米和12厘米。

这两个矩形是否相似?A. 是B. 不是C. 无法确定答案:A解析:两个矩形的长宽比分别为8:6和16:12,简化后都是4:3,所以它们是相似的。

二、填空题4. 如果两个图形的相似比为2:3,那么它们的面积比是________。

答案:4:9解析:相似图形的面积比等于相似比的平方,即(2:3)² = 4:9。

5. 在相似三角形中,如果一个三角形的高是另一个三角形高的1.5倍,那么它们的相似比是________。

答案:1.5:1解析:相似三角形的高之比等于相似比,所以相似比为1.5:1。

三、简答题6. 为什么两个相似三角形的对应边长比等于它们的对应角的正弦值之比?答案:在相似三角形中,对应角相等,根据正弦定理,对应角的正弦值与对应边长成比例,所以两个相似三角形的对应边长比等于它们的对应角的正弦值之比。

四、计算题7. 已知三角形ABC与三角形DEF相似,且AB:DE = 2:3,求三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比。

答案:4:9解析:根据相似三角形的性质,面积比等于边长比的平方,即(2:3)² = 4:9。

结束语:通过本单元的测试题,我们复习了相似图形的定义、性质以及相关计算方法。

希望同学们能够熟练掌握相似图形的相关知识,并在实际问题中灵活运用。

图形的相似单元测试(含答案)

图形的相似单元测试(含答案)

图形的相似单元测试一、选择题1、【基础题】在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离为25 cm ,则甲、乙两地的实际距离是 ( ) A. 1250千米 B. 125千米 C. 12.5千米 D. 1.25千米2、【基础题】已知135=ab ,则ba b a +-的值是( ) ★ A. 32 B. 23 C. 49 D. 943、【基础题】如右图,在△ABC 中,看DE ∥BC ,12AD BD =,DE =4 cm ,则BC 的长为 ( ) A .8 cm B .12 cm C .11 cm D .10 cm4、【基础题】如右图,DE 是ΔABC 的中位线,则ΔADE 与ΔABC 的面积之比是( ) A .1:1B .1:2C .1:3D .1:45、【基础题】如下图,小正方形的边长均为1,则图中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) ★★★6、【基础题】下列结论不正确的是( ) ★ A. 所有的矩形都相似 B. 所有的正方形都相似 C. 所有的等腰直角三角形都相似 D. 所有的正八边形都相似7、【基础题】下列说法中正确的是( ) ★A. 位似图形可以通过平移而相互得到;B. 位似图形的对应边平行且相等C. 位似图形的位似中心不只有一个D. 位似中心到对应点的距离之比都相等8、【综合题Ⅰ】如右上图,ABCD 是正方形,E 是CD 的中点,P 是BC 边上的一点,下列条件中,不能推出△ABP 与△ECP 相似的是( ) ★★★A. ∠APB =∠EPC ;B. ∠APE =90°C. P 是BC 的中点D. BP ︰BC =2︰3 9、【综合题Ⅱ】如右上图,Rt △ABC 中,AB ⊥AC ,AB =3, AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E ,PD ⊥AC 于D ,设BP =x ,则PD+PE =( ) A.35x + B. 45x -C.72D.21212525x x -10、【综合题Ⅲ】如图,在Rt ABC △内有边长分别为a ,b ,c 的三个正方形.则a 、b 、c 满足的关系式是( )AB CA. b a c =+B. b ac =C. 222b a c =+D. 22b a c == 二、填空题11、【基础题】在同一时刻,高为1.5m 的标杆的影长为2.5m ,一古塔在地面上影长为50m ,那么古塔的高为 .12、【基础题】两个相似三角形面积比是9∶25,其中一个三角形的周长为36cm ,则另一个三角形的周长是 . 13、【综合题Ⅰ】如左下图,在△ABC 中,AB =5,D 、E 分别是边AC 和AB 上的点,且∠ADE =∠B ,DE =2,那么AD·BC = .14、【基础题】如右上图,在△ABC 和△DEF 中,G 、H 分别是边BC 和EF 的中点,已知AB =2DE ,AC =2DF ,∠BAC =∠EDF . 那么AG :DH = ,△ABC 与△DEF 的面积比是 .15、【基础题】把一个三角形改做成和它相似的三角形,如果面积缩小到原来的21倍,边长应缩小到原来的____倍. 16、【综合Ⅱ】如左下图在Rt △ABC 中, ∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,若AD =1,BD =4,则CD = .17、【基础题】如右上图,一人拿着一支厘米小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上12厘米的长度恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,则电线杆的高为 .18、【基础题】已知一本书的宽与长之比为黄金比,且这本书的长是20 cm ,则它的宽为_____cm.(结果保留根号) 19、【综合Ⅲ】顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形,如图,在△ABC 中,AB =AC =1,∠A =36°,BD 是三角形ABC 的角平分线,那么AD =__ 20、【提高题】如图,点1234A A A A ,,,在射线OA 上,点123B B B ,,在射线OB 上,且112233A B A B A B ∥∥,213243A B A B A B ∥∥.若212A B B △、323A B B △的面积分别为1、4,则图中三个阴影三角形面积之和为 .(第20题图)OA 1 A 2A 3A 4 AB B 1 B 2 B 3 14三、解答题21、【基础题】(2008无锡)如图,已知点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点,BF ⊥AE 于点F ,求证△ABF ∽△EAD .22、【综合Ⅰ】如图27-106所示,已知E 为ABCD 的边CD 延长线上的一点,连接BE 交AC 于O ,交AD 于F .求证BO 2=OF ·OE .23、如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12 cm ,OB=6 cm ,点P 从O 点开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动,如果P 、Q 同时出发,用t (单位:秒) 表示移动的时间(06t ≤≤),那么: (1)当t 为何值时, △POQ 与△AOB 相似?(2)设△POQ 的面积为y ,求y 关于t 的函数解析式。

苏科新版九年级数学下册第6章《图形的相似》单元测试卷( 附答案)

苏科新版九年级数学下册第6章《图形的相似》单元测试卷( 附答案)

《图形的相似》单元培优测试卷一.选择题1.已知=,则的值为()A.B.C.﹣D.﹣2.已知=(a≠0,b≠0),下列变形错误的是()A.=B.2a=3b C.=D.3a=2b3.如果=,那么下列等式中不一定成立的是()A.=B.=C.=D.ad=bc4.给出下列各组线段,其中成比例线段是()A.a=2cm,b=4cm,c=6cm,d=8cmB.a=cm,b=cm,c=cm,d=cmC.a=cm,b=cm,c=cm,d=2cmD.a=2cm,b=cm,c=2cm,d=cm5.点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,下列说法正确的有()①AC=AB,②AC=AB,③AB:AC=AC:BC,④AC≈0.618ABA.1个B.2个C.3个D.4个6.如图,在矩形、锐角三角形、正五边形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框,保证外框的边与原图形的对应边平行,则外框与原图一定相似的有()A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图,点P在△ABC的边AC上,如果添加一个条件后可以得到△ABP∽△ACB,那么以下添加的条件中,不正确的是()A.∠ABP=∠C B.∠APB=∠ABC C.AB2=AP•AC D.8.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()A.B.C.D.9.如图,在Rt△ABC,∠BAC=90°,AD⊥BC,AB=10,BD=6,则BC的值为()A.B.C.D.10.如图,在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(6,0),B(0,8),以某点为位似中心,作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE,则位似中心的坐标和k的值分别为()A.(0,0),2 B.(2,2),C.(2,2),2 D.(1,1),11.一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现在要做一个和它相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根上截两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有()A.一种B.两种C.三种D.四种或四种以上12.如图,已知在▱ABCD中,E为AD的中点,CE的延长线交BA的延长线于点F,则下列选项中的结论错误的是()A.FA:FB=1:2 B.AE:BC=1:2C.BE:CF=1:2 D.S△ABE:S△FBC=1:413.如图,DE∥FG∥BC,若DB=4FB,则EG与GC的关系是()A.EG=4GC B.EG=3GC C.EG=GC D.EG=2GC 14.如图,在平面直角坐标系中,M、N、C三点的坐标分别为(,1),(3,1),(3,0),点A为线段MN上的一个动点,连接AC,过点A作AB⊥AC交y轴于点B,当点A从M运动到N时,点B随之运动.设点B的坐标为(0,b),则b的取值范围是()A.B.C.D.15.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC、BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为()A.5 B.4 C.3D.216.如图,在△ABC中,点D在BC边上,连接AD,点G在线段AD上,GE∥BD,且交AB于点E,GF∥AC,且交CD于点F,则下列结论一定正确的是()A.=B.=C.=D.=17.如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为()A.6 B.8 C.10 D.1218.如图,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则的值是()A.B.C.D.19.如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD与BE、AE分别交于点P,M.对于下列结论:①△BAE∽△CAD;②MP•MD=MA•ME;③2CB2=CP•CM.其中正确的是()A.①②③B.①C.①②D.②③二.填空题20.如图,已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且=,若点A(﹣1,0),点C(,1),则A′C′=.21.如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部,将BF延长交AD于点G.若=,则=.22.如图,已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上,顶点G、F分别在边AB、AC上.如果BC=4,△ABC的面积是6,那么这个正方形的边长是.23.如图,在▱ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若S△AEF=1,则S△ADF的值为.24.如图,在△ABC中,BC=6,BC边上的高为4,在△ABC的内部作一个矩形EFGH,使EF在BC边上,另外两个顶点分别在AB、AC边上,则对角线EG长的最小值为.25.如图,已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切,切点分别为D、E、C,半径OC=1,则AE•BE=.26.矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为.27.已知==,且a+b﹣2c=6,则a的值为.三.解答题28.在下列三个正方形网格图中,△ABC的顶点和另两条线段的端点都在格点上,以给定的线段为一边,分别在图2和图3中各画出一个三角形,使所画的三角形都与△ABC相似,并说明所画三角形与△ABC的相似比.29.如图,△ABC三个顶点分别为A(0,﹣3),B(3,﹣2),C(2,﹣4),正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度.(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1;(2)以点C为位似中心,在网格中画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且△A2B2C2与△ABC的位似比为2:1.30.已知AD为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,切点为M,分别过A,D两点作BC的垂线,垂足分别为B,C,AD的延长线与BC相交于点E.(1)求证:△ABM∽△MCD;(2)若AD=8,AB=5,求ME的长.31.如图所示,⊙O的半径为4,点A是⊙O上一点,直线l过点A;P是⊙O上的一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l于点B,交⊙O于点E,直径PD延长线交直线l 于点F,点A是的中点.(1)求证:直线l是⊙O的切线;(2)若PA=6,求PB的长.32.已知:AB为⊙O的直径,延长AB到点P,过点P作圆O的切线,切点为C,连接AC,且AC=CP.(1)求∠P的度数;(2)若点D是弧AB的中点,连接CD交AB于点E,且DE•DC=20,求⊙O的面积.(π取3.14)33.如图,CD是⊙O的切线,点C在直径AB的延长线上.(1)求证:∠CAD=∠BDC;(2)若BD=AD,AC=3,求CD的长.34.求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比.要求:①根据给出的△ABC及线段A'B′,∠A′(∠A′=∠A),以线段A′B′为一边,在给出的图形上用尺规作出△A'B′C′,使得△A'B′C′∽△ABC,不写作法,保留作图痕迹;②在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知、求证和证明过程.35.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形.(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;(2)如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.求证:△ABC是比例三角形.(3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC=90°时,求的值.参考答案一.选择题1.解:设x=2k,y=5k,则==﹣.故选:D.2.解:由=得,3a=2b,A、由等式性质可得:3a=2b,正确;B、由等式性质可得2a=3b,错误;C、由等式性质可得:3a=2b,正确;D、由等式性质可得:3a=2b,正确;故选:B.3.解:A、正确,∵=,∴+1=+1,∴=;B、错误,b+d=0时,不成立;C、正确.D、正确.∵=,∴ad=bc;故选:B.4.解:A、2×8≠4×6,故选项错误;B、×≠×,故选项错误;C、×2≠×,故选项错误;D、2×=×2,故选项正确.故选:D.5.解:∵点C数线段AB的黄金分割点,∴AC=AB,①正确;AC=AB,②错误;BC:AC=AC:AB,③正确;AC≈0.618AB,④正确.故选:C.6.解:矩形不相似,因为其对应角的度数一定相同,但对应边的比值不一定相等,不符合相似的条件;锐角三角形、直角三角形的原图与外框相似,因为其三个角均相等,三条边均对应成比例,符合相似的条件;正五边形相似,因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等,符合相似的条件.故选:C.7.解:A、当∠ABP=∠C时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;B、当∠APB=∠ABC时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;C、当AB2=AP•AC即=时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;D、无法得到△ABP∽△ACB,故此选项正确.故选:D.8.解:由正方形的性质可知,∠ACB=180°﹣45°=135°,A、C、D图形中的钝角都不等于135°,由勾股定理得,BC=,AC=2,对应的图形B中的边长分别为1和,∵=,∴图B中的三角形(阴影部分)与△ABC相似,故选:B.9.解:根据射影定理得:AB2=BD×BC,∴BC==.故选:D.10.解:如图所示:位似中心F的坐标为:(2,2),k的值为:=.故选:B.11.解:由相似三角形对应边成比例可知,只能将30cm长的作为一边,将50cm长的截成两段,设从50cm的钢筋上截下的两段分别长xcm,ycm,当30cm长的边对应20cm长的边时,,x=75(cm),x>50(cm),不成立;当30cm长的边对应50cm长的边时,,x=12(cm),y=36(cm),x+y=48cm <50cm,成立;当30cm长的边对应60cm长的边时,,x=10(cm),y=25(cm),x+y=35cm <50cm,成立.故选:B.12.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,CD=AB,∴△DEC∽△AEF,∴==,∵E为AD的中点,∴CD=AF,FE=EC,∴FA:FB=1:2,A说法正确,不符合题意;∵FE=EC,FA=AB,∴AE:BC=1:2,B说法正确,不符合题意;∵∠FBC不一定是直角,∴BE:CF不一定等于1:2,C说法错误,符合题意;∵AE∥BC,AE=BC,∴S△ABE:S△FBC=1:4,D说法正确,不符合题意;故选:C.13.解:∵DE∥FG∥BC,DB=4FB,∴.故选:B.14.解:如图,延长NM交y轴于P点,则MN⊥y轴.连接CN.在△PAB与△NCA中,,∴△PAB∽△NCA,∴=,设PA=x,则NA=PN﹣PA=3﹣x,设PB=y,∴=,∴y=3x﹣x2=﹣(x﹣)2+,∵﹣1<0,≤x≤3,∴x=时,y有最大值,此时b=1﹣=﹣,x=3时,y有最小值0,此时b=1,∴b的取值范围是﹣≤b≤1.故选:B.15.解:如图1,在Rt△ABC中,AB=5,BC=10,∴AC=5,连接BE,∴∠BAC=∠EDB,∵AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠BAD=90°∴BD是圆的直径,∴∠BED=90°=∠CBA,∴△ABC∽△DEB,∴,∴,∴DB=3,在Rt△ABD中,AD==2,故选:D.16.解:∵GE∥BD,GF∥AC,∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA,∴=,=,∴==.故选:D.17.解:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF,∴△ABF∽△GDF,∴==2,∴AF=2GF=4,∴AG=6.∵CG∥AB,AB=2CG,∴CG为△EAB的中位线,∴AE=2AG=12.故选:D.18.解:如图作,FN∥AD,交AB于N,交BE于M.∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∵FN∥AD,∴四边形ANFD是平行四边形,∵∠D=90°,∴四边形ANFD是矩形,∵AE=3DE,设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a,∵AN=BN,MN∥AE,∴BM=ME,∴MN=a,∴FM=a,∵AE∥FM,∴===,故选:C.19.解:由已知:AC=AB,AD=AE ∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确由②MP•MD=MA•ME∠PMA=∠DME∴△PMA∽△EMD∴∠APD=∠AED=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选:A.二.填空题(共8小题)20.解:设C′作C′D′⊥x轴于D,∵△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且=,点A(﹣1,0),点C(,1),∴A′(﹣2,0),C′(1,2),∴OA′=2,DC′=2,OD=1,∴A′D=1+2=3,∴A′C′==,故答案为:.21.解:连接GE,∵点E是CD的中点,∴EC=DE,∵将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部,∴EF=DE,∠BFE=90°,在Rt△EDG和Rt△EFG中,∴Rt△EDG≌Rt△EFG(HL),∴FG=DG,∵=,∴设DG=FG=a,则AG=7a,故AD=BC=8a,则BG=BF+FG=9a,∴AB==4a,故==.故答案为:.22.解:作AH⊥BC于H,交GF于M,如图,∵△ABC的面积是6,∴BC•AH=6,∴AH==3,设正方形DEFG的边长为x,则GF=x,MH=x,AM=3﹣x,∵GF∥BC,∴△AGF∽△ABC,∴=,即=,解得x=,即正方形DEFG的边长为.故答案为.23.解:∵3AE=2EB,∴可设AE=2a、BE=3a,∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴=()2=()2=,∵S△AEF=1,∴S△ABC=,∵四边形ABCD是平行四边形,∴S△ADC=S△ABC=,∵EF∥BC,∴===,∴==,∴S△ADF=S△ADC=×=,故答案为:.24.解:如图,作AQ⊥BC于点Q,交DG于点P,∵四边形DEFG是矩形,∴AQ⊥DG,GF=PQ,设GF=PQ=x,则AP=4﹣x,由DG∥BC知△ADG∽△ABC,∴=,即=,则EF=DG=(4﹣x),∴EG====,∴当x=时,EG取得最小值,最小值为,故答案为:.25.解:如图连接OE.∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切,切点分别为D、E、C,∴OE⊥AB,AD⊥CD,BC⊥CD,∠OAD=∠OAE,∠OBC=∠OBE,∴AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°,∴∠OAB+∠OBA=90°,∴∠AOB=90°,∵∠OAE+∠AOE=90°,∠AOE+∠BOE=90°,∴∠EAO=∠EOB,∵∠AEO=∠OEB=90°,∴△AEO∽△OEB,∴=,∴AE•BE=OE2=1,故答案为1.26.解:∵四边形ABCD为矩形,∴∠BAD=90°,∴BD==10,当PD=DA=8时,BP=BD﹣PD=2,∵△PBE∽△DBC,∴=,即=,解得,PE=,当P′D=P′A时,点P′为BD的中点,∴P′E′=CD=3,故答案为:或3.27.解:∵==,∴设a=6x,b=5x,c=4x,∵a+b﹣2c=6,∴6x+5x﹣8x=6,解得:x=2,故a=12.故答案为:12.三.解答题(共8小题)28.解:如图所示:△ABC∽△A′B′C′,相似比为:1:;△ABC∽△DEF,相似比为:1:2.29.解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;(2)如图所示,△A2B2C2即为所求.30.(1)证明:∵AD为圆O的直径,∴∠AMD=90°,∵∠BMC=180°,∴∠2+∠3=90°,∵∠ABM=∠MCD=90°,∴∠2+∠1=90°,∴∠1=∠3,则△ABM∽△MCD;(2)解:连接OM,∵BC为圆O的切线,∴OM⊥BC,∵AB⊥BC,∴sin∠E==,即=,∵AD=8,AB=5,∴=,即OE=16,根据勾股定理得:ME===4.31.(1)证明:连接DE,OA.∵PD是直径,∴∠DEP=90°,∵PB⊥FB,∴∠DEP=∠FBP,∴DE∥BF,∵=,∴OA⊥DE,∴OA⊥BF,∴直线l是⊙O的切线.(2)解:作OH⊥PA于H.∵OA=OP,OH⊥P A,∴AH=PH=3,∵OA∥PB,∴∠OAH=∠APB,∵∠AHO=∠ABP=90°,∴△AOH∽△PAB,∴=,∴=,∴PB=.32.解:(1)连接OC,∵PC为⊙O的切线,∴∠OCP=90°,即∠2+∠P=90°,∵OA=OC,∴∠CAO=∠1,∵AC=CP,∴∠P=∠CAO,又∵∠2是△AOC的一个外角,∴∠2=2∠CAO=2∠P,∴2∠P+∠P=90°,∴∠P=30°;(2)连接AD,∵D为的中点,∴∠ACD=∠DAE,∴△ACD∽△EAD,∴=,即AD2=DC•DE,∵DC•DE=20,∴AD=2,∵=,∴AD=BD,∵AB是⊙O的直径,∴Rt△ADB为等腰直角三角形,∴AB=2,∴OA=AB=,∴S⊙O=π•OA2=10π=31.4.33.(1)证明:连接OD,如图所示.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∵CD是⊙O的切线,OD是⊙O的半径,∴∠ODB+∠BDC=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠OBD+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠BDC.(2)解:∵∠C=∠C,∠CAD=∠CDB,∴△CDB∽△CAD,∴=.∵BD=AD,∴=,∴=,又∵AC=3,∴CD=2.34.解:(1)如图所示,△A'B′C′即为所求;(2)已知,如图,△ABC∽△A'B'C',===k,D是AB的中点,D'是A'B'的中点,求证:=k.证明:∵D是AB的中点,D'是A'B'的中点,∴AD=AB,A'D'=A'B',∴==,∵△ABC∽△A'B'C',∴=,∠A'=∠A,∵=,∠A'=∠A,∴△A'C'D'∽△ACD,∴==k.35.解:(1)∵△ABC是比例三角形,且AB=2、BC=3,①当AB2=BC•AC时,得:4=3AC,解得:AC=;②当BC2=AB•AC时,得:9=2AC,解得:AC=;③当AC2=AB•BC时,得:AC2=6,解得:AC=(负值舍去);所以当AC=或或时,△ABC是比例三角形;(2)∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD,又∵∠BAC=∠ADC,∴△ABC∽△DCA,∴=,即CA2=BC•AD,∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,∴CA2=BC•AB,∴△ABC是比例三角形;(3)如图,过点A作AH⊥BD于点H,∵AB=AD,∴BH=BD,∵AD∥BC,∠ADC=90°,∴∠BCD=90°,∴∠BHA=∠BCD=90°,又∵∠ABH=∠DBC,∴△ABH∽△DBC,∴=,即AB•BC=BH•DB,∴AB•BC=BD2,又∵AB•BC=AC2,∴BD2=AC2,∴=.。

第六章《图形的相似》单元测试题(含答案)

第六章《图形的相似》单元测试题(含答案)

第六章《图形的相似》单元测试题一、选择题:(本题共10小题,每小题3分,共30分)1.若34yx=,则x yx+的值为()A. 1B. 47C.54D.742.已知线段a、b、c,其中c是a、b的比例中项,若a=9cm,b=4cm,则线段c长为()A. 18cm;B. 5cm;C. 6cm;D. ±6cm;3.已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB),AB=4,那么AP的长是()A. 252-B. 25- C. 251- D.52-4. 如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是()A. ∠ABP=∠CB. ∠APB=∠ABCC. AP ABAB AC= D.AB ACBP CB=5.如果两个相似三角形的面积比是1:4,那么它们的周长比是()A. 1:16B. 1:6C. 1:4D. 1:26. 如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB交AD于E,交BD于F,DE:EA=3:4,EF=3,则CD的长为()A. 4B. 7C. 3D. 127.如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1:2,∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标为()A. (1,2)B. (1,1)C. 22)D. (2,1)8.如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=3,则CF等于()A. 1B. 2C. 3D. 49.如图,王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时,测得影子CD 的长为1米,继续往前走3米到达E 处时,测得影子EF 的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A 的高度AB 等于( )A. 4.5米B. 6米C. 7.2米D. 8米10. 如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm ,D 为BC 的中点,若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发,沿着A →B →A 的方向运动,设E 点的运动时间为t 秒(0≤t <6),连接DE ,当△BDE 是直角三角形时,t 的值为A.2B. 2.5或3.5C. 3.5或4.5D. 2或3.5或4.5二、填空题:(本题共8小题,每小题3分,共24分) 11.如果在比例尺为1:1 000 000地图上,A 、B 两地的图上距离是3.4cm ,那么A 、B 两地的实际距离是____km .12.如图,已知:l 1∥l 2∥l 3,AB=6,DE=5,EF=7.5,则AC=__.13.如图,△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是__.14.如图,点G是△ABC的重心,GH⊥BC,垂足为点H,若GH=3,则点A到BC的距离为_____.15.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=20cm,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,CD=8 m,则树高AB= ▲.16.如图,已知△ABC中,D为边AC上一点,P为边AB上一点,AB=12,AC=8,AD=6,当AP的长度为__时,△ADP和△ABC相似.17.如图,双曲线y=kx经过Rt△BOC斜边上的点A,且满足23AOAB,与BC交于点D,S△BOD=21,求k=__.18.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF 上的点H处,有下列结论:①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG=32S△FGH;④AG+DF =FG.其中正确的是_____.(把所有正确结论的序号都选上)三、解答题:(本大题共10大题,共76分)19.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,M是BC的中点,DE⊥AM于点E.(1)求证:△ADE∽△MAB;(2)求DE的长.20.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,若S△ADE=4cm2,S△EFC=9cm2,求S△ABC.21.如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且AD CD CD BD.(1)求证:△ACD∽△CBD;(2)求∠ACB的大小.22.已知:如图△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,﹣3)、B(3,﹣2)、C(2,﹣4),正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度.(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1;(2)以点C为位似中心,在网格中画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且△A2B2C2与△ABC的位似比为2:1,并直接写出点A2的坐标.23.如图,一位同学想利用树影测量树(AB)的高度,他在某一时刻测得高为1米的竹竿直立时影长为0.9米,此时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上(有一部分影子落在了墙上CD处),他先测得落在墙上的影子(CD)高为1.2米,又测得地面部分的影长(BD)为2.7米,则他测得的树高应为多少米?24.如图,把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置,它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的49,若AB=2,求△ABC移动的距离BE的长.25.如图,点A(1,4)、B(2,a)在函数y=mx(x>0)的图象上,直线AB与x轴相交于点C,AD⊥x轴于点D.(1)m=;(2)求点C的坐标;(3)在x轴上是否存在点E,使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.26.如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O . M 为AD 中点,连接CM 交BD 于点N ,且1ON =.(1)求BD 的长;(2)若DCN ∆的面积为2,求四边形ABNM 的面积.27.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D 为边CB 上的一个动点(点D 不与点B 重合),过D 作DO ⊥AB ,垂足为O ,点B ′在边AB 上,且与点B 关于直线DO 对称,连接DB ′,AD . (1)求证:△DOB ∽△ACB ;(2)若AD 平分∠CAB ,求线段BD 的长; (3)当△AB ′D 为等腰三角形时,求线段BD 的长.28.已知:如图,在矩形ABCD 中,AB=6cm ,BC=8cm ,对角线AC ,BD 交于点0.点P 从点A 出发,沿方向匀速运动,速度为1cm/s ;同时,点Q 从点D 出发,沿DC 方向匀速运动,速度为1cm/s ;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接PO 并延长,交BC 于点E ,过点Q 作QF ∥AC ,交BD 于点F .设运动时间为t (s )(0<t <6),解答下列问题:(1)当t 为何值时,△AOP 是等腰三角形?(2)设五边形OECQF 的面积为S (cm 2),试确定S 与t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻t ,使S 五边形S 五边形OECQF :S △ACD =9:16?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由;(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t ,使OD 平分∠COP ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.一、选择题:(本题共10小题,每小题3分,共30分)1.若34y x =,则x yx+的值为( ) A. 1 B. 47C.54D.74【答案】D 【解析】【详解】∵34y x =, ∴x y x +=434+=74,故选D2.已知线段a 、b 、c ,其中c 是a 、b 的比例中项,若a=9cm ,b=4cm ,则线段c 长为( ) A. 18cm ; B. 5cm ;C. 6cm ;D. ±6cm ;【答案】C 【解析】根据比例中项的概念,当两个比例内项相同时,就叫比例中项,再列出比例式即可得出c . 解:根据比例中项的概念,得c 2=ab=36,c=±6, 又线段不能是负数,-6应舍去,取c=6, 故选C .“点睛”考查了比例中项的概念:当两个比例内项相同时,就叫比例中项.这里注意线段不能是负数.3.已知点P 是线段AB 的黄金分割点(AP >PB ),AB=4,那么AP 的长是( ) A. 252B. 25C. 51D.52【答案】A 【解析】根据黄金比的定义得:51AP AB -=,得514252AP -== .故选A. 4. 如图,点P 在△ABC 的边AC 上,要判断△ABP ∽△ACB ,添加一个条件,不正确的是( )A. ∠ABP=∠CB. ∠APB=∠ABCC. AP ABAB AC= D.AB ACBP CB=【答案】D【解析】试题分析:A.当∠ABP=∠C时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;B.当∠APB=∠ABC时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;C.当AP ABAB AC=时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;D.无法得到△ABP∽△ACB,故此选项正确.故选D.考点:相似三角形的判定.5.如果两个相似三角形的面积比是1:4,那么它们的周长比是()A. 1:16B. 1:6C. 1:4D. 1:2 【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比,根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.【详解】解:Q两个相似三角形的面积比是1:4,∴两个相似三角形的相似比是1:2,∴两个相似三角形的周长比是1:2,故选D.【点睛】本题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键.6. 如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB交AD于E,交BD于F,DE:EA=3:4,EF=3,则CD的长为()A. 4B. 7C. 3D. 12 【答案】B【解析】试题分析:∵DE:EA=3:4,∴DE:DA=3:7,∵EF∥AB,∴DE EFDA AB=,∵EF=3,∴337AB=,解得:AB=7,∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=7.故选B.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.平行四边形的性质.7.如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1:2,∠OCD=90°,CO=CD.若B(1,0),则点C的坐标为()A. (1,2)B. (1,1)C. (2,2)D. (2,1)【答案】B【解析】【详解】∵∠OAB=∠OCD=90°,AO=AB,CO=CD,等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形,点B的坐标为(1,0),∴BO=1,则AO=AB=22,∴A(12,12),∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形,O为位似中心,相似比为1:2,∴点C的坐标为:(1,1).故选B.【点睛】此题主要考查了位似变换的性质,正确理解位似与相似的关系,记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键.【此处有视频,请去附件查看】8.如图,已知△ABC和△ADE均为等边三角形,D在BC上,DE与AC相交于点F,AB=9,BD=3,则CF等于()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析:∵△ABC和△ADE均为等边三角形,∴∠B=∠BAC=60°,∠E=∠EAD=60°,∴∠B=∠E,∠BAD=∠EAF,∴△ABD∽△AEF,∴AB:BD=AE:EF.同理:△CDF∽△EAF,∴CD:CF=AE:EF,∴AB:BD=CD:CF,即9:3=(9﹣3):CF,∴CF=2.故选B.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.等边三角形的性质.9.如图,王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时,测得影子CD 的长为1米,继续往前走3米到达E 处时,测得影子EF 的长为2米,已知王华的身高是1.5米,那么路灯A 的高度AB 等于( )A. 4.5米B. 6米C. 7.2米D. 8米【答案】B 【解析】 试题分析:如图:根据题意可得:Rt △DCG ∽Rt △DBA ,Rt △FEH ∽Rt △FBA ,所以CD CG BD AB =,EF EH CGBF AB AB==,∴CD EFBD BF=,∵CG=EH=1.5米,CD=1米,CE=3米,EF=2米,设AB=x ,BC=y ,∴1 1.51y x =+,2 1.55y x =+,∴2151y y =++,∴y=3m ,∴1.514x =,解得:x=6米.即路灯A 的高度AB=6米.考点:相似三角形的判定与性质.10. 如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm ,D 为BC 的中点,若动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发,沿着A →B →A 的方向运动,设E 点的运动时间为t 秒(0≤t <6),连接DE ,当△BDE 是直角三角形时,t 的值为A. 2B. 2.5或3.5C. 3.5或4.5D. 2或3.5或4.5【答案】D【解析】 试题分析:∵Rt △ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm ,∴AB=2BC=4(cm ). ∵BC=2cm ,D 为BC 的中点,动点E 以1cm/s 的速度从A 点出发,∴BD=12BC=1(cm ),BE=AB ﹣AE=4﹣t (cm ), 若∠DBE=90°,∵∠ABC=60°,∴∠BDE=30°.∴BE=12BD=12(cm ). 当A →B 时,t=4﹣0.5=3.5;当B →A 时,t=4+0.5=4.5.若∠EDB=90°时,∵∠ABC=60°,∴∠BED=30°.∴BE=2BD=2(cm ).当A →B 时,∴t=4﹣2=2;当B →A 时,t=4+2=6(舍去).综上可得:t 的值为2或3.5或4.5.故选D .二、填空题:(本题共8小题,每小题3分,共24分)11.如果在比例尺为1:1 000 000的地图上,A 、B 两地的图上距离是3.4cm ,那么A 、B 两地的实际距离是____km .【答案】34【解析】【分析】根据比例尺的定义:实际距离=图上距离:比例尺,由题意代入数据可直接得出实际距离.【详解】根据题意,13.434000001000000÷=厘米=34千米. 即实际距离是34千米.故答案为:34.【点睛】本题考查了比例尺的定义,熟练掌握实际距离、图上距离和比例尺的关系是解决本题的关键. 12.如图,已知:l 1∥l 2∥l 3,AB=6,DE=5,EF=7.5,则AC=__.【答案】15【解析】l 1∥l 2∥l 3,AB DE AB BC EF DE=++,所以6512.5AC,所以AC=15.13.如图,△ABC与△A′B′C′是位似图形,且顶点都在格点上,则位似中心的坐标是__.【答案】(9,0)【解析】【详解】根据位似图形的定义,连接A′A,B′B并延长交于(9,0),所以位似中心的坐标为(9,0).故答案为:(9,0).14.如图,点G是△ABC的重心,GH⊥BC,垂足为点H,若GH=3,则点A到BC的距离为_____.【答案】9【解析】设BC的中线是AD,BC的高是AE,由重心性质可知:AD:GD=3:1,∵GH⊥BC,∴△ADE∽△GDH,∴AD:GD=AE:GH=3:1,∴AE=3GH=3×3=9,故答案为9.点睛:证明相似三角形:(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似.(2)平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似(3)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (4)三边成比例的两个三角形相似. (5)证明两个对应角相等的过程中,经常使用等腰三角形,等边三角形,特殊矩形,菱形,平行四边形构成的等角作为桥梁,成为解题的关键.15.如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB ,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边DE=40cm ,EF=20cm ,测得边DF离地面的高度AC=1.5 m,CD=8 m,则树高AB= ▲.【答案】5.5【解析】【详解】试题分析:在△DEF和△DBC中,,∴△DEF∽△DBC,∴=,即=,解得BC=4,∵AC=1.5m,∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m考点:相似三角形【此处有视频,请去附件查看】16.如图,已知△ABC 中,D 为边AC 上一点,P 为边AB 上一点,AB=12,AC=8,AD=6,当AP 的长度为__时,△ADP 和△ABC 相似.【答案】4或9.【解析】当△ADP ∽△ACB 时,需有AP AD AB AC =,∴6128AP =,解得AP =9.当△ADP ∽△ABC 时,需有AP AD AC AB=,∴6812AP =,解得AP =4.∴当AP 的长为4或9时,△ADP 和△ABC 相似. 17.如图,双曲线y=k x 经过Rt △BOC 斜边上的点A ,且满足23AO AB =,与BC 交于点D ,S △BOD =21,求k=__.【答案】8 【解析】 试题分析:解:过A 作AE ⊥x 轴于点E .因为S △OAE =S △OCD ,所以S 四边形AECB =S △BOD =21,因为AE ∥BC ,所以△OAE ∽△OBC ,所以==()2=,所以S △OAE =4,则k=8.考点:1.相似三角形的判定与性质;2.反比例函数的性质.【此处有视频,请去附件查看】18.如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF 上的点H处,有下列结论:①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG=32S△FGH;④AG+DF =FG.其中正确的是_____.(把所有正确结论的序号都选上)【答案】①③④【解析】试题解析:∵△BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处,∴∠1=∠2,CE=FE,BF=BC=10,在Rt△ABF中,∵AB=6,BF=10,∴AF=22106=8,∴DF=AD-AF=10-8=2,设EF=x,则CE=x,DE=CD-CE=6-x,在Rt△DEF中,∵DE2+DF2=EF2,∴(6-x)2+22=x2,解得x=103,∴ED= 83,∵△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处,∴∠3=∠4,BH=BA=6,AG=HG,∴∠2+∠3=12∠ABC=45°,所以①正确;HF=BF-BH=10-6=4,设AG=y,则GH=y,GF=8-y,在Rt△HGF中,∵GH2+HF2=GF2,∴y2+42=(8-y)2,解得y=3,∴AG=GH=3,GF=5,∵∠A=∠D,69843ABDE==,32AGDF=,∴AB AGDE DF≠,∴△ABG与△DEF不相似,所以②错误;∵S△ABG=12•6•3=9,S△FGH=12•GH•HF=12×3×4=6,∴S△ABG=32S△FGH,所以③正确;∵AG+DF=3+2=5,而GF=5,∴AG+DF=GF,所以④正确.∴①③④正确.【此处有视频,请去附件查看】三、解答题:(本大题共10大题,共76分)19.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,M是BC的中点,DE⊥AM于点E.(1)求证:△ADE∽△MAB;(2)求DE的长.【答案】(1)证明见解析;(2)245.【解析】试题分析:利用矩形角相等的性质证明△DAE∽△AMB.试题解析:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DAE=∠AMB,又∵∠DEA=∠B=90°,∴△DAE∽△AMB.(2)由(1)知△DAE∽△AMB,∴DE:AD=AB:AM,∵M是边BC的中点,BC=6,∴BM=3,又∵AB=4,∠B=90°,∴AM=5,∴DE:6=4:5,∴DE=245.20.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,若S△ADE=4cm2,S△EFC=9cm2,求S△ABC.【答案】25cm2.【解析】试题分析:利用平行证明三角形相似,再利用相似的性质求三角形面积.试题解析:解:∵DE∥BC,EF∥AB,∴∠A=∠FEC,∠AED=∠C,∴△ADE∽△ECF;∴S△ADE:S△ECF=(AE:EC)2,∵S△ADE=4cm2,S△EFC=9cm2,∴(AE:EC)2=4:9,∴AE:EC=2:3,即EC:AE=3:2,∴(EC+AE):AE=5:2,即AC:AE=5:2.∵DE∥BC,∴∠C=∠AED,又∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADE,∴S△ABC:S△ADE=(AC:AE)2,∴S△ABC:4=(5:2)2,∴S△ABC=25cm2.21.如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且AD CD CD BD.(1)求证:△ACD∽△CBD;(2)求∠ACB的大小.【答案】(1)证明见试题解析;(2)90°.【解析】试题分析:(1)由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,即可证明△ACD∽△CBD;(2)由(1)知△ACD∽△CBD,然后根据相似三角形的对应角相等可得:∠A=∠BCD,然后由∠A+∠ACD=90°,可得:∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°.试题解析:(1)∵CD是边AB上的高,∴∠ADC=∠CDB=90°,∵AD CD CD BD.∴△ACD∽△CBD;(2)∵△ACD∽△CBD,∴∠A=∠BCD,在△ACD中,∠ADC=90°,∴∠A+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,即∠ACB=90°.考点:相似三角形的判定与性质.【此处有视频,请去附件查看】22.已知:如图△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,﹣3)、B(3,﹣2)、C(2,﹣4),正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度.(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1;(2)以点C为位似中心,在网格中画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且△A2B2C2与△ABC的位似比为2:1,并直接写出点A2的坐标.【答案】(1)作图见解析;(2)作图见解析;A2坐标(﹣2,﹣2).【解析】试题分析(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案;(2)利用位似图形的性质得出对应点的位置进而得出.试题解析:⑴如图所示: △A1B1C1,即为所求;⑵如图所示△A2B2C2,即为所求;A2坐标(-2,-2)23.如图,一位同学想利用树影测量树(AB)的高度,他在某一时刻测得高为1米的竹竿直立时影长为0.9米,此时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上(有一部分影子落在了墙上CD处),他先测得落在墙上的影子(CD)高为1.2米,又测得地面部分的影长(BD)为2.7米,则他测得的树高应为多少米?【答案】测得的树高为4.2米.【解析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度,再设树高为h,根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可24.如图,把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置,它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的49,若AB=2,求△ABC移动的距离BE的长.【答案】4 3【解析】试题分析:证明平移前后图象的相似,再根据相似的性质定理求BE长. 试题解析:解:∵把△ABC沿边BA平移到△DEF的位置,∴E F∥AC,∴△BEG∽△BAC,∴BEABBEGABCSSnn23,∵AB=2,∴BE=43.25.如图,点A(1,4)、B(2,a)在函数y=mx(x>0)的图象上,直线AB与x轴相交于点C,AD⊥x轴于点D.(1)m=;(2)求点C的坐标;(3)在x轴上是否存在点E,使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)4;(2)C的坐标为(3,0);(3)(﹣2,0).【解析】试题分析:(1)把点代入求值.(2)先利用反比例函数求出A,B,点坐标,再利用待定系数法求直线方程.(3)假设存在E点,因为n ACD是直角三角形,假设n ABE也是直角三角形,利用勾股定理分别计算A,B,C,是直角时AB长度,均与已知矛盾,所以不存在.试题解析:解:(1)∵点A(1,4)在反比例函数y=mx(x>0)的图象上,∴m=1×4=4,故答案为4.(2)∵点B(2,a)在反比例函数y=4x的图象上,∴a==2,∴B(2,2).设过点A、B的直线的解析式为y=kx+b,∴422k bk b=+⎧⎨=+⎩,解得:26kb=-⎧⎨=⎩,∴过点A、B的直线的解析式为y=﹣2x+6.当y=0时,有﹣2x+6=0,解得:x=3,∴点C的坐标为(3,0).(3)假设存在,设点E的坐标为(n,0).①当∠ABE=90°时(如图1所示),∵A(1,4),B(2,2),C(3,0),∴B是AC的中点,∴EB垂直平分AC,EA=EC=n+3.由勾股定理得:AD2+DE2=AE2,即42+(x+1)2=(x+3)2,解得:x=﹣2,此时点E的坐标为(﹣2,0);②当∠BAE=90°时,∠ABE>∠ACD,故△EBA与△ACD不可能相似;③当∠AEB=90°时,∵A(1,4),B(2,2),∴AB=5,2>5,2∴以AB为直径作圆与x轴无交点(如图3),∴不存在∠AEB=90°.综上可知:在x轴上存在点E,使以A、B、E为顶点的三角形与△ACD相似,点E的坐标为(﹣2,0).26.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O. M为AD中点,连接CMON=.交BD于点N,且1(1)求BD的长;∆的面积为2,求四边形ABNM的面积.(2)若DCN【答案】(1)6;(2)5.【解析】【分析】(1)由四边形ABCD为平行四边形,得到对边平行且相等,且对角线互相平分,根据两直线平行内错角相等得到两对角相等,进而确定出三角形MND与三角形CNB相似,由相似得比例,得到DN:BN=1:2,设OB=OD=x,表示出BN与DN,求出x的值,即可确定出BD的长;(2)由相似三角形相似比为1:2,得到S△MND:S△CND=1:4,可得到△MND面积为1,△MCD面积为3,由S平行四边形ABCD=AD•h,S△MCD=MD•h=AD•h,=4S△MCD,即可求得答案.【详解】(1)∵平行四边形ABCD,∴AD∥BC,AD=BC,OB=OD,∴∠DMN=∠BCN,∠MDN=∠NBC,∴△MND∽△CNB,∴MD DN BC BN,∵M为AD中点,所以BN=2DN,设OB=OD=x,则有BD=2x,BN=OB+ON=x+1,DN=x﹣1,∴x+1=2(x﹣1),解得:x=3, ∴BD=2x=6;(2)、∵△MND∽△CNB,且相似比为1:2,∴MN:CN=1:2,∴S△MND:S△CND=1:4,∵△DCN的面积为2,∴△MND面积为1,∴△MCD面积为3,设平行四边形AD边上的高为h,∵S平行四边形ABCD=AD•h,S△MCD=12MD•h=14AD•h,∴S平行四边形ABCD=4S△MCD=12,∴S△ABD=6,∴S四边形ABNM= S△ABD- S△MND =6-1=5.【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定,解题的关键是熟悉相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质.27. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D为边CB上的一个动点(点D不与点B重合),过D作DO⊥AB,垂足为O,点B′在边AB上,且与点B关于直线DO 对称,连接DB′,AD.(1)求证:△DOB∽△ACB;(2)若AD平分∠CAB,求线段BD的长;(3)当△AB′D为等腰三角形时,求线段BD的长.【答案】(1)证明见试题解析;(2)5;(3)50 13.【解析】试题分析:(1)公共角和直角两个角相等,所以相似.(2)由(1)可得三角形相似比,设BD =x,CD,BD,BO用x表示出来,所以可得BD长.(3)同(2)原理,BD=B′D=x, AB′,B′O,BO用x表示,利用等腰三角形求BD长.试题解析:(1)证明:∵DO ⊥AB ,∴∠DOB =90°,∴∠ACB =∠DOB =90°,又∵∠B =∠B .∴△DOB ∽△ACB .(2)∵AD 平分∠CAB ,DC ⊥AC,DO ⊥AB,∴DO =DC ,在 Rt △ABC 中,AC =6,BC =,8,∴AB =10,∵△DOB ∽△ACB,∴DO ∶BO ∶BD =AC ∶BC ∶AB =3∶4∶5,设BD =x ,则DO =DC =35x ,BO =45x , ∵CD +BD =8,∴35x +x =8,解得x =,5,即:BD =5. (3)∵点B 与点B ′关于直线DO 对称,∴∠B =∠OB ′D ,BO =B ′O =45x ,BD =B ′D =x , ∵∠B 为锐角,∴∠OB ′D 也为锐角,∴∠AB ′D 为钝角,∴当△AB ′D 是等腰三角形时,AB ′=DB ′,∵AB ′+B ′O +BO =10,∴x +45x +45x =10,解得x =5013,即BD =5013, ∴当△AB ′D 为等腰三角形时,BD =5013. 点睛:角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.①垂两边:如图(1),已知BP 平分ABC ∠,过点P 作PA AB ⊥,PC BC ⊥,则PA PC =. ②截两边:如图(2),已知BP 平分MBN ∠,点A BM 上,在BN 上截取BC BA =,则ABP ∆≌CBP ∆.③角平分线+平行线→等腰三角形:如图(3),已知BP 平分ABC ∠,//PA AC ,则AB AP =;如图(4),已知BP 平分ABC ∠,//EF PB ,则BE BF =.(1) (2) (3) (4) ④三线合一(利用角平分线+垂线→等腰三角形):如图(5),已知AD 平分BAC ∠,且AD BC ⊥,则AB AC =,BD CD =.(5)【此处有视频,请去附件查看】28.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,对角线AC,BD交于点0.点P 从点A出发,沿方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,点Q从点D出发,沿DC方向匀速运动,速度为1cm/s;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接PO并延长,交BC于点E,过点Q作QF∥AC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下列问题:(1)当t为何值时,△AOP是等腰三角形?(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式;(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形S五边形OECQF:S△ACD=9:16?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使OD平分∠COP?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)258或5;(2)213=1232S t t-++;(3)92;(4)2.88.【解析】试题分析:(1)根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10,①当AP=PO=t,如图1,过P作PM⊥AO,根据相似三角形的性质得到AP=t=258,②当AP=AO=t=5,于是得到结论;(2)作EH⊥AC于H,QM⊥AC于M,DN⊥AC于N,交QF于G,根据全等三角形的性质得到CE=AP=t,根据相似三角形的性质表示出EH,根据相似三角形的性质表示出QM,FQ,根据图形的面积即可得到结论;(3)根据题意列方程得到t的值,于是得到结论;(4)由角平分线的性质得到DM的长,根据勾股定理得到ON的长,由三角形的面积公式表示出OP,根据勾股定理列方程即可得到结论.试题解析:(1)∵在矩形ABCD中,Ab=6cm,BC=8cm,∴AC=10,①当AP =PO =t ,如图1,过P 作PM ⊥AO ,∴AM =12AO =52, ∵∠PMA =∠ADC =90°,∠PAM =∠CAD ,∴△APM ∽△ADC , ∴AP AM AC AD=, ∴AP =t =258, ②当AP =AO =t =5,∴当t 为258或5时,△AOP 是等腰三角形; (2)作EH ⊥AC 于H ,QM ⊥AC 于M ,DN ⊥AC 于N ,交QF 于G ,在△APO 与△CEO 中,∵∠PAO =∠ECO ,AO =OC ,∠AOP =∠COE ,∴△AOP ≌△COE ,∴CE =AP =t ,∵△CEH ∽△ABC , ∴EH CE AB AC=, ∴EH =35t , ∵DN =AD CD AC ⋅=245, ∵QM ∥DN ,∴△CQM ∽△CDN , ∴QM CQ DN CD =,即62465QM t -=, ∴QM =2445t -, ∴DG =2424455t --=45t , ∵FQ ∥AC ,∴△DFQ ∽△DOC , ∴FQ DG OC DN=, ∴FQ =56t , ∴S 五边形OECQF =S △OEC +S 四边形OCQF =13152445(5)25265t t t -⨯⨯++⋅=2131232t t -++,∴S 与t 的函数关系式为2131232S t t =-++; (3)存在,∵S △ACD =12×6×8=24, ∴S 五边形OECQF :S △ACD =(2131232t t -++):24=9:16,解得t =92,t =0,(不合题意,舍去),∴t =92时,S 五边形S 五边形OECQF :S △ACD =9:16; (4)如图3,过D 作DM ⊥AC 于M ,DN ⊥AC 于N , ∵∠POD =∠COD ,∴DM =DN =245, ∴ON =OM =22OD DN -=75, ∵OP •DM =3PD ,∴OP =558t -, ∴PM =18558t -, ∵222PD PM DM =+,∴22218524(8)()()585t t -=-+,解得:t ≈15(不合题意,舍去),t ≈2.88, ∴当t =2.88时,OD 平分∠COP .。

青岛版九年级数学上册《第1章图形的相似》单元测试卷-带答案

青岛版九年级数学上册《第1章图形的相似》单元测试卷-带答案

青岛版九年级数学上册《第1章图形的相似》单元测试卷-带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.【新独家原创】如图,用放大镜看一个等腰三角形,该三角形边长放大到原来的10倍后,下列结论不正确的是()A.角的大小不变B.周长是原来的10倍C.底边上的高是原来的10倍D.面积是原来的10倍2.如图,练习本中的横格线都平行且相邻两条横格线间的距离都相等,同一条直线上的三个点A,B,C都在横格线上.若线段AB=6,则线段AC的长为()A.12B.18C.24D.303.如图所示的两个五边形相似,则以下a,b,c,d的值错误的是(M910102) ()A.a=3B.b=4.5C.c=4D.d=84.如图,已知△ABC的六个元素,其中a、b、c表示三角形三边的长,则甲、乙、丙、丁四个三角形中与△ABC 不一定相似的是()A.甲B.乙C.丙D.丁5.【主题教育·中华优秀传统文化】中国古代在利用“计里画方”(比例缩放和直角坐标网格体系)的方法制作地图时,会利用测杆、水准仪和照板来测量距离.在如图所示的测量距离AB的示意图中,记照板“内芯”的高度为EF.观测者的眼睛(图中用点C表示)与BF在同一水平线上,则下列结论正确的是()A.CECA =CFBFB.CFBF=EFABC.CEAE=EFABD.CECA=EFAB6.如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形,点O是位似中心,若OA∶AA'=2∶1,则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积之比等于() A.1∶2 B.1∶4 C.2∶3 D.4∶97.如图,△ABC中,A、B两个顶点在x轴的上方,点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C,并把△ABC的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点B'的横坐标是a,则点B的横坐标是()A.-12a B.-12(a+1) C.-12(a-1) D.-12(a+3)第7题图第8题图8.圆桌上方的灯泡(看做一个点)发出的光线照射到桌面后,在地面上形成阴影,如图,已知桌面的直径为1.2 m,桌面距离地面1 m,若灯泡距离地面3 m,则地面上阴影部分的面积为()A.0.36π m2B.0.81π m2C.2π m2D.3.24π m29.【双垂直模型】如图,嘉嘉在A时测得一棵4 m高的树的影长DF为8 m,若A时和B时两次日照的光线互相垂直,则B时的影长DE为() A.2 m B.2√5m C.4 m D.4√2m第9题图第10题图10.如图,在△ABC中,CH⊥AB于H,CH=h,AB=c,若内接正方形DEFG的边长是x,则h、c、x的数量关系为()A.x2+h2=c2B.12x+h=c C.h2=xc D.1x=1ℎ+1c二、填空题(每小题3分,共18分)11.【X字模型】如图,已知△OAB与△OA'B'是相似比为1∶2的位似图形,点O为位似中心,若△OAB 内一点P(x,y)与△OA'B'内一点P'是一对对应点,则P'的坐标是。

九年级数学(下)第二十七章《相似》单元测试含答案

九年级数学(下)第二十七章《相似》单元测试含答案

c b a 第2题图n m F E D C B A 第3题图E D C B A第4题图F E D C B A 第7题图PD C BA E 第8题图DC B A九年级数学(下)第二十七章《相似》单元测试一、 选择题:(本大题共12小题,每小题2分,共24分)1.下列四组线段中,不能成比例的是.A. a =3,b =6,c =2,d =4B. a =1,b =3,c =4,d =12C. a =4,b =6,c =5,d =10D. a =2,b =3,c =4,d =62.如图,已知直线a ∥b ∥c ,直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于A 、C 、E 、B 、D 、F , AC =4,CE =6,BD =3,则BF =.A. 7B. 7.5C. 8D. 8.53.如图,在△ABC 中,已知DE ∥BC ,AD =3,DB =6,DE =2,则BC =. A. 4 B. 6 C. 10 D. 84.如图,E 是□ABCD 的边BC 的延长线上的一点,连接AE 交CD 于F ,则图中共有相似三角形.A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对 5.把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似,那么大矩形与小矩形的相似比是. A. ∶1 B. 4∶1 C. 3∶1 D. 2∶1 6.已知a 、b 、c 为正数,且===k ,下列四个点中,在正比例函数y =k x 的图像上的是. A.(1,) B.(1,2) C.(1,-) D.(1,-1)7.如图,已知AB ∥CD ,AD 与BC 相交于点P ,AB =4,CD =7,AD =10,则AP 的长等于. A. B. C. D.8.如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,D 是BC 中点, AE ⊥AD 交CB 的延长线于E ,则下列结论正确的是 A.△AED ∽△ACB B. △AEB ∽△ACDC.△BAE ∽△ACED.△AEC ∽△DAC9.要作一个多边形与已知多边形相似,且使面积 扩大为原来16倍,那么边长为原来.A. 2倍B. 3倍C. 4倍D. 5倍10.在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD 为AB 边上的高,则下列结论:①AC 2=AD ·AB ; ②CD 2=AD ·BD ;③BC 2=BD ·AB ;④CD ·AD =AC ·BC ;⑤=.第10题图D C BA 第11题图第12题图F ED C B A第14题图E D C B A第16题图ED C B A 第15题图E D C B A QKGF D AG D A E D A正确的个数有.A.2个B.3个C.4个D.5个11.如图,△ABC 中,A 、B 两个顶点在x 轴的上方,点C 的坐标是(-1,0),以点C为位似中心,在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A /B /C ,并把△ABC 的边长放大到原来的2倍.设点B 的对应点B /的横坐标是a ,则点B /的横坐标是. A. -a B. - C. - D. -12.如图,已知正方形ABCD 的边长为4,E 是BC 边上的一个动点,AE ⊥EF ,EF 交DC于点F ,设BE =x ,FC =y ,则当点E 从点B 运动到点C 时,关于x 的函数图像是二、填空题:(本大题共10小题,每小题2分,共20分)13.如果两个相似三角形的面积比是1∶2,那么它们对应边的比是. 14.如图,DE 是△ABC 的中位线,已知=2,则四边形BCED 的面积为.15.如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =1,E 是DC 上一点,∠DAE =∠BAC , 则EC 长为.16.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形,如图,△ABC 、△BDC 、△DEC 都是黄金的三角形,已知AB =1,则DE =.17.如图,Rt △ABC 内有三个内接正方形,DF =9cm ,GK =6cm ,则第三个正方形的边长PQ 的长是.第22题图P E D C B A 第23题图D C B A P M F D C18.如图,已知△ABC 中,若BC =6,△ABC 的面积为12,四边形DEFG 是△ABC 的内接的正方形,则正方形DEFG 的边长是.19.如图,以A 为位似中心,将△ADE 放大2倍后,得位似形△ABC ,若S 1表示△ADE的面积,S 2表示四边形DBCE 的面积,则S 1∶S 2=.20.直角三角形的两条直角边的长分别为a 和b ,则它的斜边上的高与斜边比为21.如图,直角坐标系中,矩形OABC 的顶点O 是坐标原点,边OA 在x 轴上,OC 在y轴上,如果矩形OA /B /C /与矩形OABC 关于点O 位似,且矩形OA /B /C /的面积等于矩形OABC 面积的,那么点B /的坐标是.22.△ABC ≌Rt △ADE ,∠A =90°,BC 和DE 交于点P ,若AC =6,AB =8, 则点P 到AB 边的距离是. 三、解答题:(本大题共56分)23.(6分)如图,点C 、D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形. ⑴当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系式时,△ACP ∽△PDB ? ⑵当△ACP ∽△PDB 时,求∠APB 的度数.24.(10分)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且AB =2CD ,E 、F 分别是AB 、BC 的中点,EF 与BD 相交于点M. ⑴求证:△EDM ∽△FBM ; ⑵若DB =9,求BM.第26题图B25.(10分)已知△ABC 的三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ,现要利用长度分别为30cm和60cm 的细木条各一根,做一个三角形木架与△ABC 相似,要求以其中一根为一边,将另一根截成两段(允许有余料)作为另外两边,求另外两边的长度(单位:cm )26.(10分)如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,以BC 上一点O 为圆心,OB 为半径的圆交AB 于点M ,交取于点N , ⑴求证:BA ·BM =BC ·BN ;⑵如果CM 是⊙O 的切线,N 是OC 的中点,当AC =3时,求AB 的值.第27题图F E D C BAC27.(10分)如图,已知△ABC ,延长BC 到D ,使CD =BC ,取AB 的中点F ,连结FD 交AC于点E. ⑴求AE ∶AC 的值;⑵若AB =a ,FB =EC ,求AC 的长.28.(10分)如图,在△ABC 中,AB =10cm ,BC =20cm ,点P 从点A 开始沿AB 边向B点以2cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动,如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发,问经过几秒钟,△PBQ 与△ABC 相似.F第22题图PE DC B A第23题图DC BA P D C第11题图第12题图F EDCBA参考答案:一、 选择题:1.C ;2.B ;3.B ;4.C ;5.A ;6.A ;7.C ;8.C ;9.C ;10.C ;11.D ;12.A ; 二、填空题:13. 1∶;14. 6;15. 25;16.;17. 4cm ;18. 2.4;19. 1∶3;20.;21.(3,2)或(-3,-2);22.;11.解:把图形向右平移1个单位长度,则点C 的坐标 与原点O 重合,与B /的对应点B //的横坐标变为a +1,此时△ABC 以原点O 为位似中心的位似图形是△A //B //C ,则与点B //对应的点的横坐标为-(a +1) 一个单位,则得到B 的横坐标为-(a +1.选择D.12.解:特别的,当BE =0和4时,FC =0.当0<BE <4时,易证: Rt △ABE ∽Rt △ECF ∴= ∴=∴y =x 2+x ∴y 是x 的函数.当x =2时,y 有最大值,最大值是1. 选择A. 22题:解:作PF ⊥AB 于点F设PF =x ,由题意:BE =CD =2, ∴Rt △EFP ∽Rt △EAD. ∴=∴EF =x∴Rt △BFP ∽Rt △BAC ∴=∴=∴x =三、解答题:23.解:⑴∵△PCD 是等边三角形∴∠PCD =∠PDC =60°PC =PD =CD ∴∠PCA =∠PDB =120° ∴当AC 、CD 、DB 满足 CD 2=AC ·BD即 = 时,△ACP ∽△PDB⑵当△ACP ∽△PDB 时由∠A =∠BPD ,∠B =∠APC∴∠PCD =∠A +∠APC =60°=∠A +∠B ∠PDC =∠B +∠BPD =60°∴∠APB =60°+∠APC +∠BPD =60°+60°-∠A +∠60°-∠B =180°-(∠A +∠B )=180°-60°=120° 24.解:⑴∵AB =2CD AE =BEB G第27题图F E D C B APA ∴CD =BE又∵AB ∥CD ∴CD ∥BE 且CD =BE ∴四边形EBCD 是平行四边形 ∴DE ∥BC∴△EDM ∽△FBM ⑵∵△EDM ∽△FBMFB =BC =DE ∴==∴=∴= ∴BM =3.25.解:⑴如果将长度为60cm 木条作为其中一边,把30cm 木条截成两段,其三角形不存在;⑵如果将长度为30cm 的木条作为其中一边,把60cm 的木条截成两边,则:①将30cm 的木条作最长边,于是有 == 三边成比例.此时三角形木架与△ABC 相似;②将30cm 的木条作为第二长的边,于是有 == 三边成比例,此时三角形木架与△ABC 相似;③将30cm 的木条作为最短边,则三边对应不成比例; 因此,另外两边的长度分别为10cm 、25cm 或12cm 、36cm.26.解:⑴证明:连NM∵NB 是⊙O 的直径 ∴NM ⊥BM 在△ACB 和△NMB 中∠ACB =∠NMB =90°∠ABC =∠NBM ∴△ACB ∽△NMB∴= 即 BA ·BM =BC ·BN ⑵连OM ∵CM 是⊙O 的切线 ∴CM ⊥OM ∴△CMO 是直角三角形 ∵CN =ON ∴MN =OC =ON ∵ON =OM ∴△OMN 是等边三角形 ∴∠MON =60°∵OM =OB ∴∠B =30°∴在Rt △ACB 中,AB =6. 27.解:⑴证明:过点C 作CG ∥AB 交DF 于G则 △EAF ∽△ECG △DCG ∽△DBF ∴==又∵AF =BF ∴= ∵BC =CD ∴= ∴= 即=⑵∵AB =a ,BF =AB =a ,又∵FB =EC ,∴EC =a ∵= ,∴AC =3EC =a.28.解:设经过t s 时,△PBQ ∽△ABC ,则 AP =2t ,BQ =4t ,BP =10-2t⑴ 如图①第28题图②QPCBA 当△PBQ ∽△ABC 时,有 =即 =∴t =2.5⑵ 如图②当△QBP ∽△ABC 时,有= 即 = ∴t =1综合以上可知:经过2.5秒或1秒时, △QBP 和△ABC 相似.。

《相似图形》单元基础测试题

《相似图形》单元基础测试题

第四章 相似图形单元测试题姓名: 成绩:一、选择题1.已知4x -5y=0,则x∶y 的值为( )A .5∶4B .4:5C .4D .52.已知dc b a =,那么下列各式中一定成立的是( ) A . bd c a = B .bd ac b c = C . d d c b b a 22+=+ D .dc b a 11+=+ 3.地图上的比例尺为1:200000,小明家到单位的图距为20cm ,则实际距离为( )A . 40000米B .4000米C .10000米D . 5000米4.已知△ABC ∽△DEF ,AB=6cm ,BC=4cm ,AC=9cm ,且△DEF 的最短边边长为8cm ,则最长边边长为( )A 、16cmB 、18cmC 、4.5cmD 、13cm5.△ABC ∽△DEF ,它们的周长之比为2:1,则它们的对应高比及面积比分别为( )A 、1:2,2 :1B 、2:1,2 :1C 、2:1,2:1D 、1:2,2:16. 下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是( )7. 如图, 在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,CD⊥AB 于D , 若AD=1,BD=4,则CD=( )A 、2B 、4 C、38. 如图,丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ,当他走到点P 时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部,当他向前再步行20m 到达Q 点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部,已知丁轩同学的身高是1.5m ,两个路灯的高度都是9m ,且AP=BQ,则两路灯之间的距离是( )A .24mB .25mC .28mD .30m9. 如图,△DEF 是由△ABC 经过位似变换得到的,点O 是位似中心,D ,E ,F 分别是OA ,OB ,OC 的中点,则△DEF 与△ABC 的面积比是( )A .B .C .D . D CB A (第7题) (第8题)(第9题)10.已知:如图在△ABC 中,AE=ED=DC ,FE//MD//BC ,FD 的延长线交BC 的延长线于N ,则BNEF 为( ) A 、21 B 、31 C 、 41 D 、5111. 如图,在ABC 中,AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若AB=9, DE=2, 则线段FC 的长度是( )A.2B.4C.5D.612. 如图,在Rt△ABC 中,AB AC =, D 、E 是斜边BC 上两点,且∠DAE=45°,将△ADC 绕点A 顺时针旋转90︒后,得到△AFB ,连接EF ,下列结论:①△AED ≌△AEF ;②△ABE ∽△ACD ;③BE DC DE +=;④222BE DC DE +=其中一定正确的是( )A 、②④B 、①③C、②③ D 、①④二、填空题13.已知d c b a ,,,是成比例线段,且5,8,2===c b a ,那么=d 。

图形的相似单元测试题及答案

图形的相似单元测试题及答案

九年级数学暑假收心考试班级姓名一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知:如图2,在△ABC中,∠ADE=∠C,则下列等式成立的是( )A.AD AEAB AC= B.AE ADBC BD=C.DE AEBC AB= D.DE ADBC DB=2.已知正五边形ABCDE与正五边形'''''A B C D E的面积比为1:2,则它们的相似比为()A. 1:2B. 2:1C.1:2D.2:13.下列说法正确的是( )A.各有一个角是100的两个等腰三角形相似;B.各有一个角是45的两个等腰三角形相似C.有两边对应成比例的两个等腰三角形相似;D.两腰对应成比例的两个等腰三角形相似4.下列判断正确的是( )A.不全等的三角形一定不是相似三角形B.不相似的三角形一定不是全等三角形C.相似三角形一定不是全等三角形D.全等三角形不一定是相似三角形5.如图7, D、E是AB的三等分点, DF∥EG∥BC , 图中三部分的面积分别为S1,S2,S3, 则S1:S2:S3( )A.1:2:3B.1:2:4C.1:3:5D.2:3:46.把△ABC的各边都扩大为原来的2倍,得到△'''A B C,下面结论不正确的是( )A.△ABC ∽△'''A B CB.△ABC 和△'''A B C 的各边、各角对应相等C.△ABC 和△'''A B C 的相似比为1:2D.△ABC 和△'''A B C 的相似比为1:3二、填空题(每小题5分,共25分)7.已知△ABC ∽△DEF, AB =6 , DE =8 , 则:ABC DEF S S ∆∆=________.8.点P 是△ABC 中AB 边上的一点,过点P 作直线 (不与直线AB 重合)截△ABC,使截得三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线最多________条.9.一个4米高的电线杆的影长是6米,它临近的一个建筑物的影长是36米.则这个建筑的高度是_________. 10.如图,在△ABC 中,D 是AB 边上一点,连接CD ,要使△ACD 与△ABC 相似,应添加的一个条件是_________.11.如图所示,在△ABC 中,DE ∥BC ,若AD=1,DB=2,则S △ADES 四边形BCED= .三、解答题(12-14题每题10分,15题15分)12. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F.求证: △DEH ~△BCA13.如图,四边形AEFD 与EBCF 是相似的梯形,AE:EB =2:3,EF =12 cm,求AD 、BC 的长.14.如图, 平行四边形ABCD 中,点E 是DC 中点, 连AE 并延长与BC 延长线交于点F,若CEF S =10 , 求四边形ABCE 的面积.15. 如图所示,把矩形ABCD 对折,折痕为MN ,矩形DMNC 与矩形ABCD 相似,已知AB=4。

湘教版九年级上册数学第三章 图形的相似 单元测试题(含答案)

湘教版九年级上册数学第三章 图形的相似 单元测试题(含答案)

湘教版九年级数学上册第三章图形的相似单元检测试卷一、单选题(共10题;共30分)1.在相同的时刻,太阳光下物高与影长成正比.如果高为1.5米的人的影长为2.5米,那么影长为30米的旗杆的高是().A. 18米B. 16米C. 20米D. 15米2.△ABC∽△A,B,C,,相似比为3:4,那么面积的比是_____。

A. 3:4B. 9:16C. 6:8D. 4:53.如图,在长为8cm、宽为4cm的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则留下的矩形面积是()A. 2 cm2B. 4 cm2C. 8 cm2D. 16 cm24.在上科学课时,老师让同学利用手中的放大镜对蜗牛进行观察,同学们在放大镜中看到蜗牛与实际的蜗牛属于什么变换()。

A. 相似变换B. 平移变换C. 旋转变换D. 轴对称变换5.如图,在△ABC中,DE∥BC ,,DE=4,则BC的长是()A. 8B. 10C. 11D. 126.若相似△ABC与△DEF的相似比为1 :3,则△ABC与△DEF的面积比( )A. 1 :3B. 1 :9C. 3 :1D. 1 :7.如图,在ΔABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN的长为()A. B. C. D.8.如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,2),直线y= 与x轴、y轴分别交于点A,B,点M是直线AB上的一个动点,则PM长的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 69.若△ABC∽△A′B′C′,且△ABC与△A′B′C′的相似比为1:2,则△ABC与△A′B′C′的面积比是()A. 1:1B. 1:2C. 1:3D. 1:410.若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1:2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为()A. 1:2B. 2:1C. 1:4D. 4:1二、填空题(共10题;共30分)11.已知8:x =6:9,则x的值等于________。

(考试真题)第25章 图形的相似数学九年级上册-单元测试卷-冀教版(含答案)

(考试真题)第25章 图形的相似数学九年级上册-单元测试卷-冀教版(含答案)

(考试真题)第25章图形的相似数学九年级上册-单元测试卷-冀教版(含答案)一、单选题(共15题,共计45分)1、如图,△DEF是由△ABC经过位似变换得到的,点O是位似中心,D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,则△DEF与△ABC的面积比是()A.1:2B.1:4C.1:5D.1;62、如图,矩形台球桌ABCD,其中A,B,C,D处有球洞,已知DE=4,CE=2,BC=6 ,球从E点出发,与DC夹角为α,经过BC,AB,AD三次反弹后回到E点,求tanα的取值范围()A. ≤tanα<B. <tanα<C.tanα=D. <tanα<33、一个五边形的边长分别为2,3,4,5,6,另一个和它相似的五边形的最长边长为24,则这个五边形的最短边长为()A.6B.8C.12D.104、在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,如果AD:BD=1:3,那么下列条件中能够判断DE∥BC的是()A. B. C. D.5、如图,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,OB=2OA,点A在反比例函数y= 的图象上.若点B在反比例函数y= 的图象上,则k的值为()A.﹣4B.4C.﹣2D.26、如图,在△ABC中,中线BE,CD相交于点O,连接DE,下列结论:①= ;②= ;③;④=其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个7、如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别与AB,AC相交于点D,E,若AD=4,DB=2,则AE ︰EC的值为()A.0.5B. 2C.D.8、下列四个选项中的三角形,与图中的三角形相似的是()A. B. C. D.9、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,E为AB上一点且AE∶EB=4∶1,EF⊥AC于点F,连接FB,则tan∠CFB的值等于( )A. B. C. D.510、为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理,她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm,镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm,则旗杆DE的高度等于()A.10mB.12mC.12.4mD.12.32m11、如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE // BC,与相交于点F,则下列结论一定正确的是()A. B. C. D.12、如图,D在BC上,△ABC和△ADE均为等边三角形,AC与DE相交于点F,则图中相似三角形有()A.3对B.4对C.5对D.6对13、如图,和是位似三角形,位似中心为点,,则和的位似比为()A. B. C. D.14、如图2,以点O为位似中心,画一个四边形A'B'C'D',使它与四边形ABCD位似,且相似比为,则下列说法错误的是( )A.四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'B.点C,O,C' 三点在同- -直线上 C. D.OB= OB'15、已知△ABC,D是AC上一点,尺规在AB上确定一点E,使△ADE∽△ABC,则符合要求的作图痕迹是()A. B. C. D.二、填空题(共10题,共计30分)16、如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16 cm,AC=12 cm,点P从点B出发,沿BC以2 cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发,以1 cm/s的速度向点A移动,若点P、Q分别从点B、C同时出发,设运动时间为ts,当t=________时,△CPQ与△CBA相似.17、如图,l1∥l2∥l3,两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F,已知,则的值为________.18、若= ,则=________.19、已知,则________.20、已知,则________21、平面直角坐标系xOy中,点A,B的坐标分别为(3,0),(2,-3),则△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形,且O'的坐标为(-1,0),则点B´的坐标为________22、如图,平行四边形ABCD的面积是16,对角线AC、BD相交于点O,点M1、N1、P1分别为线段OD、DC、CO的中点,顺次连接M1N1、N1 P1、P1M1得到第一个△P1M1N1,面积为S1,分别取M1N1、N1P1、P1M1三边的中点P2、M2、N2,得到第二个△P2M2N2,面积记为S2,如此继续下去得到第n个△P n M n N n,面积记为S n,则S n﹣S n﹣1=________.(用含n的代数式表示,n≥2,n为整数)23、在平面直角坐标系中,已知点A(﹣4,2),B(﹣2,﹣2),以原点O为位似中心,把△ABO放大为原来的2倍,则点A的对应点A′的坐标是________ .24、如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,点E是BC中点,点F是边CD上的任意一点,当△AEF的周长最小时,则DF的长为________25、如图,将矩形ABCD点A逆时针方向旋转一定角度后,BC的对应边交CD边于点G,时,,,连接,,则________.三、解答题(共5题,共计25分)26、已知线段x、y满足求的值.27、如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,BD分别与AE、AF相交于G、H.(1)在图中找出与△ABE相似的三角形,并说明理由;(2)若AG=AH,求证:四边形ABCD是菱形.28、如图,为了估计河的宽度,在河的对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S在一条直线上,且直线与河垂直,在过点S且与直线垂直的直线a上选择适当的点T,与过点Q且与垂直的直线b的交点为R.如果,,,求的长.29、(1)计算:|﹣2|﹣+(﹣)﹣1;(2)如图,直线AD∥BE∥CF,=, DE=6,求EF的长.30、小颖测得2m高的标杆在太阳下的影长为1.2m,同时又测得一棵树的影长为3.6m,请你帮助小颖计算出这棵树的高度.参考答案一、单选题(共15题,共计45分)1、B2、C3、B4、C5、A6、B7、B8、B9、C10、B11、A12、C13、B14、D15、A二、填空题(共10题,共计30分)17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题,共计25分)27、28、29、30、。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

相似图形单元检测
一、选择题
1.如图,电灯P 在横杆AB 的正上方,AB 在灯光下的影子为CD ,AB ∥CD ,AB =2m ,CD =5m ,点P 到CD 的距离是3m ,则P 到AB 的距离是 ( ) A .
56m B .67m C .65m D .103
m 2.如图,AB ∥CD ,AE ∥FD ,AE 、FD 分别交BC 于点G 、H ,则图中共有相似三角形 ( ) A .4对 B .5对 C .6对 D . 7对
3.如图,若P 为△ABC 的边AB 上一点(AB >AC ),则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC 的有
( ) A .∠ACP =∠
B B .∠AP
C =∠ACB
C .
AC AP AB AC = D .AB
AC
BC PC =
4.如图,D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点,
AD
AC
=3,且∠AED =∠B ,则△AED 与△ABC 的面积比是 ( )
A .1:2
B .1:3
C .1:4
D .1:9
5.如图,AB ,EF ,DC 分别垂直于直线BC ,
若AB =80,DC =20,那么EF =( ) A .16 B .20 C .40 D .60
二、填空题
6.两个位似图形的对应线段长分别为3cm 和5cm ,则它们的位似比为 . 7.在四边形ABCD 和四边形EFGH 中,若
4
3
====HE DA GH CD FG BC EF AB ,四边形ABCD 的周长是60cm ,则四边形的EFGH 周长为
8.如图,在□ABCD 中,E 为CD 上一点,AE ,BD 交于F ,EC ∶DC =3∶7则S △ABF ∶S △DEF = 9.如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,S △ADE :S △BCE =4:9,则S △ABD :S △AB C =
10.如图,在△ABC 中,BC =12cm ,点D 、F 是AB 的三等分点,点E 、G 是AC 的三等分点,则DE +FG +BC =
三、解答题
11.若
4
8
2334+=
+=+z y x 且x+y+z =12. _
B C D
P 第1题图
C A
F B
G H
E 第2题图 C 第3题图
A
C
B D E 第4题图
第5题图
第10题图 A B C D F G E 第8题图 第9题图
求x ,y ,z 的值.
12.如图,已知在□ABCD 中,∠A =60°,AD =6cm ,AB =8cm ,在□ABCD 上截去一个与□ABCD 相似的□FBCE ,求□ADEF 的面积.
13.
(8分)如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且AB =2CD ,E ,F 分别是AB ,BC 的中点.EF 与BD 相交于点M . (1)求证:△EDM ∽△
FBM ; (2)若DB =9,求
14.如图所示,一段街道的两边缘所在直线分别为AB ,PQ ,并且AB ∥
PQ .建筑物的一端DE 所在的直线MN ⊥AB 于点M ,交PQ 于点N .小亮从胜利街的A 处,沿着AB 方向前进,小明一直站在点P 的位置等候小亮.
(1)请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线,以及此时小亮所在位置(用点C 标出);
(2)已知:MN =20m ,MD =8m ,PN =24m , 求(1)中的点C 到胜利街口的距离CM (06河北中考) .
15.如图,一天早上,小张正向着教学楼AB 走去,他发现教学楼后面有一水塔DC ,可过了一会抬头一看:“怎么看不到水塔了?”心里很是纳闷.经过了解,教学楼、水塔的高分别是20m 和30m ,它们之间的距离为30m ,小张身高为1.6m .小张要想看到水塔,他与教学楼之间的距离至少应有多少米?(06柳州、北海中考)
相似图形单元检测
一、1.C 2.C 3.D 4.D 5.A
二、6. 3∶5;7.80cm ;8.49∶16 ;9. 2∶3;10. 24cm . 三、11.x =5,y =3,z =4;12.
2
3
21 13.(1)∵E 为AB 的中点;∴BE=
2
1
AB=CD ;∵BE ∥CD ;∴四边形EBCD 为平行四边形;∴DE ∥BF ;易证△EDM ∽△FBM . (2)3.
14(1)略;(2)16m.
15.解:如图,设小张与教学楼的距离至少应有x 米,才能看到水塔.连结FD ,由题意知,点A 在FD 上,过F 作FG CD ⊥于G ,交AB 于H ,则四边形FEBH BCGH ,都是矩形. AB CD ∥ AFH DFG ∴△∽△ ::AH DG FH FG ∴=
即()()()20 1.6:30 1.6:30x x --=+ 解得55.2x =
经检验55.2x =是所列方程的根. 答:小张与教学楼的距离至少应有55.2米.。

相关文档
最新文档