第七章 线性动态网络时域分析

时间常数 等于电压 uC衰减到初始值U0 的
所需的时间。
36.8%
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uC ( t ) U 0e iC ( t ) C
-
t

t
( t 0) U0 R U0 R
t -
duC dt
e


( t 0) ( t 0)
i R ( t ) iC ( t )
称为特征根(电路的固有频率)。
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dt RCp 1 0 1 p － RC
uC 0
于是电容电压变为
uC ( t ) Ke
pt
Ke

t RC
(t 0)
式中K是待定常数，由初始条件确定。当t=0+ 时上式变为 t
uC (0 ) K e
RC
K
L t
u ( )d
1 C
uC ( t ) uC ( 0 ) iL (t ) iL (0 ) 1
t
t

t

i ( )d
计算t = 0+ 时的值，有
uC ( 0 ) uC ( 0 ) iL (0 ) iL (0 ) 1 1 C
i1 ( 0 ) u 1 ( 0 ) / R 1 0
(b) 0+时刻等效电路
注 : u1 ( 0 ) 0 i1 ( 0 ) 0 u2 (0 ) 0 i2 (0 ) 0 iC ( 0 ) 0
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u 2 ( 0 ) u C ( 0 ) 10 V
e
U0 0.368U0
0
uC
U0/R 0.368U0/R

iR
RC放电电路的零输入曲线
t
0
t
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动态过程时间(暂态时间)的确定
理论上认为 t 电路达稳态 . 时 uC 0 工程上认为 t ( 3时 5) 电容放电基本结束。 u 0
e 随时间而衰减
t
C
C
i
R +
Us
uC
–
i=0 ,
uC= Us
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i
Us
K
U
uc
S
US i t1
新稳态R+R Nhomakorabea?
过渡状态
uC
–
C
初始状态 0
t
a. 动态电路：含有动态元件的电路，当电路状态发 生改变时需要经历一个变化过程才能 达到新的稳态。 上述变化过程习惯上称为电路的过渡过程。
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或 C (0 ) C (0 )
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uC (0 ) uC (0 ) ,
i L (0 ) i L (0 )
1 C
因为
uC ( t ) uC ( t 0 ) iL (t ) iL (t0 ) 1
t
t
0
t
0
i ( )d
t = 0 时换路
注意: （1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 （2）换路定律反映了能量不能跃变。
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求初始值的步骤: 1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3. 画0+等效电路。 a. 换路后的电路 b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 （取0+时刻值，方向与原假定的电容 电压、电感电流方向相同）。 4. 由0+电路求所需各变量的0+值。
C R uC －
设uC(0+)=U0
电容放出能量：
1 2
CU
2 0
电阻吸收（消耗）能量：
WR
U
2 0


0

i Rdt
2t RC
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t=0+的等效电路如下图(b)所示．
i1 R1 3KΩ u1 US
10V
K iC i2
i1(0+)
3KΩ iC(0+) uC(0+) i2(0+) u2(0+)
u1(0+)
C
10μF
uC
R2
2KΩ
u2 U S
10V
2KΩ
uC 0 10V
(a)
u1 ( 0 ) U S u C ( 0 ) 0
i 2 ( 0 ) u 2 ( 0 ) / R 2 5 mA
i C ( 0 ) i 1 ( 0 ) i 2 ( 0 ) 5 mA
例 电路中的开关断开已经很久，t=0时闭合开关， 试求开关转换前和转换后瞬间的电感电流和电感电 压。
L
iL
i1
K 2A R1=1Ω R2=1Ω
换路后，描述电路的方程是一阶微分方程。
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5. 动态电路的分析方法 (1) 根据KVL、KCL及元件的 VCR 建立电路 方程，该方程为以时间为自变量的线性常 微分方程。
an d i dt
n n
a n 1
d
n 1
i
dt
n 1
a1
di dt
a0 i u
•
•
7.8 二阶电路的零输入响应
7.9 二阶电路的零状态响应
7.1 电路动态过程和初始条件
产生动态过程的条件 换路定律 初始值计算
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7.1.1 电路动态过程和初始条件
1. 动态电路 t=0
Us
K
i
R +
稳态分析 K未动作前
C
uC
–
i = 0 , uC = 0 K接通电源后很长时间
K 2A R1=1Ω R2=1Ω L
iL
i1
(a)
注 ： u L (0 ) 0
i1
2A R1 iL(0+) uL(0+) R2
(b) 0+时刻等效电路
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例 和
电路如图所示， t<0时电路已达稳态，t=0时开
di L dt
关Ｋ由①扳向②，试求各元件电压和电流的初始值， ． duC
根据初始条件
uC ( 0 ) uC ( 0 ) U 0
求得
K U 0 uC (0 )
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电路的零输入响应为
iR
C
uC
R
uR
uC
O
(b)
uC ( t ) uC (0 )e
iC ( t ) C duC dt

t RC
U 0e
t
-
t RC
t
iR

b. 动态电路与电阻电路的比较： 动态电路换路后产生过渡过程 ，描述电路 的方程为微分方程。 i
Us
K
R
+
uC
–
C
RC
duC dt
uC U S
电阻电路换路后状态改变瞬间完成，描述 电路的方程为代数方程。
+ R1 R2 R3
-
us
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2. 过渡过程产生的原因 （1） 电路内部含有储能元件 L 、C
t0
(2) 求出微分方程的解，从而得到所求变量。
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7.1.2 初始条件的确定
换路定律
记: t = 0 — 表示换路时刻 (计时起点)； t = 0- — 表示换路前的终了瞬间； t = 0+ —表示换路后的初始瞬间．
uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 ) 或 qC (0 ) qC (0 )
u R Ri
R
R
C
RC
d uC dt
代入上式得到以下方程
RC duC dt uC 0
( t 0)
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R0
1
2
iR
K U0 C
uC
R
C
uC
R
uR
(a)
(b)
这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通 解为 pt
uC ( t ) Ke
duC
特征方程
其解为
RC
t 0
dt
t 0
解 开关原置于位置①， 且电路稳态，可求 出：
uC (0 ) uC (0 ) 4V iL (0 ) iL (0 )
3Ω
1H
iL iC
i
①
②
10V
uC
2F 2Ω 1Ω
2A
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t=0时开关由①扳向② ，0+时刻等效电路如下图所示．
U0
iC
e
-
RC t RC
i R ( t ) iC ( t )
R U0 R
e
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时间常数
由曲线可见，各电压电流的变化快慢取决于R 和C的乘积。令 =RC，由于 具有时间的量纲， 故称它为RC电路的时间常数。
的物理意义

t
uC ( t ) U 0 e
当 t 时 uC U 0e 1 36.8%U 0
L t
u ( )d
t
t

t

i dt
L t
u dt
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在换路瞬间，若i，u有限值，从而
0 i dt 0

0
0 u dt 0

0
于是， u (0 ) u (0 ) , C C
i L (0 ) i L (0 )
换路定律的适用条件: 非跃变电路(7.6节介绍）．
解
开关闭合前电路稳态，电感相当于短路．
i L ( 0 ) i1 ( 0 ) 1 A iL (0 ) iL (0 ) 1A
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t=0时闭合开关， 0+时刻等效电路如下图(b)所示． 所以，
u L (0 ) R2iL (0 ) 1A
达到U0。在t=0时开关迅速由1端转换到2端。已经充电的电 容脱离电压源而与电阻R并联，如图(b)所示。
R0
1 2
iR
K U0 C
uC
R
C
uC
R
uR
演示
(a)
(b)
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R0
1
2
iR
K U0 C
uC
R
C
uC
R
uR
(a)
(b)
我们先定性分析 t > 0后电容电压的变化过程。 当开关倒向2端的瞬间，电容电压不能跃变，即
第七章 线性动态网络时域分析
学习目标与要求：
（1）充分理解和掌握一阶电路响应的特点 （2）掌握一阶电路的三要素法 （3）掌握二阶电路响应的分析方法
第七章 线性动态网络时域分析
• 7.1 电路动态过程和初始条件
• 7.2 一阶电路的零输入响应
•
• • • •
7.3 一阶电路的零状态响应
7.4 一阶电路的全响应 7.5 一阶电路的阶跃响应 7.6 一阶电路的冲击响应 7.7 一阶电路对正弦激励的响应
i(0 ) 4 A
3Ω 2A uL(0+) 4V i(0+) iC(0+) 1Ω
iC ( 0 ) 2 i ( 0 ) 2 A
u L ( 0 ) 10 4 3 2 0
10V
∵ ∴
iC C
d uC dt
d uC dt
,
1 C
uL L
diL dt
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例 图示电路，t=0 时将开关K闭合，t<0时电路已 达稳态，试求各元件电流、电压初始值．
i1 R1 3KΩ u1 US
10V
K iC i2 uC R2
2KΩ
C
10μF
u2
解
t<0时电路已达稳态，电容相当于开路．
u C 0 U S 10 V
u C 0 u C 0 10 V
t
t


2
3
4
5
6
e
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
e
6
uC
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
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uC ( t )
1 2 3
t
O
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能量关系 +
电容不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕.
1 C
0+时刻等效电路
iC ( 0 ) 1V / s

t 0
iC
t0
diL dt
t0

1 L
uL
t0

1 L
uL ( 0 ) 0A / s
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7.2 一阶电路的零输入响应
零输入响应特点 零输入响应计算 能量关系
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7.2 一阶电路的零输入响应
能量的储存和释放都需要一定的时间来完成
p w t
（2） 电路结构、状态发生变化 支路接入或断开， 参数变化 换路
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3. 稳态分析和动态分析的区别 稳 态
动
态
恒定或周期性激励 换路发生很长时间 后重新达到稳态 微分方程的特解 4. 一阶电路
任意激励 换路刚发生后的 整个变化过程 微分方程的一般解
一阶电路：由一阶微分方程描述的电路称 为一阶电路。 零输入响应：电路的输入为零，响应是由储 能元件所储存的能量产生的，这种响应称为 零输入响应．
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7.2.1 RC电路的零输入响应
图(a)所示电路中的开关原来连接在1端，电压源U0通过
电阻Ro 对电容充电，假设在开关转换以前，电容电压已经
uC (0 ) uC (0 ) U 0
由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电 容电压相同，即 u (0 ) u (0 ) U
R C 0
电阻的电流为
i R (0 )
U0 R
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R0
1
2
iR
K U0 C
uC
R
C
uC
R
uR
(a)
(b)
为建立图(b)所示电路的一阶微分方程，由KVL 得到 u u 0 由KCL和电阻、电容的VCR方程得到