深圳市富源学校09-10学年第一学期高二数学选修2-1 《空间向量与立体几何》单元测试题

东升学校《空间向量与立体几何》单元测试题

一、选择题（本大题8小题,每小题5分，共40分）

1、若a ,b ,c

是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是（ ）

A ．a b b a +=+

B ．()

a b a b λλλ+=+

C ．()()

a b c a b c ++=++

D ．b a λ=

2、给出下列命题

①已知a b ⊥ ,则()()

a b c c b a b c ⋅++⋅-=⋅

;

②A 、B 、M 、N 为空间四点,若,,BA BM BN

不构成空间的一个基底,则A 、B 、M 、N 共面;

③已知a b ⊥ ,则,a b

与任何向量不构成空间的一个基底;

④已知{}

,,a b c 是空间的一个基底,则基向量,a b

可以与向量m a c =+ 构成空

间另一个基底.

正确命题个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3、已知,a b

均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么3a b + 等于（ ）

A B C D ．4

4、1,2,,a b c a b ===+

且c a ⊥ ,则向量a b 与的夹角为（ ）

A ．30︒

B ．60︒

C ．120︒

D ．150︒

5、已知()()3,2,5,1,,1,a b x =-=-

且2a b ⋅= ,则x 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

6、若直线l 的方向向量为a ,平面α的法向量为n

,则能使//l α的是（ ）

A ．()()1,0,0,2,0,0a n ==-

B ．()()1,3,5,1,0,1a n ==

C ．()()0,2,1,1,0,1a n ==--

D ．()()1,1,3,0,3,1a n =-=

7、在平面直角坐标系中, (2,3),(3,2)A B --,沿x 轴把平面直角坐标系折成120︒

的二面角后,则线段AB 的长度为（ ）

A B ． C ． D ．8、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 是A 1B 1中点,则E 到平面ABC 1D 1的距离是（ ）

A ．

2 B ．2 C ．12 D ．3

二、填空题（本大题共6小题，每空5分，共30分）

9、已知123F i j k =++ ，223F i j k =-+- ，3345F i j k =-+ ，若123,,F F F

共同作用于一物体上，使物体从点M （1，-2，1）移动到N （3，1，2），则合力所作的功是 .

10、在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知∠BAD=∠A 1AB=∠

A 1AD=60︒,AD=4,AB=3,AA 1=5, 1AC

= . 11、△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60︒,则AD

与平面BCD 所成角的余弦值为 .

12、若直线l 的方向向量为(4,2,m),平面α的法向量为(2,1,-1),且l ⊥α,则m = .

13、已知A(-3,1,5),B(4,3,1),则线段AB 的中点M 的坐标为 . 三、解答题（本大题共6小题，共80分）

14、(本题满分12分)设空间两个不同的单位向量()()1122,,0,,,0a x y b x y ==

与

向量()1,1,1c =

的夹角都等于45︒.

(1)求11x y +和11x y ⋅的值; (2)求,a b

的大小.

15、(本题满分12分)已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为a 的

正方形,侧棱PA ⊥底面ABCD,E 为PC 上的点且C E ：CP=1：4, 则在线段AB 上是否存在点F 使EF//平面PAD?

17、(本题满分14分) 如图,四棱锥S-ABCD 的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA

⊥底面ABCD,若边BC 上存在异于B,C 的一点P,使得PS PD ⊥

. (1)求a 的最大值;

(2)当a 取最大值时,求异面直线AP 与SD 所成角的大小;

(3)当a 取最大值时,求平面SCD 的一个单位法向量n

及点P 到平面SCD 的距离.

18、(本题满分14分)已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,

AB AF=1,M 是线段EF 的中点.

(1)求证：AM//平面BDE ； (2)求证：AM ⊥平面BDF ．

19、(本题满分14分)如图所示,矩形ABCD 的边AB=a,BC=2,PA ⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:

①a =

;②1a =;③a =④2a =;⑤4a =; (1)当在BC 边上存在点Q,使PQ ⊥QD 时,a 可能取所给数据中的哪些值?请说明理由; (2)在满足(1)的条件下,a 取所给数据中的最大值时,求直线PQ 与平面ADP 所成角的正切

值;

(3)记满足(1)的条件下的Q 点为Q n (n=1,2,3,…),若a 取所给数据的最小值时,这样的点

Q n 有几个?试求二面角Q n -PA-Q n+1的大小;

20、(本题满分14分)如图所示,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD 中,∠

ABC=60︒,PA=AC=a,

,点E 在PD 上,且P E ：ED=2：1.

(1)证明：PA ⊥平面ABCD ；

(2)求以AC 为棱,EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；

(3)棱PC 上是否存在一点F,使BF ∥平面AEC?证明你的结论.