状态空间表示法例题
电气系统状态空间表达式例题
电气系统状态空间表达式例题状态空间表达式是描述线性时不变系统动态行为的一种数学模型，它基于系统的状态变量和控制变量来描述系统的动态行为：
假设有一个电气系统，其动态行为可以用以下微分方程描述：
dx/dt = Ax + Bu
y = Cx + Du
其中，x 是系统的状态变量，u 是系统的控制输入，y 是系统的输出。
A、B、C 和 D 是系统的系数矩阵，它们描述了系统内部状态变量之间的动态关系以及系统对控制输入和输出的响应。
根据状态空间表达式，我们可以将上述微分方程转换为以下形式：
x' = Ax + Bu
y = Cx + Du
其中，x' 是新的状态变量，它包含了系统状态的导数。
这个形式的状态空间表达式包含了系统的动态行为，可以通过控制输入 u 来影响系统的状态变量 x 和输出 y。
需要注意的是，具体的系数矩阵 A、B、C 和 D 取决于具体的电气系统，需要根据系统的具体参数和特性来确定。
人工智能概论知识表示(状态空间表示法)
３ 利用状态空间求解问题的过程
• 为了求解该问题，根据该状态空间的９种可能状态和12种 算符，构造它的状态空间图，如图所示从初始节点（１， １）（状态Ｓ０）到目标节点（３，３）（状态Ｓ８）的任 何一条通路都是问题的一个解。但其中最短的路径长度是 ３，它由３个算符组成，这３个算符是Ａ（１，２）、Ｂ （１，３）、Ａ（２，３）。
• （2）算符 引起状态中某些分量发生变化，从而使 问题由一个状态变为另一个状态的操作 称为算符。 算符可分为走步、过程、规则、数学算 子、运算符号或逻辑符号等。 例如：
在产生式系统中，每一条产生式规则就是一个算符； 在下棋程序中，一个算符就是一个走步；
１问题状态空间的构成
• （３）状态空间 • 由表示一个问题的全部状态及一切可用算符构成的集
这样定义的算符组Ｆ中共有１２个算符，它们分别是
Ａ（１，２） Ａ（１，３） Ａ（２，１） Ａ（２，３） Ａ（３，１） Ａ（３，２） Ｂ（１，２） Ｂ（１，３） Ｂ（２，１） Ｂ（２，３） Ｂ（３，１） Ｂ（３，２）
• 至此，该问题的状态空间（Ｓ，Ｆ，Ｇ）构造完成。这就 完成了对问题的状态空间表示。
３ 利用状态空间求解问题的过程
• 说明：
①可能有多个算符序列都可使问题从初始状态变到目标 状态，这就得到了多个解。其中有的使用算符较少，有 的较多，把使用算符最少的解称为最优解。这里只是从 解中算符的个数来评价解的优劣，评价解的优劣主要是 看使用算符时所付出的代价，只有总代价最小的解才是 最优解。 ②对任何一个状态，可使用的算符可能不止一个，这样 由一个状态所生成的后继状态就可能有多个。当对这些 后继状态使用算符生成更进一步的状态时，首先应对哪 一个状态进行操作呢？这属于搜索策略的问题，不同的 搜索策略其操作的顺序是不相同的。
知识表示与问题求解(状态空间法) ppt课件
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3
2.2.3 状态空间法
例:三数码难题（3 puzzle problem）
23 1
23 1
2 13
2 13
3
21
初始棋局
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12
3
目标棋局
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4
2.2.3 状态空间法
状态空间表示法就是以“状态空间”的形式来表 示问题及其搜索过程的一种方法。
最短的路径长度是3，它由3个算符组成：A(1，2)、 B(1，3)、A(2，3)。
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22
2.2.3 状态空间法
例1：翻转钱币问题
三枚钱币处于反、正、反状态，每次只许翻动一枚钱币 ，问连续翻动三次后，能否出现全正或全反状态。
初始状态Qs
ppt课件 目标状态自集动化合系仪{Q自教0,研Q室7} 23
算符A(i，j)表示把盘子A从第i号柱子移到第j号柱 子上的操作；
算符B(i，j)表示把盘子B从第i号柱子移到第j号柱 子上的操作。
算符组F中共有12个算符:
A(1，2)，A(1，3)，A(2，1)，A(2，3)，A(3，1)，A(3，2) B(1，2)，B(1，3)，B(2，1)，B(2，3)，B(3，1)，B(3，2)
翻动钱币的操作抽象为改变上述状态的算子，
即F＝{a, b, c}
a:把钱币q0翻转一次
b:把钱币q1翻转一次
c:把钱币q2翻转一次
问题的状态空间为<{Q5},
{a, b, c}，
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{Q0
Q7自}>2.2.3.2：翻转钱币问题
线性系统的状态空间分析与综合例题解析
第9章线性系统的状态空间分析与综合r例题解析例9-1 对于图9-1所示的质量一弹簧系统，当外力F (t)作用时，系统产生运动, 质量及弹簧弹性系数见图示。
如不计摩擦，试：(1)以质量m2的位移y(t)为输出，外力F(t)为输入，列写系统的运动方程；(2)求从F(s)到y(s)的传递函数；(3 )以框图表示上述系统；(4)自选一定数目的状态变量，建立上述系统的状态方程和输出方程。
图9-1质量一弹簧系统解：(1 )设质量块m的位移为乙根据牛顿定律有F(t) kjz y) gz 1)同理对质量块m有kjz y) k2y m2y 2)联立式1)和2)消去中间变量z，得出系统微分方程：m1 m2y(4)[(k1 k2 )m1 k1m2] y k1k2y k1F (t) 3)(2)对式3)进行拉氏变换可得-258 •迪一4 --------------------- ------------ 2—4)F (s) m1m2s [(k1 k2)m1 k1m2 ]s k1k2-259 •(3)对式(1)进行拉氏变换可得Z(s)k i、Y(s) F(s) m1s2k15)同样处理式2)有Y(s) k12Z(s) m s k k6)k1 *图9-2 系统结构图x1z x1 x2 zx3 y x3 x4 y由式1)X2 z k1 X11X3 F(t) m1m1m1 k t k? &x3x-i因此有k1 x m1k2m210 k1 010 mh1 x m1 F(t)n 00 0 0m2由式5)，式6)可以画出系统结构图，如图9-2所示。
(4)设状态变量由式2) x4yy 0 0 1 Ox-260 •-261 •例9-2 在图9-3所示系统中，若选取x i , x 2 , X 3作为状态变量，试列写其状态空间 表达式，并写成矩阵形式•图9-3解：由结构图可得2 u X 1) (s 3) x 22(X 2X 3) s(s 1)X 1X 3SX jy X 1整理可得系统状态空间方程表达式X 1 X 3X 22为 3x 2 2uX 32X 2 3X 3y X 1写成矩阵的形式0 1 0x 2 3 0 x 2 u23例9-3 设系统微分方程为y 7 y 14y 8y u 8u 15u系统初始条件为零，试：（1） 采用传递函数直接分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图; （2） 采用传递函数并联分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图。
C2状态空间表达式
1 1 x1 x2 u L L . 1 1 x2 x1 x2 C CR
.
y x2
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例3
1 1 1 x2 u x L L 1 1 2 x1 x x2 C CR
1 L
y x2
u
1 x
-
x1
∫
1 C
2 x
第二章 状态空间表达式
① ② ③ ④ 示例 状态空间的基本概念 状态空间表达式的建立 传递函数、传递函数矩阵与状态空间表达 式 ⑤ 状态空间线性变换
14:25
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1
状态空间表达式-例1
例1
RLC电路如图所示
系统的运动方程为：
diL L dt y u dy y C iL dt R
注：传递函数反映了系统输入量与输出量的关系。没有 表达出系统内部变量之间的变化及其与输入量与输出量 间的关系。
2016/4/1 北京科技大学自动化学院 3
状态空间表达式-例1
换一种思路，我们取 x1 iL , x2 y带入系统的运动方程有 : 1 1 1 x2 u x L L 1 1 x 2 x1 x2 C RC
2016/4/1
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12
状态空间表达式-基本概念
当：p q 1时B(t )是n维列向量C (t )是n维行向量称系统为 SISO( Single Input Single Output) 单输入单输出系统 , 或称为单变量系统。
当：p 1, q 1时B(t )是n p维矩阵C (t )是q n维矩阵称系统为 MIMO( Multi Input Multi Output ) 多输入多输出系统, 或称 为多变量系统。
2.2状态空间表达式的建立
bn1s n1 b1s b0 Y ( s) g ( s) n U ( s) s an1s n1 a1s a0 Y ( s) U ( s) s n an1s n1 a1s a0
n
输出为：
bn1s
n 1
b1s b0
(2) 并联分解法
①极点两两相异时
N s g s N s Ds s p1 s p2 s pn c1 c2 cn s pn s p1 s p2
状态方程为：
dx1 R1 x2 uC 1 R1 R2 ( ) x1 dt L R1 R2 R1 R2 L L
dx2 R1 1 x1 x2 dt C R1 R2 C R1 R2
输出方程为：
y uC x2
写成矩阵形式
1 R1 R2 x1 L R1 R2 R x2 C(R R ) 1 2
3完全描述一个动态系统所需状态变量的个数有系统的4一般来说状态变量不一定是具有实际物理意义或可的阶次决定状态变量必须是相互独立的
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
解：选择状态变量：x1 根据基尔霍夫定律：
iL , x2 uC ,
0 bn 1 bn 1 an 10 2 bn 2 an 11 an 20 n b0 an 1 n 1 an 2 n 2 a11 a00
Step1计算
step 2 定义状态变量:
状态法2,3章习题
0 0 1 s − 2
∴ e At
e t = L− 1 [( sI − A )− 1 ] = 0 0
0 et e 2t − et
0 0 2t e
用化为特征值规范型的方法， B3.5 用化为特征值规范型的方法，求下列矩阵 的指数函数eAt： 的指数函数e
B3.7
已知线性定常系统齐次状态方程的解为
2 2 x ( 0 ) = 时 x ( t ) = e − t ， − 1 − 1 1 1 x( 0 ) = 时 x( t ) = e − 2 t − 1 − 1
求系统的状态转移矩阵和状态矩阵A。 求系统的状态转移矩阵和状态矩阵A
方程， 方程，并确定上述两种形式状态方程之间的线性 变换阵P 变换阵P。
解: 由传递函数求得输入输出微分方程为
d 2 y( t ) dy( t ) +3 + 2 y( t ) = u( t ) 2 dt dt
& (1)若选取状态变量 (1)若选取状态变量 x1 = y , x 2 = y ，则有
& x1 = x 2 ,
& x2 + 3 x 2 + 2 x1 = u( t ) ,
y = x1
& 1 x1 0 x1 0 x = − 2 − 3 x + 1u 2 &2 x1 y = [1 0] x2
(2)若选取状态变量 (2)若选取状态变量
1 0 0 0 1 & 0 1 x + 0 u （） x = 0 3 − 8 − 14 − 7 y = [1 0 0 ]x
人工智能导论状态空间表示open表close表例题
人工智能导论状态空间表示open表close表例题人工智能导论：状态空间表示与open表、close表在人工智能领域，状态空间表示是一种描述问题的形式化模型，它以状态为基本单位，通过状态之间的转移关系来描述问题的结构及其解空间。
而open表和close表则是在搜索问题解空间时常用的数据结构，用于记录搜索过程中的状态和路径信息，以便进行有效的搜索和剪枝。
本文将介绍状态空间表示的基本概念，以及open表和close 表的作用和例题应用。
一、状态空间表示1. 什么是状态空间表示？状态空间是指问题的所有可能状态的集合，而状态空间表示则是将问题中的状态、动作和转移关系用数学形式表示出来，以便进行问题分析、求解和模拟。
状态空间表示有助于我们更好地理解问题的结构、约束和解空间，从而选择合适的搜索策略和算法进行求解。
2. 怎样表示状态空间？状态空间表示通常使用图或者矩阵等形式进行表达，其中节点代表问题的状态，边或者转移函数表示状态之间的转移关系。
在八数码问题中，每个状态都可以用一个3x3的矩阵表示出来，矩阵中的数字代表每个位置的数码，而移动操作则对应着矩阵中数码的交换操作。
3. 状态空间表示的意义和价值状态空间表示可以帮助我们更好地理解问题的结构和特性，有助于问题分析和算法设计。
通过状态空间表示，我们可以清晰地描述问题的起始状态、目标状态和状态转移规则，为搜索和规划提供了明确的方向和约束。
二、open表和close表1. open表和close表的作用在搜索问题的解空间时，我们通常需要记录已访问的状态以及其相关信息，以便进行有效的搜索和避免重复访问。
这就引出了open表和close表这两种数据结构，它们分别用于记录待访问状态和已访问状态，以保证搜索的完整性和高效性。
2. open表和close表的结构和操作open表通常采用队列、堆栈或者优先队列等数据结构来实现，用于存储待访问状态及其相关信息，并根据搜索策略进行状态的出队和入队操作。
状态空间表达式
则有
1 x1 x1 , x2 X 2 C
对应的矩阵形式为：
x px
分析
其中
. 0 1 x1 x1 x . , x , p 1 0 x2 x2 C
已知如下一个RLC电路系统，系统输入输出分别是U1，U2，试 选择两组状态变量建立空间表达式！
R
L
U1
i
C
U2
分析
di 1 Ri L idt U1 dt C
U2 1 x2 C 1 C
根据电压回路定律：
电路输出量为：
idt
.
（1）设状态变量为电感器电流和电容器电压，即
x1 i
.
idt
则状态方程为： 输出方程为：
R 1 1 x1 x1 x2 U1 L L L
U 2 x2
1x x2 c
.
1
分析
其矩阵形式为：
R . 1 1 x x 1 L 1 L U1 L . 1 x2 x2 0 0 C x1 U 2 01 x2
化A为对角型关键求P
一般方法有： （1） 当A的特征根互不相等时，求P即求出对应 特征根的特征向量。 （2）当A为为友矩阵时，求出互不相等的特征根 时，P用范德蒙德矩阵求出。 （3）当A有m个相同特征根，其余n-m个特征根 为互不相等，但对m个相等特征根仍然能求出m 个独立的特征向量时，就用m个独立向量和n-m 对应向量组成P。如果m个相等特征根的对应特 征向量不足m个，则转和电荷，即
控制系统的状态空间描述
x2
y
k m
y
f m
y
1 m
F (t )
y x1
系统状态空间矩阵表达式：
x1 x2
0
k m
1 f
m
x1 x2
0 1
m
ui
y 1
0
x1 x2
[例3]直流电动机系统
fy ky
1.设状态变量为: x1 y, x2 y
2.根据牛顿定律组成系统的原始 方程。
F(t)
d 2 y(t) m dt 2
F (t) ky
f
y
３.通过原始方程的计算和整理 ，导出状态方程和输出方程。
my F(t) fy ky
则： x1 y x2
1
L 0
ea
y 0
1
x1 x2
练习一：对于如图所示的机械阻尼运动系统，已知系
统的微分方程：M1
dy1 dt
f
k1( y1
y2 ) B1( y1
y2 )
M2
dy2 dt
k1( y1
y2)
B1( y1
y2 ) k2 y2
x1 x2 x2 x3 x3 a3x1 a2 x2 a1x3 bu
u b
a1
a2
a3
[练习]已知系统状态空间描述如下，画出下列状
态方程的状态变量图
解：写成矩阵形式
考研必备之自动化专业_自控原理_第九章_状态空间分析法答案_计算题
计算和证明题.1 已知机械系统如图9-7所示，21,m m 为质量块，1m 受外力)(t F 作用。
弹簧的弹性系数如图示，如不计摩擦，自选一定数目的状态变量，建立系统的状态空间描述。
提示：设中间变量质量块1m 的位移为z ，根据牛顿定律有zm y z k t F 11)()(=-- ① 同理对质量块2m 有ym y k y z k 221)(=-- ② 设状态变量z x =1 12x zx == y x =3 34x y x == 由式① 13111112)(m t F x m k x m k z x++-== 由式② 32211214x m k k x m k y x+-== 因此有)(001000100000001143212212111114321t F m x x xx m k k m k m k m k x x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43210100x x x x y .2 已知系统结构图如图9-8所示。
试写出系统的状态方程和输出方程（要求写成矢量形式）。
提示：[]xy u x x 01101212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= .3 已知系统的微分方程，试建立其相应的状态空间描述，并画出相应的状态结构图。
（1）u u u y y y y 86375++=+++（2）u u u y y y y 23375++=+++提示：（1）[]x u x x 168100573100010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=y ，状态结构图略 （2）[]ux u x x +---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=54110057310001y ，状态结构图略。
.4判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。
状态空间表示法例题
1.自然语言描述
1）老农携带羊羔过河，把狐狸和白菜留在南岸； 2）老农到达北岸，把羊羔留在北岸，并独自回到南岸； 3）老农携带狐狸过河，把白菜留在南岸； 4）老农到达北岸，把狐狸留下，并带上羊羔回到南岸； 5）老农把羊羔留在南岸，携带白菜过河； 6）老农到达北岸，把白菜和狐狸留在北岸，独自回到南岸； 7）老农最后携带羊羔过河，到达北岸。问题就此解决。
[例1] 重排九宫问题
2 83 1 64 2 7 ■5
初始状态
1 23 ■8 4 765
目标状态
要求：用尽可能少棋步能由初始状态到达目标 状态。
283 164 75
初始状态
283 164
75
283 14 765
283 164 75
283 64
175
283 14
765
23 184 765
283 14 765
(S,N,N,N)：老农在南岸，其他三个对象在北岸 (N,S,S,S)：老农在北岸，其他三个对象在南岸
羊羔和白菜在同一岸 （羊羔要吃白菜）
(S,S,N,N)：老农和狐狸在南岸，羊羔和白菜在北岸 (N,N,S,S)：老农和狐狸在北岸，羊羔和白菜在南岸
狐狸和羊羔在同一岸 （狐狸要吃羊羔）
(S,N,N,S)：老农和白菜在南岸，狐狸和羊羔在北岸 (N,S,S,N)：老农和白菜在北岸，狐狸和羊羔在南岸
234 18 765
28 14 3 765
28 163 754
2 3 283 283 684 64 674 175 175 1 5
目标状态
283 2 3 283 14 184 164
765 765 7 5
283 2 3 283 16 186 156
状态空间法
第一章 系统的状态空间模型习题1一网络系统如图所示，设Uc 和L I 为状态变量。
试求系统的状态方程。
习题2已知系统的状态空间表达式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21321.3.2.1101110200040014u u x x x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21321300001Y Y x x x Y 试绘出系统的状态空间图。
习题3如图系统的状态结构图，x1,x2,x3为状态变量，u, y 为输入输出。
第二章 状态方程的解习题1已知系统的A 阵为：① ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡032100010 ② ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡072100030 试求At e 。
习题2F= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5610 G=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11 试求系统当u （k ）=3的解。
第三章 能控性和能观性习题1能控且能观的两个系统1S ，2S ： 1S ：11111.u b x A x +=， 111x c y = 其中，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=43101A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101b ，[]121=c ，2S ：22222.u b x A x +=，222x c y = 12-=A ，12=b ，12=c① 试求对于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21x x x 的状态方程。
② 考察图中系统得能控性及能观性。
③ 求关于1S ，2S 这两个子系统得传递函数，并验证②。
习题2直流电动机系统如下：RL ① 以w 为输出时的状态能控性及输出能观性；② 以转角θ为输出时系统的能观性。
第四章 动态系统的确定性分析习题1⎪⎩⎪⎨⎧--==2.31.22.1x x x x x 试确定e x 的稳定性。
习题2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡21.2.1211x x K x x试用李雅普诺夫理论求系统稳定时K 的取值范围 第五章 极点配置与观测器设计习题1试为下面系统设计一个全阶观测器，使闭环极点配置在-4和-5上。
状态空间法例题
状态空间法例题状态空间法是一种用于解决动态系统问题的方法，它将问题分解为一系列的状态和转移，通过建立状态方程和转移方程来描述系统的动态行为。
以下是一个简单的状态空间法例题：例题：有一个水池，其容量为V升，初始时水池中有一定量的水。
现在我们要通过一个水泵将水从水池中抽出，每次只能抽出W升的水。
假设水池的初始水量为X升，水泵每分钟抽水Y升，问多长时间T后水池的水量会降到L升以下？根据题意，我们可以定义以下变量：X：初始水量（升）Y：水泵每分钟抽水量（升/分钟）W：每次抽水量（升）V：水池容量（升）L：水池的水量降到L升以下时的目标水量（升）T：所需时间（分钟）状态空间法的基本步骤如下：定义状态变量：在这个问题中，状态变量就是水池的水量。
我们定义当前水池的水量为x（升），并考虑其在时间t（分钟）的变化情况。
建立状态方程：根据状态变量x的定义和题目条件，我们可以建立如下状态方程：x(t+1) = x(t) - W（如果x(t) > L）；x(t+1) = x(t) - Y（如果x(t) <= L）。
这个方程描述了在当前状态下，下一时刻状态变量的变化情况。
初始条件：根据题目条件，我们知道初始时水池的水量为X升，即x(0) = X。
求解状态方程：根据状态方程和初始条件，我们可以使用迭代法或数值计算方法求解状态变量在各个时刻的值，直到达到目标水量L 以下。
计算所需时间：根据求解出的各个时刻的状态变量值，我们可以计算出达到目标水量所需的时间T。
通过以上步骤，我们可以使用状态空间法解决这个问题。
需要注意的是，这个方法只适用于线性系统或可以近似为线性系统的非线性系统。
对于复杂的非线性系统，可能需要使用更高级的方法进行求解。
现代控制理论习题之状态空间模型
（1）
R1
ui
C1 uc1
R2
i1 u
C 2 i2 u o
c2
题 1-1 图 1
(2）
R
ui
iL
L
C uc
uo
题 1-1 图 2
【解】 ： (1) 设状态变量: x1 = u c1 、 x 2 = u c 2 而
i1 = C1 u c1 、 i 2 = C 2 u c 2
• •
根据基尔霍夫定律得：
u i = [C1 u c1 + (
c s+a
1 s
Y1 ( s )
U 2 (s)
d s+b
f s+e
Y2 ( s )
g
题 1-3 图 2
【解】 ： (1) 如题 1-3 图 3 设状态变量
3
U ( s)
K1 T1
6 x
x6
1 T1
K2 T2
4 x
1 T2
x4
K3
2 x
x2
1 T4
1 x 1 T4
x1
Y ( s)
x3
3 x
（4）传递函数为：
G(s) = −3s + 1 −3s + 1 = 4 2 2 3 s + 3s + 2 s + 0 s + 3s + 0 s + 2
4
状态空间表达式为：
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ 0 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎥ x + ⎢0 ⎥ u =⎢ x ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 2 0 − 3 0⎦ ⎣1⎦ y = [1 − 3 0 0]x
(2) 设状态变量： x1 = i L 、 x 2 = u c 而
线性系统理论试题
2． 系统的状态空间描述如下，求系统的输出变量和输入变量之间的微分方程。 −1 6 0 & = x x + u, 2 −5 1
−1 −1
y = [ 0 1] x
6 s + 1 −6 s+5 1 解： ( s I − A ) = = s +1 ( s + 7 )( s − 1 ) 2 −2 s + 5 g ( s ) = c( s I − A )−1 b = [ 0 1] 6 0 s+5 1 s +1 = 2 s + 1 1 s + 6 s − 7 ( s + 7 )( s − 1 ) 2 y (s) s +1 & −7y = u &+u = 2 → && y + 6y u ( s ) s + 6s − 7
EMBED Equation.3
g (s) =
2
三、化对角线规范形
1．例 2.9 已知线性定常系统的状态方程为： 1 −1 0 1 & = −6 −11 6 x + 2 u x −6 −11 5 3
求系统的对角线规范形。 解: ①求系统特征值：系统的特征方程 det( sI − A) = 0 ，即 s −1 1
。
1
0
故特征值为：
当 时，有
−2 1 0 a −4 2 0 b < 3 rank [ sI − A B ] = rank 12 6 0 c − 因为第 1 列与第 2 列线性相关， 第 3 列为 0， 故不管 a,b,c 取何值， rank [ sI − A B ] 最大为 2，所以：a,b,c 为任何值都不能控。 6．已知系统状态空间描述为 a b & = x x 0 −5 且状态完全能观，求 a , b , c 。 c c 1 解： rankQo = rank = = 2 ， det Qo = b − 5c − ac ≠ 0 cA a b − 5c 9．例 4.25：已知系统的传递函数为： s+a s + 7 s 2 + 14 s + 8 设系统状态完全可控且完全可观, 试求 a 的范围。 G (s) =
1-1-状态空间表达式-PPT课件
x1 x2
0 1
LC
u
输出方程为：
y 1
0
x1 x2
x2 x1 uC
（3）系统状态变量的数目是惟一的
1.1.4 状态空间表达式建立的举例
例1-1 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注： 质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）
根据牛顿第二定律
F
F
ky
f
dy dt
m
d2 dt
y
2
即：
m
d2y dt 2
f
dy ky F dt
选择状态变量 x1 y x2 y x1
则：
x1 x2
x2
k m
y
f m
dy dt
1 m
F
k m
x1
f m
x2
1 m
F
机械系统的系统方程为
x1
x2
0
k m
1 f
m
x1 x2
0 1
m
F
y 1
y a2 y a1 y a0 y b0u
选取状态变量 x1 y
x2 y
x3 y
则有 x1 x2
x2 x3
x3 a0 x1 a1x2 a2 x3 b0u
写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
u
x3 a0 a1 a2 x3 b0
i(t) uC (t
)
1
L 0
u(t
)
duC (t) 1 i(t) dt C
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
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如：初始状态：（S，S，S，S）， 终止状态：（N，N，N，N）， 中间状态：S-N（1，1，0，0）
3.状态约束分析
因老农、狐狸、羊羔和白菜都有2种状态，即在南岸和北岸，所以 4个对象的总状态数为2*2*2*2=16种，按条件要求，有几种状态不能存 在，如表所示。所以只有10种可能状态。
老农和其他三个对象不 在同一岸（狐狸要吃羊 羔，羊羔要吃白菜） 羊羔和白菜在同一岸 （羊羔要吃白菜） 狐狸和羊羔在同一岸 （狐狸要吃羊羔） (S,N,N,N)：老农在南岸，其他三个对象在北岸 (N,S,S,S)：老农在北岸，其他三个对象在南岸 (S,S,N,N)：老农和狐狸在南岸，羊羔和白菜在北岸 (N,N,S,S)：老农和狐狸在北岸，羊羔和白菜在南岸 (S,N,N,S)：老农和白菜在南岸，狐狸和羊羔在北岸2 8 3 1 4 7 6 5 2 8 3 1 4 7 6 5 2 8 1 4 3 7 6 5 2 8 1 4 3 7 6 5 3 2 8 3 2 1 6 1 8 6 7 5 4 7 5 4 2 8 3 1 6 7 5 4 2 8 3 1 6 7 5 4 2 8 1 6 3 7 5 4 2 8 1 6 3 7 5 4 2 8 3 1 5 6 7 4
2.状态和操作
用符号表示：
M：代表老农(farmer)
F：代表狐狸(fox) L：代表羊羔(lamb) C：代表白菜(cabbage) S：表示在南岸
N：表示在北岸
S-N：表示从南到北 N-S ：表示从北到南
用（M，F，L，C）表示四个对象的一个状态, 可有S和N两个值；
改变状态的操作，可分别用1，0表示。表示 对象“在船上”和“不在船上”两个值。
(N,S,S,N)：老农和白菜在北岸，狐狸和羊羔在南岸
5.操作约束
根据题意，在10种可能的安全状态里，只有4种 是有可能的操作：
1）老农独自过河（包括从南岸到北岸和从北岸到南岸，下同） 2）老农携带狐狸过河 3）老农携带羊羔过河 4）老农携带白菜过河
6.问题求解过程的表示
(S,S,S,S) S--N(1,0,1,0) (N,S,N,S) N--S(1,0,0,0) (S,S,N,S) S--N(1,0,0,1) S--N(1,1,0,0)
[例2] 农夫过河问题
一个老农携带一只狐狸、一头羊羔和一筐白菜， 要从南岸过河到北岸。岸边有一条小船，只有老农 自己能划船，而且除了老农以外，每次只能再带一 样东西过河。在整个渡河过程中，无论什么情况， 若老农不在场时，则不允许狐狸和羊羔单独相处， 否则羊羔会遭殃；羊羔也不得与白菜放在一起，否 则羊羔会吃白菜。 请问，老农如何才能把它们全部安全摆渡到北 岸？
算符: A( i,j):表示把A从第i号针移到第j号针上
B(i,j):表示把B从第i号针移到第j号针上 共12个算符: A(1,2), A(1,3), A(2,1) ,A(2,3), A(3,1),A(3,2) B(1,2), B(1,3), B(2,1), B(2,3), B(3,1), B(3,2)
(N,N,N,S) N--S(1,0,1,0) (S,N,S,S) S--N(1,O,0,1)
(N,S,N,N) N--S(1,0,1,0) (S,S,S,N) S--N(1,1,0,0)
N-S（1,1,0,0）
(N,N,S,N) N--S(1,0,0,0) (S,N,S,N) S--N(1,0,1,0) (N,N,N,N)
2 8 3 1 4 7 6 5
8 3 2 1 4 7 6 5 8 3 2 1 4 7 6 5 2 8 3 7 1 4 6 5 2 8 3 7 1 4 6 5
8 3 2 6 4 1 7 5
2 3 2 8 3 2 8 3 6 7 4 6 8 4 6 4 5 1 7 5 1 7 5 1
目标状态
2 8 3 2 3 2 8 3 1 4 1 8 4 1 6 4 5 7 6 5 7 6 5 7
1.自然语言描述
1）老农携带羊羔过河，把狐狸和白菜留在南岸； 2）老农到达北岸，把羊羔留在北岸，并独自回到南岸； 3）老农携带狐狸过河，把白菜留在南岸； 4）老农到达北岸，把狐狸留下，并带上羊羔回到南岸； 5）老农把羊羔留在南岸，携带白菜过河； 6）老农到达北岸，把白菜和狐狸留在北岸，独自回到南岸； 7）老农最后携带羊羔过河，到达北岸。问题就此解决。
[例3] 二阶梵塔问题(P53)
解：设立柱 1、2和3以及两个圆盘A和B 。 用Sk=( Sk0, Sk1)表示问题状态，Sk0表示圆盘A所在的立柱，Sk1表 示圆盘B所在的立柱，全部可能的状态共有九种： S0=( 1，1)， S1=( 1，2)， S2=( 1，3) S3=( 2，1)， S4=( 2，2)， S5=( 2，3) S6=( 3，1)， S7=( 3，2)， S8=( 3，3) 问题的初始状态集合是S={S0}，目标状态集合是G={S4，S8}。
S0=（1，1）
S1=（1，2）
S2=（1，3）
S3=（2，1）
S4=（2，2）
S5=（2，3）
S6=（3，1）
S7=（3，2）
S8=（3，3）
二阶梵塔问题状态表示
二阶梵塔状态空间图
M(盘符，i, j)
1 2 3 初始状态
S0
盘符=A,B i，j∈{1，2，3}
M(A 1 3) 1 2 3 S1 B M(B 1 2) 1 2 B M(A 3 2) 1 2 A 3 B S3 A 3 S2 A B
B
A
M(A 1 2) 1 2 3 A 1
S'1
M(B 1 3) 2 3 A 1 B
S'2
M(A 2 3) 2 3 ' AB
S3
目标状态
二阶汉诺塔问题的状态空间图
目标状态