上海市奉贤区曙光中学2021届高三第一学期期中考试数学试卷

曙光中学2020学年第一学期高三数学 期中考试试卷 本卷满分150分，用时120分钟

一.填空题（本大题共12题 ，1~6题每题4分，7~12题每题5分，满分54分） 1.已知集合{}{}|212,1,0A x x =-<≤--，B= ，则A B =__________。

2.函数y ＝x 2

3

的单调递减区间是_________。

3.若3＋2i 是实系数一元二次方程3x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则b ＋c ＝__________。

4.函数f (x )＝x －1的反函数是___________。

5.已知sin α＋cos α＝7

17

，α∈（0，π），则tan α＝________。

6.已知定义在R 上的函数f (x )，满足f (1)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1

f (x )。

7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2

13

n n S a =-

，则lim n n S →∞=_________。

8.

若函数4y ax a =+存在零点，则实数a 的取值范围是_______。 9.已知z C ∈，函数()()

()13

log 312

x z f x x x R =++

∈为偶函数，则

2

12

z z --＝________。 10.已知a ，b ，c ＞0，直线()lg 1y x ac =+与直线()lg 1y x bc =-互相垂直，则a

b 的取值范

围是__________。

11.已知函数()f x 定义在R 上的偶函数，在[)0,+∞是增函数，且()()2

2

241f x ax b f x x ++≤++恒成立，

则不等式2

sin 22

2

x

x x

a b π

--≥的解集为___________.

12.矩形ABCD 最后，AB ＝2，BC ＝1，直线l 交线段AB 于点E ，交线段CD 于点F ，若线段AB 上存在一点P ，P 关于直线l 的对称点Q 旗号在线段DF 上，设∠FEB ＝θ，则tan θ的取值范围是___________.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．

11a b

< B ．22

a b >

C ．

2211

a b

c c >++ D ．a c b c >

14.设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）

A ．若对任意正整数n ，都有24n n

a =成立，则{}n a 为等比数列

B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列

C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m n

m n a a +⋅= 成立，则{}n a 为等比数列

D ．若对任意正整数n ，都有

312

11

n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列

15.已知数列{}n a 满足1*a N ∈，1,2+3,n

n n n

n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数

为奇数

，若{}n a 为周期函数，则1a 的可

能取到的数值有（ ）

A ．4个

B ．5个

C ．6个

D ．无数个

16.已知()()20x f x x

λλ-=>，若对于任意()2,4t ∈，总存在正数m ，使得

()()0f t m f t m -++=成立，则实数λ的取值范围是（ ）

A ．(]0,4

B ．()0,4

C ．()0,16

D ．

(]0,16

三、解答题（本大题工5题，满分75分）

17.（本题第1小题 6分，第2小题8分，满分14分）

已知()11

04

ln 1 4

x f x a x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩

（1） 若函数()f x 在2

1,2

e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

的最大值为2，求a 的值；

（2） 若2

5

a =

，求不等式()1f x <的解集。 18.（本题第1小题7分，第2小题7分，满分14分） 已知虚数(),,0z a bi a b R b =+∈≠满足2

z R z

+∈ （1）求z ；

（2）若2a z i z ⎛⎫

-

= ⎪⎝

⎭，求11 a b

+ 的值。 19.（本题第1小题6分，第2小题8分，满分14分） 已知(

)2

cos 2cos 1f x x x x =+-。

（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；

（2）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，a ＝1，S 是△ABC 的面积，2A f a ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，

比较33

b c +

的大小。 20.（本题第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）

定义：对于定义在1D 上的函数()y f x =和定义在2D 上的函数()y g x =满足： 存在01

2x D D ∈，使得()()000f x g x ≥，我们称函数()

h x =()

f x 和函数()

g x 的“均值函数”。

（1）若()()23,f x x g x a x =+=-，函数()f x 和函数()g x 的均值函数是偶函数，求实数a 的值。 （

2）若()f x =

，()232g x x x =-+-，且不存在函数()f x 和函数()

g x 的“均值函数”，求实数k 的取值范围； （3）若()tan 1cos 222f x x x π

π⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭

，()g x 是()f x 和()1f x -的“均值函数”，求()g x 得值域。

21.（本题第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分）

定义：对于有穷数列{}n a ，将数列{}n a 中项k a 后边比k a 小的项记作k b ，（若k a 是{}n a 的最后一项，则0k b =），则称数列{}n b 是数列{}n a 的统计数列。

（1）若数列{}n a 为8,3，a ，2，4，{}n a 的“统计数列”{}n b 为4，2，1，0，0.求实数a 的取值范围； （2）若11

m n n c m

c c ++=

+，其中n c N ∈，且{}n c 不是常值数列，m ＞2且m N ∈，若33c <，求数列{}n c 的统计数列{}n d ；

（3）定义在R +

上的函数()f x 满足()0f x >，且对任意的,x y R +

∈都有

()()22f x f y xy f x y +⎛⎫= ⎪+⎝⎭

成立，()12020f =，220193f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设1n p f n ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，记作{}n p 的统计数列{}n q ，在所有可能的{}n p 中，求数列{}n q 的最大值。