1.2 复数的几种表示

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§ 1.2 复数的几种表示
第 二、复数的三角表示和指数表示 一 2. 复数的指数表示 补 章 (欧拉公式 )
复 数 z r (cos i sin ) r e i . 与 复 是 z 的任意一个辐角， 变 定义 设复数 z 0 , r 是 z 的模， 函 i z r e 称 为复数 z 的 指数表示式。 数 注 在复数的三角表示式与指数表示式中，辐角不是唯一的，
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§ 1.2 复数的几种表示
π 2π i i 第 1 3 2 3 3 一 例 2 2 i (e ) e . 章
2
复 数 与 复 变 函 数
1 3 i (e 2 2
1 3 (e i 2 2
3
3
π i 3 3
)
e π i -1 .
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§ 1.2 复数的几种表示
第 三、复数的乘幂与方根 一 章 1. 复数的乘幂 棣莫弗 (De Moivre)公式 复 数 由 z n ( r e i )n r n e i n 以及复数的三角表示式可得 与 z n [r (cos i sin )]n r n (cos n i sin n ) . 复 变 在上式中令 r = 1，则得到棣莫弗(De Moivre)公式： 函 数 (cos i sin )n cos n i sin n . 进一步易得到正弦与余弦函数的 n 倍角公式。
π
-π -1
x
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§ 1.2 复数的几种表示
第 一、复数的几何表示 y 一 3. 相互转换关系 P7 章 z x yi y (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 |z| 复 arg z 2 2 数 |z| x y ; x O x 与 复 变 函 数
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§ 1.2 复数的几种表示
第 一、复数的几何表示 y 一 3. 相互转换关系 章 z x yi y (1) 已知实部与虚部，求模与辐角。 |z| 复 arg z (2) 已知模与辐角，求实部与虚部。 O 数 x x 与 x | z | cos(arg z ) | z | cos( Arg z ) ; 复 变 y | z | sin(arg z ) | z | sin( Arg z ) . 函 数 由此引出复数的三角表示式。
y
2
π
x
π 5π - π . 6 6 5π 5π i sin ). 复数 z 的三角表示式为 z 4 (cos 6 6
复数 z 的指数表示式为 z 4 e
5π i 6 .
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第 二、复数的三角表示和指数表示 一 3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算 章 复 数 iθ iθ 与 乘法 z1 z2 r1 e 1 r2 e 2 复 变 r1 r2 e i ( θ1 θ2 ) . 函 数 即 | z1 z2 | | z1 | | z 2 | ,
i 2 i1 z r e , z r e , 设 1 1 2 2
P12 、 补
y
z1 z 2 z2
2 1
z1
x
Arg ( z1 z 2 ) Arg z1 Arg z 2 . (在集合意义下?)
(集合意义 )
两个复数乘积的 模等于它们的模的乘积； 幅角等于它们幅角的和。
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-
π i 4
e2π i 1 , e2k π i 1 , eπ i - 1 ,
-1
- 1- i
1
-i
1- i
e
π i 2
i,
e
-
π i 2
- i , .
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§ 1.2 复数的几种表示
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
解 由 1 3i 2e
π i 3 ,
- 3 - i 2e
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§ 1.2 复数的几种表示
第 一、复数的几何表示 一 1. 复平面 虚轴 章 z x yi 在复平面上，从原点到点 z x i y y 复 所引的向量与该复数 z 也构成一一 数 x 与 O 实轴 对应关系 (复数零对应零向量)。 复 变 引进复平面后，复数 z 与点 z 以及向量 z 视为同一个概念。 函 数 比如，复数的加减法等同于向量的平行四边形法则。
3π Arg z 2k π , k 0 , 1 , 2 , . 4
注 复数 0 的模为 0，辐角无意义。
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§ 1.2 复数的几种表示
第 一、复数的几何表示 一 2. 复数的模与辐角 章 主辐角 对于给定的复数 z 0 , 设有 满足： 复 Arg z 且 - π π , 数 与 arg z . 则称 为复数 z 的 主辐角 ，记作 复 变 由此就有如下关系： 函 数 Arg z arg z 2k π , k 0 , 1 , 2 , .
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第 一、复数的几何表示 一 2. 复数的模与辐角 P5 章 将复数和向量对应之后，除了利用 复 实部与虚部来给定一个复数以外， 数 与 还可以借助向量的长度与方向来给 复 变 定一个复数。 函 数 定义 设 z 的是一个不为 0 的复数，
y
y
z x yi
r
O

x
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§ 1.2 复数的几种表示
第 三、复数的乘幂与方根 一 章 2. 复数的方根 复 数 与 复 变 函 数
wk n z n r e
i(

n

2 k ) n ,
( k 0, 1, , n - 1) .
描述 在复平面上， 这 n 个根均匀地
分布在一个以原点为中心、以
n
n
其中一个 r 为半径的圆周上。
i 2 i1 z r e , z r e , 设 1 1 2 2
y
z1 z 2
z2
2 1
z1
z1 z2
x
( 在集合意义下)
两个复数的商的 模等于它们的模的商；
幅角等于它们幅角的差。 14
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第 例 计算 i . 1- i 一 章 π
i
解 由 i e 2 , 1- i 2e 有 复 数 π i π π 3π 2 与 i e 1 ( 2 4 )i 1 4 i 1 1 e e i. 复 π 2 1- i 2 2 2 - i 4 变 2e 函 数 i 1 i - 1 i 附 一些“简单”复数的指数形式
利用欧拉公式 e i cos i sin 得
但习惯上一般取为主辐角。
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§ 1.2 复数的几种表示
第 一 章 解 | z | 12 4 4 , 复 数 与 复 变 函 数
2 arg z arctan ( ) π - 12 1 - arctan π 3
- 12
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§ 1.2 复数的几种表示
第 一 章
2i 2(1 - i ) z -3 - i . 复 解 1- i i 数 与 | z | ( -3)2 ( -1)2 10 , 复 变 -1 函 arg z arctan ( ) -π -3 数 1 arctan - π . 3
y
-3
x
(1) 向量 z 的长度 r 称为复数 z 的 模 ，记为| z | .
称为复数 z 的辐角，记为Arg z . (2) 向量 z 的“ 方向角 ” (?)
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§ 1.2 复数的几种表示
第 一、复数的几何表示 一 2. 复数的模与辐角 章 两点说明 复 (1) 辐角是多值的，相互之间可相差 2 k π , 其中 k 为整数。 数 与 y (2) 辐角的符号约定为： z 复 变 逆时针取正号，顺时针取负号。 函 数 x 例如 对于复数 z -1 i , 则有 | z | 2 , -
§ 1.2 复数的几种表示
第 一 章 复 数 与 复 变 函 数
§1.2 复数的几种表示
一、复数的几何表示 二、复数的三角表示和指数表示
三、复数的乘幂与方根
四、几个关系
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§ 1.2 复数的几种表示
第 一、复数的几何表示 一 1. 复平面 P4 章 定义 在平面上建立一个直角坐标系， 用坐标为 ( x , y ) 的点来 复 表示复数 z x i y , 从而将全体复数和平面上的全部点 数 与 一一对应起来，这样表示复数 z 的平面称为复平面或者 复 变 z 平面 。此时， x 轴称为 实轴 ，y 轴称为 虚轴。 函 数
π i 3 -
-源自文库
5π i 6
有
4e
( π 5π )i 3 6
(1 3 i ) ( - 3 - i ) 2e
4e
π i 3
2e
-
5π i 6
π i 2
-4 i .
1 3i 2e e 5π - 3-i i 6 2e
(
π 5π )i 3 6
e
7π i 6
7π 7π 3 1 cos i sin - i. 6 6 2 2
§ 1.2 复数的几种表示
第 二、复数的三角表示和指数表示 一 3. 利用指数表示进行复数的乘除法运算 章 复 数 z1 r1 e iθ1 r1 i ( θ1 -θ2 ) 与 除法 e . i θ2 z2 r2 r2 e 复 变 z1 | z1 | 函 , 即 z2 | z2 | 数
z1 Arg ( ) Arg z1 - Arg z2 . z2
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§ 1.2 复数的几种表示
第 二、复数的三角表示和指数表示 一 1. 复数的三角表示 P7 章 y 如图，由 x r cos , y r sin , z x yi y 复 r 有 z r cos i r sin 数 与 r (cos i sin ) . x O x 复 变 函 定义 设复数 z 0 , r 是 z 的模， 是 z 的任意一个辐角， 数 称 z r (cos i sin ) 为复数 z 的 三角表示式。
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§ 1.2 复数的几种表示
第 三、复数的乘幂与方根 一 章 2. 复数的方根
利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。 复 n i n i 数 i i n e r e , z r e , w e , 推导 设 由 w z有 与 复 n 即 (cos n i sin n ) r (cos i sin ) , 变 函 得 n r , n r ; —— 正实数的算术根。 数 2 , ( k 0, 1,, n - 1) . n 2k , k k n n
-
π i 3 3
)
e - π i -1 .
此外，显然有 ( -1)3 -1 . 由此引出方根的概念。
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§ 1.2 复数的几种表示
第 三、复数的乘幂与方根 一 章 2. 复数的方根 P15
复数求方根是复数乘幂的逆运算。 复 数 定义 设 z 是给定的复数，n 是正整数，求所有满足w n z 的 与 复 复数 w ， 称为把复数 z 开 n 次方 ，或者称为求复数 z 的 变 1/n 函 n 次方根 ，记作 w n z 或 w z . 数 复数 z 的 n 次方根一般是多值的。
根的辐角是 ( / n) .
方法
直接利用公式求根； 先找到一个特定的根，再确定出其余的根。
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§ 1.2 复数的几种表示
3 第 例 求 -8. π 2 k 一 i( ) 3 3 3 章 解 - 8 2e , ( k 0 , 1, 2) .
π 3
-2
复 具体为： - 2 , 2 e 2e 数 与 复 变 例 求解方程 z 3 - 1 0 . 函 0 2 k i ( ) 数 3 3 3 解 z 1 1 e , ( k 0 , 1, 2) .
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§ 1.2 复数的几种表示
第 三、复数的乘幂与方根 一 P15 章 1. 复数的乘幂 复 数 与 复 变 函 数
定义 设 z 是给定的复数， n 为正整数，n 个 z 相乘的积称为
n n z z z z. 记为 z , 即 复数 z 的乘幂 ， n个
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。 法则 设 z r ei , 则 z n ( r e i )n r n e i n .