【2019年整理】数学史上的三次危机

数学史上的三次危机

张清利

第一次数学危机

在古代的数学家看来与有理数对应的点充满了数轴，现在尚未深入了解数轴性质的人也会这样认为。因此，当发现在数轴上存在不与任何有理数对应的一些点时，在人们的心理上引起了极大震惊，这个发现是早期希腊人的重大成就之一。它是在公元前5世纪或6世纪的某一时期由毕达哥拉斯学派的成员首先获得的。这是数学史上的一个里程碑。毕达哥拉斯学派发现单位正方形的边与对角线不可公度，即对角线的长不能表为q p /的形式，也就是说不存在作为公共度量单位的线段。后来，又发现数轴上还存在许多点也不对应于任何有理数。因此，必须发明一些新的数，使之与这样的点对应，因为这些数不能是有理数，所以把它们称为无理数。 例如， ,22,8,6,2等都是无理数。无理数的发现推翻了早期希腊人坚持的另一信念：给定任何两个线段，必定能找到第三线段，也许很短，使得给定的线段都是这个线段的整数倍。事实上，即使现代人也会这样认为，如果他还不知道情况并非如此的话。

第一次数学危机表明，当时希腊的数学已经发展到这样的阶段：

1． 数学已由经验科学变为演绎科学；

2． 把证明引入了数学；

3． 演绎的思考首先出现在几何中，而不是在代数中，使几何具有

更加重要的地位。这种状态一直保持到笛卡儿解析几何的诞生。

中国、埃及、巴比伦、印度等国的数学没有经历这样的危机，因而一直停留在实验科学。即算术阶段。希腊则走上了完全不同的道路，形成了欧几里得的《几何原本》与亚里士多得的逻辑体系， 而成为现代科学的始祖。

在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。

总之，第一次数学危机是人类文明史上的重大事件。

无理数与不可公度量的发现在毕达哥拉斯学派内部引起了极大的震动。首先，这是对毕达哥拉斯哲学思想的核心，即“万物皆依赖于整数”的致命一击；既然像2这样的无理数不能写成两个整数之比，那么，它究竟怎样依赖于整数呢？其次，这与通常的直觉相矛盾，因为人们在直觉上总认为任何两个线段都是可以公度的。而毕达哥拉斯学派的比例和相似形的全部理论都是建立在这一假设之上的。突然之间基础坍塌了，已经建立的几何学的大部分内容必须抛弃，因为它们的证明失效了。数学基础的严重危机爆发了。这个“逻辑上的丑陋”是如此可怕，以致毕达哥拉斯学派对此严守秘密。据说，米太旁登的帕苏斯把这个秘密泄漏了出去，结果他被抛进了大海。还有一种说法是，将他逐出学派，并为他立了一个墓，说他

已经死了。

这个“逻辑上的丑陋”是数学基础的第一次危机，既不容易，也不能很快地消除。大约在公元前370年才华横溢的希腊数学家欧多科索斯以及柏拉图和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出两个比相等的定义，从而巧妙地消除了这一逻辑上的丑陋.他们给出的定义与所涉及的量是否可公度无关。其实这也是自然的，因为两个线段的比本来与第三个线段无关。当然从理论上彻底克服这一危机还有待于现代实数理论的建立。在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限，这样又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整数”的思想。

第二次数学危机

公元前5世纪出现了数学基础第一次灾难性危机，这就是无理数的诞生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。

在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面书记法的不稳固，出现了越来越多的谬论与悖论。数学的发展又遇到了深刻令人不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。

虽然在牛顿和莱布尼茨创立微积分之后的大约一百年中，很少注意到从逻辑上加强这门学科的基础，但绝不是对薄弱的基础没有人批评。一些数学家进行过长期的争论，并且，两位创立者本人对此学科的有关概念也不满意。对有缺陷的基础强有力批评来自一位非数学家，这就是著名的唯心主义哲学家贝克莱主教。他坚持：微积分的发展包含了偷换假设的逻辑错误。我们以考察牛顿对现在称作为微分所采用的方法，来弄明白这个特殊的批评。

早期的微积分常称为“无穷小分析”，其原因在于微积分建立在无穷小概念之上。牛顿、莱布尼茨概莫能外。当时所谓的无穷小并不是“以零为极限的变量”。后者的概念是清晰的，而前者是一种含糊不清的东西，从牛顿的流数法中便可窥见一斑。

牛顿称变量为“流量”，流量的微小改变量称为“瞬”，即无穷小，变量的变化率称为“流数”。以求函数3x y =的导数为例来说明牛顿的流数法。

设流量x 有一改变量“瞬”，牛顿记作“ο”，相应地，y 便从3x 变为3)(ο+x ，则y 的改变量为

3223333)(οοοο++=-+x x x x

求比值

223

333)(οοοο++=-+x x x x

在舍去含ο乘积的项，于是得到3x y =的流数23x 。

这一做法似乎与求导数的方法与步骤一样，其实有着天壤之别。求导数步骤中的前两步是算术运算，第三步是求极限，都是合乎逻辑的、毋庸置疑的；但牛顿的流数法却充满了逻辑混乱。首先，作为瞬的“ο”，与费尔马的“E ”、莱布尼茨的“dx ”一样，都是所谓的

无穷小量，但是什么是无穷小量，他们谁也说不清。牛顿认为他引入的无穷小量“ο”是一个非零增量，但又说“被他所乘的那些量可以算作没有”。牛顿本人也力图摆脱无穷小量的困惑，提出“最初比”、“最终比”等仍然说不清的新词语。莱布尼茨也发生怀疑，提出“无穷小是不是真正存在？它们有没有严格的根据？”最后说：“我想这可能仍是疑问”。其次，牛顿求流数的方法也不合乎逻辑，先认为“ο”不是零，求出y的改变量，而后又认为“ο”是零，这违背了逻辑学中的同一律。

初期的微积分由于逻辑混乱，引起了不少数学家的非议和责难。英国大主教贝克莱的抨击最为激烈，由此围绕微积分基础大论战便开始了。数学家、哲学家和神学家都纷纷卷入其中，被称为第二次数学危机。

历史要求给微积分以严格的基础。

第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地的意见的是达朗贝尔。他在1754年指出，必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但是他本人未能提供这样的理论。最早使微积分严谨化的拉格朗日。为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。但是，这样一来，考虑的函数范围太窄了，而且不用极限概念也无法讨论无穷级数的收敛问题。所以，拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也未能解决微积分的奠基问题。

到了十九世纪，出现了一批杰出的数学家，他们积极地为微积分学的奠基工作而努力。首先要提到的是捷克的哲学家和数学家波尔查诺。他开始将严格的论证引入导数学分析中。1816年他在二项展开公式的证明中，明确地提出了级数收敛的概念。同时对极限、连续、变量有了较深入的理解。特别是他曾写出《无穷的悖论》一书，书中包含许多真知灼见。可惜，在他去世两年后该书才得以出版。

分析学的奠基人，公认为法国多产数学家柯西。柯西在数学分析和置换群理论方面做了开拓性的工作，是最伟大的近代数学家之一。他在1821年——1823年间出版的《分析教程》和《无穷小计算讲义》是数学史上划时代的著作。在那里他给出了数学分析一系列基础概念的精确定义，例如，他给出了精确的极限定义，然后用极限定义连续性、导数、微分、定积分、无穷级数的收敛性。这些定义基本上就是我们今天微积分课本中使用的定义，不过现在写得的更加严格一点。

第三次数学危机

到了十九世纪末，康托尔的集合论已经得到了数学家们的承认。集合论成功地应用到了其它的数学分支。集合论是数学的基础，由于集合论的使用，数学似乎已经达到了“绝对的严格”。但是，正当大家兴高采烈地庆祝数学的绝对严格时，数学王国的大地爆发了另一次强烈的地震。

数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的。这次危机是由于在康托尔的一般集合论的边缘发现的悖论造成的。因为那么多数学分支都建立在集合论的基础上，所以集合