高中数学三角函数中辅助角公式的应用
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辅助角公式在高考三角题中得应用
对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =
++++a b x a a b
x b a b 222
2
22
(sin cos )·
·
。
上式中的
a a b
2
2
+与
b a b
2
2
+的平方和为1，故可记a a b
2
2
+=cos θ，
b a b
2
2
+=sin θ，
则
。
)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2
2
22θ++=θ+θ+=
由此我们得到结论：asinx+bcosx=
a b x 22++sin()θ，（*）其中θ由
a a b
b a b
2
2
2
2
+=+=cos ,
sin θθ来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多
个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。 一. 求周期
例1 求函数y x x x =+
-+244
32cos()cos()sin π
π
的最小正周期。 解：
)
6
x 2sin(2x 2cos x 2sin 3x
2sin 3)2
x 2sin(x
2sin 3)4x sin()4x cos(2y π
+=+=+π
+=+π
+π+= 所以函数y 的最小正周期T=π。
评注：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。 二. 求最值
例2. 已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x 。若x ∈[,
]02
π
，求f(x)的最大值和最小值。
解：f(x)=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=--224
sin()x π
。
由02
4
24
34
≤≤
≤≤
x x π
π
π
π⇒-
-
。 当24
4
x -
=-
π
π
，即x=0时，sin()24
x -
π
最小值-
22
； 当24
23
8
x x -
=
=π
π
π，即时sin()24x -π取最大值1。
从而f(x)在[,
]02
π
上的最大值是1，最小值是-2。
三. 求单调区间
例 3. 已知向量→，→a
x x b
x =+=+(cos
,tan())(sin()2224224ππ，tan())x 24-π
，令b
a )x (f →→•=，求函数f(x)在[0，π]上的单调区间。
解：f x a
b
()=→·→
。
)4
x sin(2x cos x sin 12x cos 22x cos 2x sin 22
x tan
11
2x tan 2x tan 12x tan 1)2
x cos 222x sin 22(2x cos 22)4
2x tan()42x tan()42x sin(2x cos 222π
+=+=-+=+--++
+=π-π++π+=·
先由04
4
54
≤≤≤≤
x x ππ
π
π⇒
+。 反之再由
π
π
π
π
π
π
ππ
π4
4
2
04
2
4
544
≤≤
≤≤
；
≤≤
≤≤x x x x +
⇒+
⇒。 所以f(x)在[]04
，
π
上单调递增，在[]π
π4，上单调递减。
评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结
为三角式的变形问题。而化为y=Asin(ωx+ϕ)+k 的形式，是求单调区间的通法。 四. 求值域
例4. 求函数f x k x k x x ()cos(
)cos()sin()=+++--++61326132233
2πππ
(,)x R k Z ∈∈的值域。
解：
。
)2
x 2sin(4]
6
sin )x 23cos(6cos )x 23[sin(4)
x 23sin(32)x 23cos(2)x 23
sin(32)x 23k 2cos()x 23k 2cos()x (f π
+=π
+π+π+π=+π
++π=+π
+-π-π++π+
π= 所以函数f(x)的值域是[-4，4]。 五. 图象对称问题
例6. 如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=-
π
8
对称，那么a=( ) （A ）2 （B ）-2 （C ）1 （D ）-1
解：可化为y a x =++122sin()θ。 知x =-
π
8
时，y 取得最值±12+a ，即
sin ()cos ()()()2828122111
2
1121012
2
22
2-+-=+⇒-+=+⇒-+=+⇒++=⇒=-ππ
a a a a a a a a a D ±±选（）。
六. 图象变换 例7 已知函数。
R x ,1x cos x sin 2
3
cos 21y 2∈++=
该函数的图象可由y x x R =∈sin ()的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？