讲座七、金属晶体练习题(2017年9月27日,2中,王振山)

d (x 2 x 1 ) a (y 2 y 1 ) b (z 2 z 1 ) c
2 2 2 2 2 2
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已知白锡a=583.1pm，c=318.2pm，最邻近原子 之间的距离是： d (a/2) 2 (c/4) 2 计算(1/2，1/2，1/2，)与(0，1/2，1/4)之间的距离
r /r
2
2、金属钠为体心立方结构，a=429pm，计 算(1)、钠的原子半径；(2)、金属钠的理论 密度。 解：⑴、
3
金属钠为体心立方结构，在立方体8个顶点
上的球互不相切，但均与体心位置上的球
相切，在立方体的体对角线上，球是相互
接触的。由此推得原子半径r和晶胞参数a
的关系为：
3a 4r ，
14
解：⑴、 晶胞中有8个Sn原子，它们的原 子分数坐标分别是，顶角原子：（0，0， 0）；3个面心原子：(1/2，1/2，0)； (1/2， 0，1/2)； (0，1/2，1/2) ；
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4个分别处于晶胞4条体对角线上的原子： (3/4，1/4，1/4)；(1/4，3/4，1/4)； (1/4， 1/4，3/4)和(3/4，3/4，3/4 )。后4个或写作
单质锡三种同素异形体的结构参数如下：
⑴、白锡又称β-Sn，四方晶系，体心四方结构， Pearson符号是 tI4，空间群为I41/amd，晶胞参数：a=583.1pm ，c=318.2pm，晶胞中含4个Sn原子，密度 7.28g· cm-3，硬度2；
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⑵、灰锡又称α-Sn，立方晶系，结构符号是A4( 金刚石型结构，面心立方晶格)，Pearson符号是 cF8，空间群为Fd3m，晶胞参数a=648.9pm。晶 胞中含8个Sn原子，灰锡的密度为5.75g· cm-3。 ⑶、脆锡又称γ-Sn，正交晶系，密度6.54g· cm-3
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(1)、立方面心的最密堆 积，堆积球数∶八面体 空隙数＝N(B)∶N(A) =44＝11，化学式AB； (2)、立方晶系； (3)、立方面心晶格（立 方F）； (4)、结构基元AB；
3.68 10 cm 368pm
8
由于该合金属立方面心点阵结
构，因而统计原子在
，晶胞面 对角线长 ，4r
2a
由此可推得原子半径为：
由此可推得原子半径为：
2a 2 368pm r 4 4 0.354 368pm 130pm
9
4、金属镍为A1型结构，原子间最近接触 间距为 2.492 10 m ，计算它的晶胞 参数和理论密度。
2 2
85001 .4 6328.2 91329 .6 302.2( pm)
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பைடு நூலகம்
计算(1/2，1/2，1/2，)与(1/2，0，3/4)之间的距离
d (x2 x1 ) 2 a 2 (y 2 y 1 ) 2 b 2 (z2 z 1 ) 2 c 2，（注a b） (1 / 2 1 / 2) 2 a 2 (1 / 2 0) 2 b 2 (1 / 2 3 / 4) 2 c 2 583.1 2 318.2 2 (a / 2) (c / 4) ( ) ( ) 2 4
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可见每个Sn原子有 Sn-Sn= 302.2pm， ，即 Sn-Sn之间的距离是c=318.2pm，故CN=4+2=6。 (1/2，1/2，1/2，)与(0，0，0)之间的距离则较远 ，为1/2d：设体对角线长d，
d ( 2a ) 2 (c) 2 2(583.1) 2 (318.2) 2 680011 .2 101251 .2 781262 .4 883.89 pm
1 1 1 3 1 3 1 3 3 3 3 1 ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
16
⑵、设原子半径为r，键长则为2r，键 长为立方体对角线的1/4 。
A4型结构中
r a
3 3 r a 648.9 140.5(pm) 8 8
皮尔逊 是(第一个小写字母，表示所属晶系；第二 个大写字母，表示点阵类型；后面的数字，表示晶胞原子数) 。例如，密排六方结构结构符号是A3，Pearson符号是hP2； 金刚石型结构符号是A4，Pearson符号为cF8；白锡结构符号 是A5，Pearson符号为tI4。 ：这类符号由大写字母加上一个数字组成，字母表 示结构类型，数字为顺序号，不同的顺序号表示不同的结构 。A4和A5，表示原子的等径球堆积形式。
2 2 2
170002 .8 25312 .8 195315 .6 441.9( pm)
⑶、其他：白锡β-Sn的结构是经过畸变的金刚 石结构，成为四方晶系。 白锡是ΔfGm= 0，ΔfHm= 0的指定的稳定单质。
有关锡 的其他材料，请看讲义。
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7、 一晶体，原子B按A1方式堆积，其 全部正八面体空隙被A占据，请给出该 晶体的： (1) 化学式； (2) 所属晶系； (3) 所属点阵类型； (4) 结构基元； (5) 晶胞中原子A和原子B的个数分别是多少 (6) 晶胞中各原子的分数坐标。
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白锡的结构分析：
⑴、 ，空间群为D4h19-I41/amd，晶胞中点 的坐标为(0，0，0)，(1/2，1/2，1/2，)，(0，1/2，1/4)， (1/2，0，3/4)。代表性晶体为β-Sn。一个原子与四个最 邻近的原子键合。一个晶胞含有四个原子。
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⑵、配位数：
配位数的计算：在直角坐标系中
2 2
85001 .4 6328.2 91329 .6 302.2( pm)
计算(0，0，0)与(0，1/2，1/4)之间距离为
583.1 2 318..2 2 d (a / 2) (c / 4) ( ) ( ) 2 4
2 2
85001 .4 6328 .2 302.2 pm
3 429 185.8pm 代入数据得： r 4
4
⑵、每个晶胞中含两个钠原子，因此，金 属钠的理论密度为： 利用晶胞参数可计算晶胞体积(V)，根据 相对分子质量(M)、晶胞中原子数(Z)和 Avogadro常数N，可计算晶体的密度： MZ 2M ρ 3 N AV a N A
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⑶、晶胞中含有8个原子，相对原子质 量为Ar： ZM 8 M(Sn)
ρ V晶胞 N A N Aa
3
ρa 3 N A M(Sn) 8
5.75g cm 3 (6.489 10 8 cm) 3 6.022 10 23 mol 1 8 118.3(g/mo l)
d/2=441.9pm
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或者这样计算
d (x2 x1 ) 2 a 2 (y 2 y 1 ) 2 b 2 (z2 z 1 ) 2 c 2，（注a b） 2 (1 / 2 0) 2 a 2 (1 / 2 0) 2 b 2 (1 / 2 0) 2 c 2 583.1 2 318.2 2 (a / 2) (a / 2) (c / 2) 2( ) ( ) 2 2
6
由题意知，63.5x∶65.4(1-x)＝0.75∶0.25， 解之得：x=0.755，1-x=0.245，所以，该黄 铜合金中，Cu和Zn所占原子百分数分别为 75.5%和24.5%
(b)、已知晶体属立方面心点阵结构，每个晶
胞中含4个原子。每个晶胞中含合金的质量 是： 1 1 (0.755 63.5g mol 0.245 65.4g mol ) 4 23 1 6.022 10 mol 22 4.25 10 g
3
11
3
1
3
12
13
6：灰锡为金刚石型结构，晶胞参数 a=648.9pm。 ⑴、写出晶胞中8个Sn原子的分数坐标； ⑵、计算Sn原子的的半径； ⑶、灰锡的密度ρ为5.75g· cm-3，求Sn的相对原 子质量； ⑷、白锡S属四方晶系a=583.1pm, c=318.2pm,晶 胞中含4个 Sn原子，请通过计算说明由白锡变为 灰锡体积是膨胀了，还是收缩了。 ⑤白锡中Sn--Sn间最短距离为302.2pm，试对比 灰锡数据，估计哪种Sn的配位数高。
7
(c)、晶胞的体积等于晶胞中所含合金的质 量除以合金的密度，即：
. g V . ( cm ) . g cm
W

(d)、由晶胞的体积可以求出晶胞参数：
a V (5.0 10
8
1 3
23
cm )
3
1 3
白锡
3
)
∴体积增大了。
灰锡
可见，由白锡变为灰锡体积膨胀。 白Sn t<13.20C 灰Sn
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⑸、
在⑵中已计算出灰锡中r=140.5pm， 其中Sn--Sn间最短距离为 2r=140.5pm×2=281pm。 谁的间距大(半径大), 谁的配位数高。
白Sn中原子的配位数高
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相关链接
锡有14种同位素，其中10种是稳定同位素，分别 是：锡112、114、115、116、117、118、119、 120、122、124。 ：α-Sn也称灰锡；β-Sn 也称白锡；γ-Sn也称脆锡。
∴Ar(Sn)=118.3
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⑷、白锡密度为：
ρ白Sn 4 M Sn ZM V晶胞 N A N A (a 2 c)
4 118.3g mol 1 23 1 10 2 6.022 10 mol (583.1 10 cm) 318.2cm 7.26(g.cm
——元素在温度或压力发生改变时 具有不同结构的特性。在金属元素中，有37种 元素具有同素异构性。α-Sn、β-Sn和γ-Sn属于 同素异构体。
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：同种元素形成多种不同单质的现象。 ：同一种元素形成的不同单质。 *三要素：同种元素、单质、结构不同。 ：金属在固态下随温度的改变，由一种 晶格转变为另一种晶格的现象。 由同素异构转变所得到的不同晶格类型的晶体称为 。）
讲座七
2中，2017年9月27日，王振山
1
八面体空隙中心到顶点的距离为：
1 1 OC AC 2 2 1 2AB 2 2 2R 2R
八面体空隙中心到顶点的距离为
OC - R 2R - R 0.414R
此即半径为R的等径圆球最密堆积形成的正八面体空隙
，所能容纳的小球的最大半径0.414，是典型的二元离 子晶体中正离子的配位多面体为正八面体时 的下限值。
2 22.9g m ol 10 3 23 1 (429 10 cm ) 6.022 10 m ol 0.967g cm
3
5
1
3、有一黄铜合金含Cu，Zn的质量分数依 次为75%，25%，晶体的密度为8.5g· cm-3 。晶体属立方面心点阵结构，晶胞中含4个 原子。Cu的相对原子质量为63.5，Zn的相 对原子质量为65.4。(a)、求算Cu和Zn所占 原子百分数是多少？(b)、每个晶胞中含合 金的质量是多少克？(c)、晶胞体积多大? (d)、统计原子的原子半径是多大？ 解：(a)、设合金中Cu的物质的量分数为x， 则Zn的物质的量分数为1-x，
10
2a 10 10 r 2.492 10 2 1.246 10 m 4r 4 10 a 1.246 10 2 2 10 3.524 10 m
解： 4r
10
每个晶胞中含4个原子，查得 Ar(Ni)=58.69
MZ 4M ρ 3 N AV a N A 4 58.69 10 k g m ol 10 3 23 1 (3.524 10 m ) 6.022 10 m ol 8.91 10 (k g m )
d (x2 x1 ) a (y 2 y 1 ) b (z 2 z 1 ) c
2 2 2 2 2
2
(1 / 2 0) 2 a 2 (1 / 2 1 / 2) 2 b 2 (1 / 2 1 / 4) 2 c 2 583.1 2 318.2 2 ( a / 2) ( c / 4) ( ) ( ) 2 4