等差数列求和的几种方法

数列求和的几种情形

11()(1)22

n n n a a n n S na d +-==+ ()-n m n d =-m a a 一、分组法

例1 求11357(1)(21)n n S n -=-+-+

+--.

变式练习1：已知数列{}n a 的前n 项和250n S n n =-，试求： （1）n a 的通项公式;

（2）记n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T

二、倒序相加

()1112()()n n n n n S a a a a a a =++++

++个

1()n n a a =+ 1()2

n n n a a S += 例2 求2222o o o o sin 1+sin 2+sin 3+.......sin 89

三、错位相减

11n n a a q -= 11(1)(01)n n n a a q a q S q q --==≠≠且1-q 1-q

例3 21123(0)n n S x x nx x -=+++

+≠

变式练习3（1）已知数列{}n a 的通项.2n n a n =，求其n 项和n S

（2）已知数列{}n a 的通项()121.3n n a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

，求其n 项和n S

四、裂项相消

例4 已知数列1{},n n a a =的通项公式为求前n 项和.n （n+1）

变式练习4:（1）

1111132435(2)

n n ++++⨯⨯⨯⋅+.

（2）求数列

, (1)

1,...,321,321,211+++++n n 的前n 项和n S

}{()

()()()}{1111,,21152.

n n n n a a a a n n n a -==+≥-在数列中，写出数列的前项；

求数列的通项公式

已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

求数列1，112+，11124++，……， 11124+++……+112

n -的和. 解：∵ 11111242n n a -=++++ 111()1221212

n

n --==-- ∴11

11(1)(1)224n S =++++++ 1111(1)242

n -+++++ 211(21)(2)(2)22

=-+-+- 11(2)2

n -++- 11112(1)242n n -=-++++ 11222n n -=-+

解：①若x=1，则S n =1+2+3+…+n =

(1)2n n + ②若x ≠1,则21123n n S x x nx -=+++

+ 2323n n xS x x x nx =++++

两式相减得： 2(1)1n x S x x -=+++…+n n nx x --1

11n

n x nx x

-=-- ∴ 21(1)1n n

n x nx S x x

-=---