高考数学文化题目：格点问题

高考数学文化内容预测二：格点问题

一、高考考试大纲数学大纲分析及意义：

普通高考考试大纲数学修订,加强了对数学文化的考查。针对这一修订提出以下建议：

建议教师对数学文化这一概念认真学习，结合教材内容学习，特别是教材中渗透数学文化的内容要充分重视，重点研究；结合近年新课标试题中出现的与数学文化有关的试题进行学习，重点关注题源、考法命题形式。

其主要意义为：

（1）增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.

（2）能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求.

二、往年新课标高考实例解析及2017年高考数学文化试题预测：

往年新课标高考实例分析：

分析一：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等为背景

近年来在全国高考数学试题中，从《九章算术》中选取与当今高中数学教学相映的题材背景．

（1）2015年高考全国卷Ⅰ，此题源于《九章算术》卷第五《商功》之[二五]，将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合．

（2）2015年高考全国卷Ⅱ，此题源于《九章算术》卷第一《方田》之[六]：“又有九十一分之四十九．问约之得几何？”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”，后人称之为“更相减损术”．

（3）2015年高考湖北卷，此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五]．今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何；之[一六]今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．考题将“阳马”，“鳖臑”相结合，以《选修2－1》P109例4为源进行有机整合．巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼之即出.

分析二：课后阅读或课后习题如阿波罗尼圆为背景

从2005-2013年多次涉及考题，全国卷2011年16题以此为命题背景的其他省市：江苏：2008年13题、2013年17题.2009-2013年湖北高考连续出现等等.

数学文化题型背景预测：

预测1：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等数为背景的数学文化类题目.

预测2：高等数学衔接知识类题目.如微积分、初等数学和高等数学的桥梁，由高中向大学的知识过渡衔接.

预测3：课本阅读和课后习题的数学文化类题目.如必修3中，辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术等。

预测4：中外一些经典的数学问题类题目.如：回文数、匹克定理、角谷猜想、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题值得注意。

三、直击高考经典

所谓格点就是平面直角坐标系中横坐标和纵坐标都为整数的点又称整点.格点问题是一个非常有趣的数学问题，同时也是背景深厚的数学问题. 高考经典试题分析：

【2013湖北，文17】在平面直角坐标系中，若点),(y x P 的坐标y x ,均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中ABC ∆是格点三角形，对应的4,0,1===L N S .

(1)图中格点四边形DEFG 对应的L N S ,,分别是__________；

(2)已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=，其中c b a ,,为常数．若某格点多边形对应的1871==L N ，，则=S __________(用数值作答)．

【答案】(1)3,1,6 (2)79

【解析】：由图形可得四边形DEFG 对应的L N S ,,分别是3,1,6.再取两相邻正方形可计算L N S ,,的值为2,0,6.加上已知S ＝1时N ＝0，L ＝4，代入

c bL aN S ++=，可计算求出1,2

1,1-===c b a ，故当1871==L N ，时，=S 71＋12

×18－1＝79. 【点评】世间万物，不规则图像居多，如土地、房屋、园林、湖泊、荒岛等都是不规则形状，如何计算不规则图形面积呢？最常用的一种就是方格法，即著名的匹克定理 法，该方法简单易行，有着广泛的应用。具体操作如下：画纵横两组平行线，相邻两线间的距离总是相等的，两组直线的交点就称为格点，如果一个多边形的顶点都 是格点，这种多变形就是格点多边形，设 S 为图形面积，L 是是边界上的格点数，N 是内部格点数，则1-=N S .

四、数学文化领悟

皮克定理 ： 若格点多边形内部含有N 个格点，边界上含有L 个格点，则这

个多边形的面积12

1-+=L N S 格点问题起源于以下两个问题的研究：

（1）狄利克雷除数问题，即求1>x 时=)(2x D 区域},1,1{x uv x v x u ≤≤≤≤≤上的格点数。1849年，狄利克雷证明了)()12(ln )(2x x v x x x D ∆+-+=，这里v 为

在平面直角坐标系中，如果y x ,都是整数，就称点),(y x P 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点.

②如果b k ,都是无理数，则直线b kx y +=不经过任何整点.

③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点.

④直线b kx y +=经过无穷多个整点的充分必要条件是:b k ,都是有理数. ⑤存在恰经过一个整点的直线. 【答案】①，③，⑤

【解析】 ①正确.比如直线2+=x y 不与坐标轴平行，当x 取整数时，y 始终为无理数;②错误.例如直线2-2x y =中b k ,都是无理数，但直线过整点)0,1(;③正确.必要性显然.证明充分性:设直线经过两个不同整点),(),(2211y x B y x A ，，则直线上到点A 的距离为||AB 的整数倍的点都是整点，而这样的点有无数个，故直线

经过无穷多个整点;④错误.例如直线2

1=y 中b k ,都是有理数，但直线上无整点;⑤正确.例直线2-2x y =只过一个整点)0,1(综上可知故答案为:①，③，⑤.