应用弹塑性力学习题解答

应用弹塑性力学习题

解答

Revised on November 25, 2020

应用弹塑性力学习题解答

目录

第二章习题答案

设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。

解该平面的法线方向的方向余弦为

而应力矢量的三个分量满足关系

而法向分量满足关系最后结果为

利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。

解求出后，可求出及，再利用关系

可求得。

最终的结果为

已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。

解求主方向的应力特征方程为

式中：是三个应力不变量，并有公式

代入已知量得

为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系

代入数据得，，

已知应力分量中，求三个主应力。

解在时容易求得三个应力不变量为，

，特征方程变为

求出三个根，如记，则三个主应力为

记

已知应力分量

，是材料的屈服极限，求及主应力。

解先求平均应力，再求应力偏张量，，

，，，。由此求得

然后求得，，解出

然后按大小次序排列得到

，，

已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。

解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系

（a）

（b）

（c）

由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得

，由此求得

对，，代入得

对，，代入得

对，，代入得

当时，证明成立。

解

由，移项之得

证得

第三章习题答案

取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。

解：由，可得，

由，得

物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，

，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。

解：首先求出点的位移梯度张量

将它分解成对称张量和反对称张量之和

转动矢量的分量为

，，

该点处微单元体的转动角度为

电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，

，，求该点的主应变和主方向。

解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其中，可得

则主应变有

解得主应变，，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为

于是有，同理，可解得与轴的夹角为。

物体内部一点的应变张量为

试求：在方向上的正应变。

根据式，则方向的正应变为

已知某轴对称问题的应变分量具有的形式，又设材料是不可压缩的，求应具有什么形式

解：对轴对称情况应有，这时应变和位移之间的关系为，，。应变协调方程简化为，由不可压缩条件，可得

可积分求得，是任意函数，再代回

，可得。

已知应变分量有如下形式，，，

，，，由应变协调方程，试导出应满足什么方程。

解：由方程，得出必须满足双调和方程。

由，得出

由，得出

由此得，其它三个协调方程自动满足，故对没有限制。

第四章习题答案

有一块宽为，高为的矩形薄板，其左边及下边受链杆支承，在右边及上边分别受均布压力和作用，见题图，如不计体力，试求薄板的位移。

题图4-1

解：1.设置位移函数为

（1）

因为边界上没有不等于零的已知位移，所以式

中的、都取为零，显然，不论式（1）中各系数取何值，它都满足左边及下边的位移边界条件，但不一定能满足应力边界条件，故只能采用瑞兹法求解。

2.计算形变势能。为简便起见，只取、两个系数。

（2）

（3）

3.确定系数和，求出位移解答。因为不计体力，且注意到

，式4-14简化为

（4）

（5）

对式（4）右端积分时，在薄板的上下边和左边，不是，就是，故积分值为零。在右边界上有

（6）

同理，式（5）右端的积分只需在薄板的上边界进行，

（7）

将式（3）、式（6）、式（7）分别代入式（4）、式（5）可解出和：

，（8）

（9）

4．分析：把式(8)代入几何和物理方程可求出应力分量，不难验证这些应力分量可以满足平衡微分方程和应力边界条件，即式(8)所示位移为精确解答。在一般情况下(这是一个特殊情况)，在位移表达式中只取少数几个待定系数，是不可能得到精确解答的。

设四边固定的矩形薄板，受有平行于板面的体力作用()，坐标轴如题图所示。求其应力分量。

题图4-2

解： 1．本题为平面应力问题，可用瑞兹法求解。由题意知位移分量在边

界上等于零，所以，所以式中的、都取为零，且将位移函数设置为如下形式：

（1）

把或代入上式，因为，或，所以，位移边界条件是满足的。

2．把式（1）代入式（9-16），得薄板的变形势能为

（2）

3. 确定系数和。由于位移分量在边界上为零，所以，方程式4-14简化为

（3）

式（2）代入式（3），得

（4）

由于，从式（4）的第一式得，由第二式得

当和取偶数时，和都为零，当和取奇数时，和都为2。因此，当取偶数时，。当取奇数时，

将和代入式（1）得位移分量为

4．利用几何方程和物理方程，可求出应力分量（和取奇数）；