人教版八年级数学上册 分式解答题专题练习(解析版)

一、八年级数学分式解答题压轴题（难） 1．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，∵2()20a b a ab b -=-+≥，∴2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题：

(1)当0x >时，1x x +的最小值为_______；当0x <时，1x x

+的最大值为__________． (2)当0x >时，求2316x x y x

++=的最小值． (3)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．

【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25

【解析】

【分析】

（1）当x ＞0时，按照公式ab a=b 时取等号）来计算即可；x ＜0时，由于-x ＞0，-1x

＞0，则也可以按照公式ab a=b 时取等号）来计算； （2）将2316x x y x

++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；

（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．

【详解】

解：（1）当x ＞0时，112x x x x +

≥⋅= 当x ＜0时，11x x x x ⎛⎫+=--- ⎪⎝

⎭ ∵()1122x x x x ⎛⎫--≥-⋅-= ⎪⎝⎭

∴12x x ⎛

⎫---≤- ⎪⎝⎭

∴当0x >时，1x x +的最小值为2；当0x <时，1x x

+的最大值为-2； （2）由2316163x x y x x x

++==++ ∵x ＞0，

∴163311y x x =+

+≥= 当16x x

= 时，最小值为11； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9

则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD

∴x ：9=4：S △AOD

∴：S △AOD =36x

∴四边形ABCD 面积=4+9+x+361325x ≥+= 当且仅当x=6时取等号，即四边形ABCD 面积的最小值为25．

【点睛】

本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大．

2．某市2018年平均每天的垃圾处理量为40万吨/天，2019年平均每天的垃圾排放量比2018年平均每天的垃圾排放量多100万吨；2019年平均每天的垃圾处理量是2018年平均每天的垃圾处理量的2. 5倍. 若2019年平均每天的垃圾处理率是2018年平均每天的垃圾处理率的1. 25倍. （注：=垃圾处理量垃圾处理率垃圾排放量

） （1）求该市2018年平均每天的垃圾排放量；

（2）预计该市2020年平均每天的垃圾排放量比2019年平均每天的垃圾排放量增加10%. 如果按照创卫要求“城市平均每天的垃圾处理率不低于90%”，那么该市2020年平均每天的垃圾处理量在2019年平均每天的垃圾处理量的基础上，至少还需要増加多少万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求？

【答案】（1）100；（2）98.

【解析】

【分析】

（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，根据题意列方程求出x 的值即可；

（2）设设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，根据题意列出不等式，解得m 的取值范围即可得到答案.

【详解】

（1）设2018年平均每天的垃圾排放量为x 万吨，

40 2.540 1.25100x x

⨯=⨯+， 解得：x=100，

经检验，x=100是原分式方程的解，

答：2018年平均每天的垃圾排放量为100万吨.

（2）由（1）得2019年垃圾的排放量为200万吨，

设2020年垃圾的排放量还需要増加m 万吨，

40 2.5200(110%)

m ⨯+⨯+≥90%， m ≥98，

∴至少还需要増加98万吨才能使该市2020年平均每天的垃圾处理率符合创卫的要求.

【点睛】

此题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，找到各量之间的关系是解题的关键.

3．甲、乙、丙三个登山爱好者经常相约去登山，今年1月甲参加了两次登山活动．

（1）1月1日甲与乙同时开始攀登一座900米高的山，甲的平均攀登速度是乙的1.2倍，结果甲比乙早15分钟到达顶峰．求甲的平均攀登速度是每分钟多少米？

（2）1月6日甲与丙去攀登另一座h 米高的山，甲保持第（1）问中的速度不变，比丙晚出发0.5小时，结果两人同时到达顶峰，问甲的平均攀登速度是丙的多少倍？（用含h 的代数式表示）

【答案】（1）甲的平均攀登速度是12米/分钟；（2）

360h h

+倍. 【解析】

【分析】

（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲的平均攀登速度；

（2）根据（1）中甲的速度可以表示出丙的速度，再用甲的速度比丙的平均攀登速度即可解答本题．

【详解】

（1）设乙的速度为x 米/分钟， 900900151.2x x

+＝， 解得，x=10，

经检验，x=10是原分式方程的解，

∴1.2x=12，

即甲的平均攀登速度是12米/分钟；

（2）设丙的平均攀登速度是y 米/分，