高中数学人教版必修四课件
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高中人教版数学必修4课件：第1章-1.3-第1课时-公式二、公式三和公式四-
α＋cos 2
α2－1＝m22－1.]
(2)[解] ∵cos(α－75°)＝－13＜0，且 α 为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
＝－
1－－132＝－2 3 2，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝2
2 3.
1．例 3(2)条件不变，求 cos(255°－α)的值．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
解得sinα－75°＝－52626， 或
cosα－75°＝
26 26
sinα－75°＝5 2626，
(舍)
cosα－75°＝－
26 26 .
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝5
(1)1 [cos－siαntπa－nα7π＋α＝cos αstainnαπ＋α＝cossαin·tαan α＝ssiinn αα＝ 1.]
(2)[解] 原式＝[－sinα＋－1c8o0s°α]·c·soisn1α80°＋α ＝sinα＋1s8in0°αccoossα180°＋α ＝－ssininααc－oscαos α＝1.
[探究问题] 1．利用诱导公式化简 sin(kπ＋α)(其中 k∈Z)时，化简结果与 k 是否有关？ 提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定． 当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α； 当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
明确三角函数式化简的原则和方向 1切化弦，统一名. 2用诱导公式，统一角. 3用因式分解将式子变形，化为最简.
人教版高中数学必修四课件：3.3三角函数的积化和差与和差化积43
2sin 54 22 cos 54 22
2
2
2sin 38 cos16
（4） sin5x sin3x
2cos 5x 3x sin 5x 3x
2
2
2cos 4xsin x
例3. 已知A+B+C=180°, 求证： sin Asin B sinC 4 cos A cos B cos C
（2） cos 40 cos52
（3） sin 54 sin 22
（4） sin5x sin3x
解：（1）
cos3 cos 2cos 3 cos 3
2
2
2cos 2 cos
（2）cos 40 cos52
2sin 40 52 sin 40 52
2
2
2sin 46 sin 6
（3）sin 54 sin 22
2
从上面四个式子又可以得到
sin( ) sin( ) 2sin cos sin( ) sin( ) 2cos sin cos( ) cos( ) 2cos cos cos( ) cos( ) 2sin sin
积化和差公式
sin cos 1 [sin( ) sin( )]
3．本题若只是简单处理，可能会做不下去．
到此或许许多人就束手无策了，当然，这样做如果 处理得法，还是会最后得到正确结果的，但是计算 太大了． 若注意到10°、50°分别与80°、40°互为余角， 利用诱导公式可得如下解法．
(四)小结 三角函数的恒等变换，由于三角公式较多、用起 来也较活，所以应当掌握变形的一般规律，而一 般规律的获得主要靠自己的实践以及理性上的升 华。通过一个阶段的学习与练习，应是有一定体 会的．一般说三角变换问题，第一要关注问题中 的角，特别是角的和、差、倍、半关系，当然这 些关系也不是一成不变的，如适当时候，我们也 可以把α看作是
人教版高中数学必修四第二章平面向量第三节第二课时平面向量的正交分解及坐标表示教学课件
a (x, y)
① 0 = （0，0）
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做
①式叫做向量的坐标表示。
a
在y轴上的坐标，
注意：平面向量 a 的坐标跟起点终点的具体位置没有关系。
例1：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0) , B(0,1) , C(3,4) , D(5,7).
y
7
D
设 OAi,OBj，填空：
•
7.诗歌批评庸俗化趋势亟须扭转。文 学批评 的职业 公信力 需要树 立，批 评家需 要贡献 学术良 知。果 真如此 ，对诗 歌和读 者，都 将是福 音。
•
8.中国音乐在发展过程中，不断承传 自我， 吸收各 地音乐 ，器乐 发达， 演奏形 式丰富 。金、 石、土 、革、 丝、木 、匏、 竹，皆 可作乐 器。乐 曲类型 已有祭 神乐、 宴乐、 军乐、 节庆乐 等区别 。玄宗 时已有 超百人 的大型 交响乐 团，其 演员按 艺术水 平分为 “坐部 伎”与 “立部 伎”。
• 对直角坐标平面内的每一个向量，如何表 示呢？
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
y
对于起点在原点的向量 OA
N
OM=xi ON=y j
j
OA=OM+ON
oi
=xi +y j
A (x,y)
M
x
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
j oi B
这里，我们把（x,y）叫做向量a 的坐标，记作
a (x, y)
D x
作业：
• 资料及报纸
• 谢谢观看！
•
高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
高中数学必修4全册(人教A版)精品PPT课件
已知三角函数值，求角
一、基本概念：
1.角的概念的推广 （1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角， 并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和 零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.
（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与 直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半 轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角 是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个 角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.
（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含
角在内）的集合为. k 360, k Z
（4）角在“到”范围内，指.0 360
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广
的终边
y 的终边
正角
o
x 零角
负角
(,)
一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与 原点重合，角的始边 与 x轴的非负半轴重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
注意：三角 函数线是有 向线段！
为第二象限角时
P
MO
为第一象限角时
P
OM
MP为角的正弦线,OM为角的余弦线
为第三象限角时
为第四象限角时
M
O
P
M
cos
tan
不存在
0
x
_0
-1
_o
y
+
1x
_
0
+o
高中数学必修四人教B版第一章第三节第一部分正弦函数图像课件
2 -1
-
-
3 2 x
2
-2
-3
五.挑战自我，勇于攀登
用“五点作图法”在同一坐标系下作出下列函数在区间[0，2π]的简图。
(1)y=2+sin x; (2)y=sin x-1； (3)y=3sin x.
y y=2+sin x x∈[0,2π] 3
2
1
． ． ． ． ． 3
π
2
2π
0
x
2
-1y=sin x -1 x∈[0,2π]
P
3
Y
.3 C(π,sinπ) 33
π
3
O1
MO
π
3
2π π
X
3
[引入]能否借助上面作点C的方法，在直角坐标系
中作出正弦函数y=sinx（xR)的图象呢？
借助单位圆中的三角函数线在平面直角坐标系
中作函数 y sin x, x 0,2 的图象
y
o1
Ao
2
3
2
2 x
１、从单位圆与x轴的交点A起，把单位圆平分成12等份，
.
. 图象有何联系？
.
x
2
(2)
x
0
π
2π
sinx 0
1
0
-1
0
2sinx 0
2
0
-2
0
y
2
1
3
2
-2
-
2
o
-1
2
2
x
-2
❖ 四.小试牛刀
1.用“五点法”作下列函数在[2 ,2 ]上的简图
(1) y sin x
(2) y sin x 2
-
-
3 2 x
2
-2
-3
五.挑战自我，勇于攀登
用“五点作图法”在同一坐标系下作出下列函数在区间[0，2π]的简图。
(1)y=2+sin x; (2)y=sin x-1； (3)y=3sin x.
y y=2+sin x x∈[0,2π] 3
2
1
． ． ． ． ． 3
π
2
2π
0
x
2
-1y=sin x -1 x∈[0,2π]
P
3
Y
.3 C(π,sinπ) 33
π
3
O1
MO
π
3
2π π
X
3
[引入]能否借助上面作点C的方法，在直角坐标系
中作出正弦函数y=sinx（xR)的图象呢？
借助单位圆中的三角函数线在平面直角坐标系
中作函数 y sin x, x 0,2 的图象
y
o1
Ao
2
3
2
2 x
１、从单位圆与x轴的交点A起，把单位圆平分成12等份，
.
. 图象有何联系？
.
x
2
(2)
x
0
π
2π
sinx 0
1
0
-1
0
2sinx 0
2
0
-2
0
y
2
1
3
2
-2
-
2
o
-1
2
2
x
-2
❖ 四.小试牛刀
1.用“五点法”作下列函数在[2 ,2 ]上的简图
(1) y sin x
(2) y sin x 2
高中教育数学必修第四册《目录》教学课件
第九章 解三角形 9．1 正弦定理与余弦定理
9.1.1 正弦定理 9.1.2 余弦定理 9．2 正弦定理与余弦定理的应用
第十章 复数 10．1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念 10.1.2 复数的几何意义 10．2 复数的运算 10.2.1 复数的加法与减法 10.2.2 复数的乘法与除法
第十一章 立体几何初步 11．1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法 11.1.2 构成空间几何体的基本元素 11.1.3 多面体与ห้องสมุดไป่ตู้柱 11.1.4 棱锥与棱台 11.1.5 旋转体 11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
11．2 平面的基本事实与推论 11．3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线 11.3.2 直线与平面平行 11.3.3 平面与平面平行 11．4 空间中的垂直关系 11.4.1 直线与平面垂直 11.4.2 平面与平面垂直
人教高中数学必修四1.5函数y=Asin(ωxφ)的图像课件
横向
y=f(x)
y=f(ax)
【智勇大冲关-----初级】
合作探究
【智勇大冲关-----中级】
1.已知函数y 3sin(x )的图象为C.
5
为了得到函数y 3sin(2x )的图象, 只要
5
把C上所有的点 B
( A)横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变 (B)横坐标缩短到原来的1 倍, 纵坐标不变
解：可逆向思考如下
y 1 sin x 2
向右平移 个单位
y
1 2
s
in(x
2
)
横坐标变为本来的一半 即得解析式为y 1 sin(2x )
2
2
3、已知函数y 1 cos(2x )的图像为C，为了得到
5
3
B 函数y 1 sin(2x 2 )的图像， 只需把C上所有点( )
5
3
(A)向左平移 个单位长度 分析：
沿x轴
平移
φ
ω
个单位
y sin(x )
y sin(x )
纵坐标 变为本来的A倍
纵坐标 变为本来的A倍
得y A sin(x )图象,再由周期性扩充到 R上
【智勇大冲关-----高级】
2、函数f(x)的横坐标伸长到本来的两倍，再向左平
移 个单位，所得到的曲线是
的图象，试
求函数y=f(x)的解析式.
3
(B)向右平移 个单位长度 12
(C)向左平移 个单位长度 12
(D)向右平移 个单位长度 6
课堂感悟
➢ 1、“五点法”作函数图象 ——注意取好关键点；
➢ 2、正弦曲线变换得到函数的图象 ——顺序可任意，平移要注意；
➢ 3、余弦曲线变换得到函数的图象 ——作法全相同.
人教版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示课件 (3)
互相垂直
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
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4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
高中数学新课标人教A版必修4：向量的数量积与向量投影 课件
教学目标
类比加法运算
确定研究路径
创设物理情境
抽象数量积概念
引入投影向量
挖掘几何意义
设置开放问题
探究几何性质
反思学习过程
提升理性思维
环节一 类比加法运算，明确研究路径.
问题1：你能以加法为例，总结一
下我们是如何研究向量运算的吗？
设计意图
前面的学习
经验为研究新的
运算提供了研究
方法，体现了单
元教学内容的整
教学过程
教学反思
目 录
教学重点
教学难点
内容解析
目标设置
重点难点
数量积的
概念及其
物理意义
投影向量
的表示及
数量积的
几何意义
教学策略
教学过程
教学反思
目 录
独立
思考
主动
探究
合作
交流
教学内容
目标设置
重点难点
教学策略
设置问题序列
教学过程
教学反思
目 录
内容解析
目标设置
重点难点
教学策略
教学过程
教学反思
教学流程
桥梁，引入投影
向量将不共线的
向量的数量积转
化为共线向量的
数量积，体会一
般和特殊的转化.
环节四 设置开放问题，探究几何性质
正六边形 的边长为1，在边上取点，形成向量 ,
，求出你所选取的向量 , 的数量积.并在此过程中，探究
数量积的几何性质.
A
B
F
C
E
D
这个图形为探究
性质提供很好的素材.
会计算两个向量的数量积 ,提升数学抽
象核心素养.
人教版高中数学必修四1.4.2正弦函数、余弦函数的性质---周期性公开课教学课件 (共24张PPT)
2
创设情境（一）
★今天是星期四，再过几天又是星期四？ 换句话说，只要过的天数具有什么特征， 就会再次出现星期四？
3
创设情境（二）
正弦曲线、余弦曲线
y
ysixn
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
y
ycoxs
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
4
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦线来解决。
正数就叫做f(x)的最小正周期。
如果不加特别说明，我们谈到函数周期时， 都是指最小正周期。
正弦函数y=sinx是周期函数，周期是 多少？
正弦函数y=sinx的周期是2
12
知识探究
类比的方法，得到余弦函数y=cosx的 周期性.
余弦函数y=cosx是周期函数，周期是2
思考：是不是所有的周期函数都有 最小正周期？
2
2
8
3
建构概念
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期
9
问题探究2
？？思考 ？？
y sinx,x[0,8]是不是周期函数 为什么？
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
y
B
1
A
O1
O
-1
2
4
5
2
x
3
3
3
创设情境（一）
★今天是星期四，再过几天又是星期四？ 换句话说，只要过的天数具有什么特征， 就会再次出现星期四？
3
创设情境（二）
正弦曲线、余弦曲线
y
ysixn
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
y
ycoxs
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6x
4
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？ 途径：利用单位圆中正弦线来解决。
正数就叫做f(x)的最小正周期。
如果不加特别说明，我们谈到函数周期时， 都是指最小正周期。
正弦函数y=sinx是周期函数，周期是 多少？
正弦函数y=sinx的周期是2
12
知识探究
类比的方法，得到余弦函数y=cosx的 周期性.
余弦函数y=cosx是周期函数，周期是2
思考：是不是所有的周期函数都有 最小正周期？
2
2
8
3
建构概念
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数 非零常数T叫做这个函数的周期
9
问题探究2
？？思考 ？？
y sinx,x[0,8]是不是周期函数 为什么？
1. 对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T， 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
y
B
1
A
O1
O
-1
2
4
5
2
x
3
3
3
高中数学人教版A版必修4《任意角的三角函数》优质PPT课件
第一章 三角函数
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
§1.2 任意角的三函数
明目标、知重点
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义， 了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、 正切函数在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同 角的同一三角函数值相等.
明目标、知重点
(2)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°＋tan 495°. 解 原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋ cos (－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135°
明目标、知重点
(2)cos α＝xr(r>0)，因此cos α的符号与x的符号相同，当α的终边 在第一、四象限时，cos α>0；当α的终边在第二、三象限时， cos α<0. (3)tan α＝yx，因此tan α的符号由x、y确定，当α终边在第一、三 象限时，xy>0，tan α>0；当α终边在第二、四象限时，xy<0， tan α<0.
明目标、知重点
当堂测·查疑缺
1234
1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( D )
4
3
A.5
B.5
C.－35
D.－45
解析 因为角 α 的终边经过点(－4,3)，所以 x＝－4，y＝3，r＝5，
所以 cos α＝xr＝－45.
人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
（× ）
√ （5）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（ ） （6）直角坐标平面图上的x轴,y轴都是向量（√ ）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
2.判断下面命题的对错
（1）若a = b，b = c，则a = c。（ √） （2）若|a|=0，则a = 0 （×） （3）若|a|=|b|，则a = b （×）
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
说明： 1、向量的几何表示：用有向线段表示。 人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记
作 |AB |。
向量不能比较大小，模可以比较大小。
2、向量的字母符号表示：（1）a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 例如，AB，CD。 注意字母的顺序
量
长度（模）符 概号 念表示 : AB , a
零向量
单位向量
关系相 平等 行向 （量 共线）向量 用向量表示点的位置：位置向量
CB、DO、FE
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
人教高中数学必修4PPT课件：平面向 量的实 际背景 及基本 概念
在平面图形中寻求共线向量、相等向量的方法： (1)在平面图形中找共线向量时，应逐个列举，做到不 重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后再 找平行直线上的共线向量，要注意一条线段有一正一 反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段 又可以表示不同的共线向量． 对于相等向量，一定是共线向量，因此在找相等向量 时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等、方向相 同的共线向量即可．
√ （5）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（ ） （6）直角坐标平面图上的x轴,y轴都是向量（√ ）
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2.判断下面命题的对错
（1）若a = b，b = c，则a = c。（ √） （2）若|a|=0，则a = 0 （×） （3）若|a|=|b|，则a = b （×）
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说明： 1、向量的几何表示：用有向线段表示。 人教高中数学必修4PPT课件：平面向量的实际背景及基本概念
向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记
作 |AB |。
向量不能比较大小，模可以比较大小。
2、向量的字母符号表示：（1）a , b , c , . . . （2）用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 例如，AB，CD。 注意字母的顺序
量
长度（模）符 概号 念表示 : AB , a
零向量
单位向量
关系相 平等 行向 （量 共线）向量 用向量表示点的位置：位置向量
CB、DO、FE
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在平面图形中寻求共线向量、相等向量的方法： (1)在平面图形中找共线向量时，应逐个列举，做到不 重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后再 找平行直线上的共线向量，要注意一条线段有一正一 反两个共线向量，而方向相同、长度不等的有向线段 又可以表示不同的共线向量． 对于相等向量，一定是共线向量，因此在找相等向量 时，可以从共线向量中筛选，找出长度相等、方向相 同的共线向量即可．
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思考6：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；终边在y轴上：S={α|α=90°＋k·180°， k∈Z}.
思考7：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？
第一象限：S={α | k·360°<α< 90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限：S={α | 90°＋k·360°<α< 180°＋k·360°，k∈Z}；
第三象限：S={α | 180°＋k·360°<α< 270°＋k·360°，k∈Z}；
第四象限：S={α | －90°＋k·360°< α<k·360°，k∈Z}.
思考8：如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分别是第几象限的角？
90°＋k·360°<α<180°＋k·360° 180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
理论迁移 例1 在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限
角.
129°48′，第二象限角.
例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤ 素写出来.
＜720°的元
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个 给定的角，都有唯一的一条终边与之对应， 并使得角具有代数和几何双重意义.
3.过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问
题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台 跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体 12600”这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺丝 的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转 所成的角，不全是0°～3600范围内的角.因此，仅有 0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概 念进行推广.
B
始边
α
终边
O
A
顶点
思考4：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作 怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一 个角吗？
规定：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.
思考5：度量一个角的大小，既要考虑旋转方 向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的
知识探究（一）：角的概念的推广
思考1：对于角的图形特点有如下两种认识：①角是由平 面内一点引出的两条射线所组成的图形（如图1）；②角 是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位 置所组成的图形（如图2）.你认为哪种认识更科学、合理？
图1
图2
思考2：如图，一条射线的端点是O，它从起始位置OA旋转 到终止位置OB，形成了一个角α，其中点O，射线OA、OB 分别叫什么名称？
高中新课程数学必修④
第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
2020/6/28
问题提出 1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可 以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范 围如何？
2.体操是力与美的结合，也充满了角的概 念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举 行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏 跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空 翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180 度、 转体900度就是一个角的概念.
思考4：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周 角的和.
思考5：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？ x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ； x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ； y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考8：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？ k·360°（k∈Z）
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点 重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
y
o
x
思考2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐 标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°， 405°，210°, -200°，－450°分别是第几象限的角？
B2
α
O
A
β
思考6：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能 将时间校准？
－120°，450°. 思考7：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°， 50°－ 80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
以50°角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80°所成的角.
y x
o
知识探究（三）：终边相同的角 思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？
思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述 法表示集合S吗？
范围就扩展到了任意大小. 对于α＝210°，
＝－150°，＝ －660°，你能用图形表示这些
角吗？你能总结一下作图的要点吗？
画图表示一个大小一定的角， 先画一条射线作为角的始边， 再由角的正负确定角的旋转 γ 方向，再由角的绝对值大小 确定角的旋转量，画出角的 终边，并用带箭头的螺旋线 B1 加以标注.
y
y
y
y
210°
x
x
x
x
o
－50°
o 405°
Hale Waihona Puke oo－200°
y －450°
x o
思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直 角与轴线角是什么逻辑关系？
思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
思考5：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；终边在y轴上：S={α|α=90°＋k·180°， k∈Z}.
思考7：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？
第一象限：S={α | k·360°<α< 90°＋k·360°，k∈Z}；
第二象限：S={α | 90°＋k·360°<α< 180°＋k·360°，k∈Z}；
第三象限：S={α | 180°＋k·360°<α< 270°＋k·360°，k∈Z}；
第四象限：S={α | －90°＋k·360°< α<k·360°，k∈Z}.
思考8：如果α是第二象限的角，那么2α、α/2分别是第几象限的角？
90°＋k·360°<α<180°＋k·360° 180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
理论迁移 例1 在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限
角.
129°48′，第二象限角.
例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤ 素写出来.
＜720°的元
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个 给定的角，都有唯一的一条终边与之对应， 并使得角具有代数和几何双重意义.
3.过去我们学习了0°～360°范围的角，但在实际问
题中还会遇到其他角．如在体操、花样滑冰、跳台 跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体 12600”这样的解说．再如钟表的指针、拧动螺丝 的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不同方向旋转 所成的角，不全是0°～3600范围内的角.因此，仅有 0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概 念进行推广.
B
始边
α
终边
O
A
顶点
思考4：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作 怎样的规定？如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一 个角吗？
规定：
按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角． 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.
思考5：度量一个角的大小，既要考虑旋转方 向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的
知识探究（一）：角的概念的推广
思考1：对于角的图形特点有如下两种认识：①角是由平 面内一点引出的两条射线所组成的图形（如图1）；②角 是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位 置所组成的图形（如图2）.你认为哪种认识更科学、合理？
图1
图2
思考2：如图，一条射线的端点是O，它从起始位置OA旋转 到终止位置OB，形成了一个角α，其中点O，射线OA、OB 分别叫什么名称？
高中新课程数学必修④
第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
2020/6/28
问题提出 1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可 以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范 围如何？
2.体操是力与美的结合，也充满了角的概 念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举 行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏 跳”——“踺子后手翻转体180度接直体前空 翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180 度、 转体900度就是一个角的概念.
思考4：一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内所构成的集合S可以怎样表示？
S={β|β=α＋k·360°，k∈Z}，即任一与α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周 角的和.
思考5：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？ x轴正半轴：α= k·360°，k∈Z ； x轴负半轴：α= 180°＋k·360°，k∈Z ； y轴正半轴：α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴负半轴：α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考8：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？ k·360°（k∈Z）
知识探究（二）：象限角
思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点 重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
y
o
x
思考2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐 标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这个角为轴线角.那么下列各角：-50°， 405°，210°, -200°，－450°分别是第几象限的角？
B2
α
O
A
β
思考6：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能 将时间校准？
－120°，450°. 思考7：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 50°＋80°=130°， 50°－ 80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
以50°角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80°所成的角.
y x
o
知识探究（三）：终边相同的角 思考1：－32°，328°，－392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
思考2：与－32°角终边相同的角有多少个？这些角与－32°角在数量上相差多少？
思考3：所有与－32°角终边相同的角，连同－32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述 法表示集合S吗？
范围就扩展到了任意大小. 对于α＝210°，
＝－150°，＝ －660°，你能用图形表示这些
角吗？你能总结一下作图的要点吗？
画图表示一个大小一定的角， 先画一条射线作为角的始边， 再由角的正负确定角的旋转 γ 方向，再由角的绝对值大小 确定角的旋转量，画出角的 终边，并用带箭头的螺旋线 B1 加以标注.
y
y
y
y
210°
x
x
x
x
o
－50°
o 405°
Hale Waihona Puke oo－200°
y －450°
x o
思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直 角与轴线角是什么逻辑关系？
思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
思考5：在直角坐标系中，135°角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135°吗？