(完整版)线性空间习题

e4 (0,0,0,1),
1 1 1 1
1 , 2 , 3 , 4
e1 , e2 , e3 , e4
2
1
1 1
2 1
1
0
e1 , e2 , e3 , e4 A
0
1
1
1
2 0 2 1
1,2 ,3 ,4
e1 , e2 , e3 , e4
1 0
1 2
1 1
解：设交的向量 k11 k22 l11 l22,
则有 k11 k22 l11Hale Waihona Puke Baidu l22 0,
即 k1 k2 2l1 l2 0,
2kk11kk22l13l2
l2
0, 0,
(1)
k2 l1 7l2 0,
算得
1 1 2 1
1 1 2
21 D
1
1 0, 且 2 1
3c c1 c2
由对应元素相等，得
c1 c 0
33abab11ab22
3c2 c2
(1)
3c c1 c2 c2
方程组(1)的系数矩阵秩为2，解空间维数为5。
a b 0
与
A
可交换的矩阵为
B
a1
b1
0 ,
a2 b2 c2
a, c2 可经 b, a1,b1, a2,b2 表示，
其一组基由上面得到
3 0
1 0
0 0,
113
0 0
0 1 0, 0
0 1
0 0,
013
0 0
0 1 0, 0
0 0
0 0
0 0 3 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1
20.求由下列向量 生成的子空间的交的基与维数。设
21
(1,2,1,0) (1,1,1,1)
12
(2,1,0,1) (1,1,3,7)
k l
k l 2
k l k l
8．全体正实数，加法与数量乘法定义为：
a b ab
k a ak
解：能构成。
显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的， 且满足八条规则。
求下列线性空间的维数与一组基 9．数域P 上的空间 Pnn
解：Pnn 的元素为
a11 a12 a1n
s
i 1
18.证明：和 Vi 是直和的充要条件是 Vi Vj 0(i 2,..., s)
i 1
j1
证：必要性
：
Vi
i 1
Vj
Vi
Vi
0，
j 1
ji
i1
所以 Vi Vj 0 j 1
s
充分性（反证法）：设 Vi i 1
不是直和，那么零向量还有一个分解式：
0 1 2 ... s
（1）
0
0
0 ... 1 1
因此解空间是一维的，令 xn 1
基为 (1,1,...1, )
R(A) n 1
取 1,2 ,..., n1,
(1)
1 1 0 ... 0 1 0 1 ... 0
... ... ... ... ... 0, 故向量(1)是P n 的一组基。
1 0 0 ... 0 1 1111
(x1, x2, x3, x4 ) 在 1,2 ,3,4 下的坐标；
解：
2 0 5 6
1,2 ,3 ,4
1 , 2 , 3 , 4
1
1
3 1
3 2
6 1
1 , 2 , 3 , 4 A
1
0 1 3
1 , 2 , 3 , 4 1 ,2 ,3 ,4 A1
14． 1 (1,2,1,0),
1,
到基 2,3, 4
1, 2, 3,4
的过渡矩阵，
并求向量在所指基下的坐标.设
13．
1 (1,0,0,0),
2 3
(0,1,0,0), (0,0,1,0),
4 (0,0,0,1),
1 (2,1,1,1),
2 1
(0,3,1,0), (5,3,2,1),
1 (6,6,1,3),
1 0 0 A 0 1 0
3 1 2
求 P33 中全体与 A可交换的矩阵所成的子空间的维数 和一组基。
解：
a
设
B
a1
a2
1 0 0 0 0 0 A 0 1 0 0 0 0 E S
0 0 1 3 1 1
b c
b1
c1
与
A
可交换，即
b2 c2
AB BA,(E S)B B(E S),
17.设 A Pnn 1)证明：全体与 A 可交换的矩阵组成 Pnn 的一子空间， 记作 CA 2) A E 时，求 CA
3) 1 0 0 ... 0
A
0
2
0
...
0
... ... ... ... ...
0
0
0
...
n
时，求
CA
的维数和一组基。
证：1)全体与A可交换的矩阵的集合记为CA, 0C(A)
2 3
(1,1,1,1), (1,2,1,1),
4 (1,1,0,1),
1 (2,1,0,1),
12
(0,1,2,2), (2,1,1,2),
1 (1,3,1,2),
(1,0,0,0) 在1,2,3,4 下的坐标；
解：令
e1 (1,0,0,0),
ee32
(0,1,0,0), (0,0,1,0),
16.设V1 , V2 都是线性空间V 的子空间，且 V1 V2 证明：如果V1 的维数和V2的维数相等，那么V1 V2 。
证：设 dim V1 r ，可找到一组基 1,1,..., r 因为 V1 V2 且它们的维数相等， 1,1,..., r 也是 V2 的一组基， 所以 V1 V2
G12,..., G1n ,G23,...G2n ,..., Gn1,n 是反对称阵所成空间的一组基， 所以它是 n(n 1) 维的。
2
iii)令
... Hij ... 1 ...
...
(i j)
H11,..., H1n , H22,..., H2n ,..., Hnn 是上三角阵所成空间的一组基， 所以是 n(n 1) 维。
3 1
e1 , e2 , e3 , e4 B
1 2 2 2
由前式得 e1 , e2 , e3 , e4 1 , 2 , 3 , 4 A1
代入后一式得 1,2 ,3 ,4 1, 2 , 3 , 4 A1B
15.证明：实数域作为它自身上的线性空间与第3题8） 中的空间同构。
证：因为它们都是实数域上的一维线性空间，故同 构。
矩阵的加法和数量乘法；
解：构成。 因为实对称(反对称，上三角，下三角）之和、之倍 数仍为实对称(反对称，上三角，下三角），故做成 线性空间。
4．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合， 对于向量的加法和数量乘法；
解：不构成。例如，以那个已知向量为对角线的任 意两个向量，它们的和不属于这个集合。
B, D C( A)
A(B D) AB AD BA DA (B D)A, B D C( A)
A(kB) k( AB) k(BA) (kB)A,
CA 构成子空间。
kB C( A)
2) A E 时，CA P nn
3)设B (bij )为可与A 交换的矩阵，由第四章习题5可 知，B 只能是对角矩阵，故维数为n ; E11, E22,..., Enn 为一组基。
A a21 a
a2n
an1
an 2
ann
令 于是
0 0 0
Eij
0
1
0
0 0 0
nn
A
aij Eij
i 1 j 1
Pnn 是 n2 维，基是 Eij (i, j 1,2,,n)
10．Pnn 中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的
数域P上的空间
得 SB BS
a b c 0 0 0 3c c c
SB a1
b1
c1 0
0
0
3c1
c1
c1
a2 b2 c2 3 1 1 3c2 c2 c2
0 0 0 a b c
BS 0
0
0 a1
b1
c1
3 1 1a2 b2 c2
0
0
3a a1 a2
0 0 3b b1 b2
0
0
2
11．第3题8）中的空间
解：数1是“零”元，任一不等于1的正实数都是线 性无关的向量，取空间一非“零”元，例如，取2，
对于任一正实数 a ，可经2线性表出。
a (log 2 a) 2 所以此空间是一维的，2是一组基，或者说，任意 非“零”元都可作R 的基。
12．实数域上由矩阵A的全体实系数多项式组成的
线性空间习题
所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1．次数等于 n(n 1) 的实系数多项式的全体，对于 多项式的加法和数量乘法；
解：不构成。因两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式。例如
(xn 5) (xn 2) 3
2．设 A 是一个 n n 实矩阵，A 的实系数多项式 f (A) 的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
5．全体实数的二元数列，对于下面定义的运算
a1, b1 a2 , b2 a1 a2 ,b1 b2 a1a2
解：构成。
6．平面上的全体向量，对于通常的加法和如下定义
的数量乘法：k 0
解：不能构成。因为1 0 ，不满足规则5。
7．集合与加法同6）数量乘法定义为：k
解：不能构成。因为
1 (1,1,0,..., 0), 2 (1,0,1,..., 0), , n1 (1,0,0,...,1)
由 x1 x2 ... xn1 xn
即
x1 x2 0,
x2
x3 ...
0,
xn1 xn 0,
其系数矩阵
1 1 0 ... 0 0
A
0
1
1 ... 0
0
,
... ... ... ... ... ...
解：构成.令 V f (A) | f (x) 为实系数多项式，A
是n n 实矩阵}
f x g x hx;kf x d x
则有
f A g A h A;kf A d A
由于矩阵的加法和数量乘法满足线性空间定义的 1~8条规则，故 V 构成线性空间。
3．全体 n 级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于
其中， j V j ( j 1,2,..., s) 在式（1）中设最后一个不为零的向量是 k (k s) ， 那么式（1）变为
0 1 2 ... k , j Vj ,k 0
这时
1 2 ... k1 k
因此k
k 1
Vj
，又
k
Vk
，这与
Vk
k 1
Vj
0
矛盾。
j 1
j 1
19.设
Pn 中任意元可经向量组(1)表示，从而 P n V1 V2
dim( P n ) dim( V1 ) dim( V2 )
P n V1 V2
1 0
1 1 0 3
11 0
0 1 1 7
方程(1)的解空间维数为1，交的维数也为1。任取一 非零解 (k1, k2 , l1, l2 ) (1,4,3,1) ，
得交的一组基： 1 42 (5,2,3,4) 即它们的交为 L( )，是一维的， 就是一组基。
21.设V1 与V2 分别是齐次方程组 x1 x2 ... xn 0 与 x1 x2 ... xn1 xn 的解空间， 证明： Pn V1 V2 证： x1 x2 ... xn 0 的解空间是 n 1 维， 取基为
令 k1 A2 k2 A k3 E O,
即
k1k12
k2
k2
k3
k3
0
0
k1 k2 2 k3 0
其系数行列式
1 11
2 1 3( 2 ) 0
2 1
故方程只有零解：k1 k2 k3 0
E, A, A2 线性无关，由它们作基，构成三维线性空间。
在
P4
中，求由基
空间，其中
1 0 0
A 0
0
0 0 2
1 3i
2
解：因为 2
1 2
3i ,
3 1
1 (n 3q)
n
(n 3q 1)
2 (n 3q 2)
所以 而
1
A
2
1
A3
1
E
1
E (n 3q)
An
A
(n
3q 1)
A2 (n 3q 2)
下证 E, A, A2线性无关。
解： i) 令
0 1
Fij
1
0
aij aji 1 ，其余都是零，
F11,..., F1n, F22,..., F2n,..., Fnn 是对称矩阵所成空间的一组基，
所以是
n(n 1) 2
维的。
ii)令
0 1
Gij
1
0
aij aji 1 ，其余均为零,