高考数学 抽象函数习题精选精讲

含有函数记号“()f x ”有关问题解法

由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：

一、求表达式：

1.换元法：即用中间变量

表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，

此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 (

)211x

f x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x

-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3

31

1

()f x x x

x

+=+

，求()f x 解：∵2

2211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x +=+-+

=++-又∵11||||1||

x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)

3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3． 已知()f x 二次实函数，且2

(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .

解:设()f x =2

ax bx c ++，则22

(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+

=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()4

1321

,1,2222

a c a a

b

c b +=⎧⎪

=⇒===⎨⎪=⎩

∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x

解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。∵-x >0,∴

()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,

∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0

()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩

例5．一已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1

()1

g x x =

-， 求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,

不妨用-x 代换()f x +()g x =

1

1x - ………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x －1

()1

g x x =-+……②

显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1

x

g x x =-

5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式

例6：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x 解：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1

()(1),2

f x x x x N =+∈ 二、利用函数性质，解()f x 的有关问题 1.判断函数的奇偶性：

例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。 证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①

在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。

2.确定参数的取值范围

例8：奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。 解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-

又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴2

2111

1110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩

3.解不定式的有关题目

例9：如果()f x =2

ax bx c ++对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2

ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数 ∴f (3)

五类抽象函数解法

1、线性函数型抽象函数

线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

例1、已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。