数学分析试题大一下

数学分析期中试题

一. 解下列各题（每小题6分） 1. 求极限n

n n

n

)

111(lim

2

+

+

∞

→.

2.. 已知f 是可导函数, 且x

x f dx

d 1)1(arctan

=

，求)4

(

π

f '.

3. 求出2

3||ln )(2

+-=x x x x f 的间断点，并指出是第几类间断点.

4. 已知2)13(lim

2

=++-+∞

→bx ax

x x ,

试确定其中常数b a ,.

二. 解下列各题（每小题7分） 1.

设⎩

⎨⎧+=+-=2

3)1ln(t t y t t x , 求

2

2

dx

y d .

2. 试确定常数b a ,的值, 使点)3,1(是曲线3

4

bx

ax

y +=的拐点, 并求出

曲线的凹凸区间. 3. 求由方程0sin 2

1=+

-y y x 所确定的隐函数)(x y y =的二阶导数.

4. 已知21

1

2sin )(1lim 30

=--+→x

x e

x x f ，求)(lim 0

x f x →.

三.(9分) 设数列}{n x 满足0

10<<

-x , ),2,1,0(221 =+=+n x x x n n n ,

证明

}{n x

收敛, 并求n n x ∞

→lim . 四.(9分) 设)(x f 有二阶连续导数,

0)0(=f ,

⎪⎩⎪⎨⎧='≠=0

),

0(0,

)()(x f x x

x f x g ，求

)(x g '并讨论)(x g '的连续性.

五. (9分) 一个体积给定的观察站底部是一个直圆柱, 顶部是一个

半球形, 如果顶部单位面积的造价是侧面单位面积造价的二倍, 问圆柱的底半径r 与高h 分别为多少时可使总造价最低? 六.(8分）证明，当1>x

时，1

1ln +-≥

x x x .

七. (9分）(1)已知当0→x 时, 2

cos x

e

x -与k cx 是等价无穷小, 求c 与k

的值;

(2)求极限2

2

2

sin )(cos 112

lim

2

x

e x x

x

x

x -+-

+→.

八.(4分)设)(x f 在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导,

)(≠'x f , 证明存在

),(,b a ∈ηξ,

使

η

ηξ---=

''e

a

b e e f f a

b )

()(.