极限的产生与应用解读

目录
摘要........................................- 2 -
Abstract ......................................- 3 -
引言..........................................- 4 -
1．极限思想的产生及发展.......................- 4 -
1.1极限思想的产生........................................... - 4 -
1.2极限思想的发展........................................... - 5 -
1．3极限思想的完善.......................................... - 6 -2、极限思想的概念及其性质.....................- 7 -
2.1极限的现代定义........................................... - 7 -
2.2函数极限的性质........................................... - 7 -
3 极限思想在解题中的应用......................- 7 -
3.1在开方方面的应用......................................... - 7 -
3.2 在求某一点的应用........................................ - 9 -
3.4 在解析几何中的应用..................................... - 12 -
4 探索极限思想在各个领域的应用............... - 1
5 -
4.1在物理学中的应用........................................ - 15 -
4.2 在化学中的应用......................................... - 16 -
4.3在建筑学中的应用........................................ - 17 -
4.4 在宏观经济学中的应用................................... - 17 -
4.4.1计划经济.......................................... - 18 -
4.5 在微观经济学中的应用................................... - 20 -
4.5.1完全竞争市场...................................... - 20 -参考文献..................................... - 22 -
致谢......................................... - 24 -
摘要
极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。

极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理，始终不渝地求实、创新的生动写照。

极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。

极限思想是微积分理论的基础，而微积分与经济学、物理学、机械自动化等与生活息息相关的学科是密不可分的。

尤其是对于经济学来说，是一个透过现象看本质的必不可少的工具，经济学的核心词语“边际”便是一个将导数经济化的概念。

关键词：极限思想；应用；微积分；经济学
Abstract
Limit thought as a mathematical idea of the mankind from the ancient to the present limits of the full theory of the evolution of its long and tortuous journey filled with hard work of many mathematicians, intelligence, conscientiousness and pursued the struggle footprint. Limit the evolution of thought process that is thousands of years of human knowledge and transform the world's response to one aspect of the process, the human pursuit of truth, the pursuit of ideals, always realistic, vivid portrayal of innovation.
Limit the production and improvement of ideological and social needs of practice, it produces for the development of mathematics has added a new impetus, as the ideas and methods of modern mathematics foundation and starting point. Theoretical limit of thought is the basis of calculus, and calculus and economics, physics, mechanical and automation disciplines and daily life are inseparable. Especially in economics, is a look at the nature of the phenomenon through the essential tools, the core of economics, the word "marginal" is one of the guide number of economic concepts.
Key Words：Limit thought；Application；Calculus；Economics
极限思想的产生与应用
引言
数学是对现实世界数与形简洁的、高效的、优美的描述, 是有其内部抽象和外部有效性的一门学科。

数学科学是知识和思想方法的有机组合。

本文主要论述极限思想的产生与发展，极限思想的概念及应用。

极限思想是荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心问题的过程中改进了古希腊人的穷竭法时产生的。

他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归谬的证明，而牛顿莱布尼茨对极限思想的建立作出了极创造性的贡献。

本文最后探讨了创造性的贡献。

在[1]中主要论述了中国古代极限思想的产生与发展，而[2]主要说明了极限思想在古代数学中的应用，这对于探索当代极限思想的应用，指明了方向。

而[3],[4],[5],[6]分别就极限在解题中的应用做出了明确的证明和论述。

分别解释说明了极限思想在开方方面，在求解某一点问题，立体几何以及解析几何中的应用。

在本文中，除了探讨极限思想的产生与发展，在解题中的应用海探索极限思想在其他方面的应用。

这其中包括在物理学建筑学经济学化学中的应用。

1．极限思想的产生及发展
1.1极限思想的产生
极限思想的产生和其他科学思想一样，是必须经过历代古人的思考与实践一
步一步渐渐积累起来的，它也是社会实践的产物。

极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法—归谬法来完成有关的证明1。

提到极限思想，就不得不提到著名的阿基里斯悖论——一个困扰了数学界十几个世纪的问题。

阿基里斯悖论是由古希腊的著名哲学家芝诺提出的，他的话援引如下：“阿基里斯不能追上一只逃跑的乌龟，因为在他到达乌龟所在的地方所花的那段时间里，乌龟能够走开。

然而即使它等着他，阿基里斯也必须首先到达他们之间一半路程的目标，并且，为了他能到达这个中点，他必须首先到达距离这个中点一半路程的目标，这样无限继续下去。

从概念上，面临这样一个倒退，他甚至不可能开始，因此运动是不可能的。

”就是这样一个从直觉与现实两个角度都不可能的问题困扰了世人十几个世纪，直至十七世纪随着微积分的发展，极限的概念得到进一步的完善，人们对“阿基里斯”悖论造成的困惑才得以解除。

无独有偶，我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言“一尺之锤，日取其半，万事不竭。

”也就是说，从一尺长的竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零。

这更是从直观上体现了极限思想。

我国古代的刘徽和祖冲之计算圆周率时所采用的“割圆术”则是极限思想的一种基本应用。

所谓“割圆术”，就是
A就用半径为R的圆的内接正多边形的边数n一倍一倍地增多，多边形的面积
n
越来越接近于圆的面积πR。

在有限次的过程中，用正多边形的面积来逼近圆的面积，只能达到近似的程度。

但可以想象，如果把这个过程无限次地继续下去，就能得到精确的圆面积2。

1.2极限思想的发展
极限思想是到了16世纪才得以进一步发展的，那时的极限思想是在欧洲资本主义萌芽时期，生产力得到极大发展，生产和技术中大量问题无法用初等数学解决的前提下，一批先进数学家们才进入极限思想的领域深入研究的，这时极限思想的发展与微积分的建立越来越紧密相连了。

科学家们为了获得更高的生产力，不断的进入了极限思想的研究中，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。

牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。

正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到了人们的怀疑与攻击。

英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是“分明的诡辩”。

贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，连牛顿自己也无法摆脱极限概念中的混乱。

这个事实表明，弄清极限概念，建立严格的微积分理论基础，不但是数学本身所需要的，而且有着认识论上的重大意义。

在极限思想的发展中，我们可以看出数学并不是自我封闭的学科，它与其他学科有着千丝万缕的联系。

正如一位哲人所说：“数学不仅是一种方法，一门艺术或一种语言，数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系。

”在探求极限起源与发展的过程中，我发现数学确实是一个美丽的世界，享受数学是一个美妙的过程。

以前总是觉得数学枯燥艰涩，可是通过近段时间对极限思想的探究，我真切地感受到数学之美。

在数学推理的过程中，我们可以尽情发散自己的思维，抛开身边的一切烦恼，插上智慧的双翼遨游于浩瀚无疆的数学世界。

什么琐事都不要想，全身心投入其中，享受智慧的自由飞翔，这种感觉真的很美。

1．3极限思想的完善
极限思想的完善的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法一一归谬法来完成有关的证明.
柯西被公认为近代分析的主要奠基人，事实上，他在19世纪20年代陆续发表了3本著作：《工科学学分析教程》、《无限小计算概要》和《微积分讲义》，其中革新了微积分中长期沿袭下来的模糊的旧概念重整了他的理论，把它纳入到一个新的严密的理论体系之中，柯西看出核心的问题是极限，他把极限概念理解为潜无限。

并且定义“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终是变量和改定值之差要多小就多小”.这个定值就叫做所有其它值的极限，第一次使极限概念摆脱了与几何和运动直观的任何牵连，给出了建立在属于函数概念上清楚的定义.
但是，柯西的极限概念并没有严格的数学定义而是停留在直观的描述上面，
所以在他的著作的叙述中不是用严格的数学语言表达，他的函数概念并没有完全脱离解析方式的束缚，在函数的连续性和可微性方面也欠明确等等.因此，他的微积分虽然具有近代的形式但它的基础并不牢固.
2、极限思想的概念及其性质
2.1极限的现代定义
极限是指无限趋近于一个固定的数值。

而极限又可分为数列极限和函数极
限。

学习微积分，就会有引入极限的必要性，因为代数是无法处理“无限”的概念，所以为了要利用代数处理无限的量，于是就要构造“极限”的概念。

在“极限”的定义中,我们可以知道，极限的概念为了解决一个数除以0的麻烦，引入了一个过程小量可以取任意小， 只要满足在△δ的区间内，都小于该任意的小量，我们极限为该数，这样的定义可能不够信服力，但它的实用性证明，这个定义还是比较完善的，给出了正确的可能。

数列极限的标准定义：对数列{ n X }，若存在常数a ，对于任意ε>0，总存
在正整数N ，使得当n>N 时， n X a -<ε成立，那么称a 是数列{ n X }的极限。

[4]
2.2函数极限的性质
定理2.1（唯一性） 若极限0
lim ()x x f x →存在，则此极限是唯一的3。

定理2.2（局部有限性）若()x f x x 0
lim →存在，则f 在0x 的某空心邻域()00x U 内有界。

3 极限思想在解题中的应用
3.1在开方方面的应用
《九章算术》开方术说“若开元不尽者，为不可开。

当以面命之。

”这就是
说，凡开不尽的数，可以以面命之。

“以面命之”就是余数表示，即：
A r A r +=⋅⋅⋅
其中，()2A r +为被开方数A 为其平方根的近似值，r 为开方不尽的余数。

在古代，为了表示开方不尽数的值。

一般常用的方法是，加借算命分和不
加借算命分。

这两种方法并不是理想的方法，所以刘徽说，“令不加借算而命兮，则又徽
分。

其数不可得而定故堆以而命之，为不失和，就是说只有
A r A r +=⋅⋅⋅
没有误差。

但是由于这种表示方法不够具体，于是刘徽利用极限思想创立了
十进制的表示法。

他说：“不以面命之，加定法如前，求其徽数。

徽数无名者以为分子，其一
认十为母，其再实以百为母。

退之弥下，其分弥细。

则朱幂虽有所弃之数，不是言之也。

”这就是：
212
2lim 101010n n n x a a a S A A r →∞⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=+ ⎪⎝
⎭ 其中A 为整数，1a ，2a ，⋅⋅⋅ n a 是平方根的十进分数的分子都是一位整数。

而12
12101010n n a a a S A ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝
⎭ 取近似值，则得：
2122101010
n n a a a A r A +=+++⋅⋅⋅+或2n A r S += 因为古代是用正方形来解释开平方的，所谓“朱幂”相当于被开方数与近
似平方根的平方之差。

用现代符号表示：
()22n A r S +=
或()2212
2101010n n a a a A r A ⎛⎫+=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝
⎭ 而()220n A r S ⎡⎤+=→⎣⎦
实际上，这就是极限在开方方面的应用。

3.2 在求某一点的应用
求解某一点的应用问题, 包括求某一点的切线问题、瞬时问题(瞬时速度、瞬时加速度、瞬时增长率、边际问题…), 可考虑采用0x x → 的极限的处理办法
求解, 即: 改变研究条件为由0x 变化到另一个点x , (或01x n
+) (其中0x x =+△x ), 在区间[]0,x x (或在001,x x n ⎡⎤+⎢⎥⎣
⎦) 中, 通过“常量代替变量”的办法, 构造()f x (或n a ), 替代区间[]0,x x 上的变量, 最后, 在0x x → (或n →∞ )
的条件下, 新构造的()f x (或n a ), 无限趋近最终所求量A 。

如: 构造出[]0,x x 上的平均速度, 在0x x →的条件下, 平均速度无限趋近最终
所求瞬时速度。

3.3在立体几何中的应用
随着极限进入到中学教材，极限思想成为了解决中学数学问题的又一
重要工具.极限思想作为一种思想，一种从有限认识无限的数学思想，不仅
在降低解题难度，寻找解题思路，加深对问题的理解，探索发现新结论方
面具有重大作用，而且对培养学生的创造性思维和探索能力也大有裨益.
已知正四棱锥ABCD S -- 的侧面与底面所成角为β ，相邻两侧面所成角
为α ，则βα2cos cos + 的值为
整个解题过程，让我们深刻体会到极限思想在解题过程中简化解题步骤，优
化解题方法的重大作用。

同时，我认识到极限思想在此题中的运用给了我们进一步思考的空间.
反思一 ：
设正n 棱锥底面与侧面所成的角为β，相邻两侧面所成角为α，求
βα2c o s c o s +的值.是否可用极限思想解答？
运用极限思想方法推导：
让S 沿SO 向上移动，当∞→S 时，有
,)2(cos cos ,)2(,0cos ,2n
n n n παπαβπ
β-=-→→→从而有； 让S 沿向下移动，当O S →时，有,1cos ,,1cos ,0-→→→→απαββ从而有0cos cos 2=+βα.
很明显上述沿两条不同的路径得到的结果不一致，只有当4=n 时
0)2(cos =-n
n π运用极限思想方法解答才成立，也就是说对于正n 棱锥（除正四棱锥）都不能运用极限思想解答
. 下面通过严格推理演算推导出，对于正n 棱锥，βα2cos cos +的值（α为相
邻两侧面所成的角，β为底面与侧面所成的角
如图2所示：设底面正n 边形的外接圆半径为R ，正n 棱锥的侧棱长l ，作SA CE ⊥，连BE 则CEB ∠为两侧面所成二面角的平面角，记作α.取AB 的中点
D ，连OD SD ,，则SDO ∠为侧面
n R l BD SB SD n R OD n R BD π
π
π
22222sin .cos ,sin -=-===
侧面与底面所成角 ,s i n c o s c o s 222n R l n R SD OD π
πβ-==
n
R R BC π4cos 22222-= CE l n R l n R SB SD AB SA SD AB BE =-=⋅=⋅=ππ222sin sin 2
相邻两侧面所成角
222222222
22)
s i n (s i n 42)4c o s 22(12c o s l n R l n R n R R CE
BE BC CE BE πππα---+=⋅-+=
)s i n (s i n 4)4c o s 1(122222n R l n l n
πππ---
=
所以 βα2c o s c o s +)s i n (s i n 4)4c o s 1(122222n
R l n l n πππ---
=+n R l n R ππ22222sin cos - =)sin (sin 4)4cos 1(sin cos 41222
22222n R l n l n n n R πππππ---+ =)sin (sin 42sin 22sin 122222
222n
R l n n l n R ππππ--+ =)sin (sin 4cos sin 42cos sin 412
22222222
2n R l n n l n n R ππ
π
π
π-⨯-+ =n
R l n l n R π
π
π222222
2sin cos 2sin 1--+
该通式说明了βα2cos cos +的值不仅与正n 边形的角有关，而且还与底面正n 边形外接圆半径和正n 棱锥侧棱长有关，进一步阐明了正n 棱锥（除正四棱锥）运用极限思想方法解答不成立.
反思二：
在运用极限思想方法推导过程中发觉在正n 棱锥n 发生变化时，其相邻两侧面所成的二面角与n 有规律的发生着变化.
对于正n 棱锥，运用极限思想：
让顶点S 沿垂线SO 向上移动，当∞→S 时，正n 棱锥就变成正n 棱柱，显然这时相邻两侧面所成二面角为n
n π)2(-. 让顶点S 沿着垂线SO 向下移动，当O S →时，正n 棱锥变成平面图形，这时相邻两侧面所成二面角为π. 猜想正棱锥相邻两侧面所成二面角的范围是（
),)2(ππn
n -. 验证猜想：
如图3所示：设正n 棱锥的顶点为S ，底面
正n 边形的边长为a ，SO 为底面的垂线，O 是
由三角形知识有 CE a AE ==θsin
n
n a a ABC a a a AC π)2(cos
22cos 2222222--=∠-+= ∴ θ
θπθθαsin sin 2))2(cos 22(sin sin 2cos 222222222a a n n a a a a CE AE AC CE AE ⋅---+=⋅-+= =θ
πθ222222sin 2)2(cos 22sin 2a n n a a a -+-=θπ2sin )2(cos 11n n --- ∴ απθθπαc o s 1)2(c o s
1s i n s i n )2(c o s 1c o s 122---=⇒--=-n n n n )2
,0(π
θ∈ ∴ )1,0(s i n 2∈θ ∴απcos 1)2(cos 1---n n <1 n n π)2(cos 1--⇒<αcos 1- n n π)2(cos -⇒>αcos 又 二面角α的取值范围为),0(π，而余弦函数在),0(π上是单调减函数 ∴ α>n
n π)2(- 又 α<π 所以 ),)2((ππαn
n -∈ 3.4 在解析几何中的应用
解析几何中，我们常常遇到这样的问题：
在平面直角坐标系中，已知一点P(a,b)(不在坐标轴上)，过点P 作直线L 与两坐标轴围成的三角形的面积为S ，则符合条件的直线有 （ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
碰到这样的问题，学生往往会采用以下方法进行求解：
解：由题设可知，直线L 的斜率一定存在
故设直线L 的方程为 ,)(b a x k y +-=
则直线L 与两坐标轴的交点坐标分别为 )0,(k
b ak -、),,0(ak b - 构成的三角形的面积,2)(2
k
b ak S -= 解上述方程，有几解，则表示有几条直线.
这样求解，不但可以求出直线的条数，同时也把相应的直线的方程求出.如若是解答题，这样做的话倒也无可厚非，但若是在平时的测验或是高考中遇到这样的问题，并且象上面这样按部就班的去解的话，可能会花费不少宝贵的时间，有点得不偿失.
下面我们一起来用运动变化观点和极限思想来解决这一问题：
如图（1），不妨假设点P(a,b)位于第一象限（其它象限完全一
样），将直线 L 绕点P 不断旋转，可发现当直线L 位于图(2)所示
的两个位置时必满足题意，即符合题意的直线L 至少有两条，接下
去就要考虑此直线与两坐标轴的正半轴所构成的三角形的面积能否
为S,如可以，又有几条？由于此时三角形的面积具有最小值0S ，且
取得最小值时直线L 的方程为L 0:,2ab ay bx =+即 0S =2ab ,
故我们只需将S 与0S 进行比较，
若S ＝0S ，在第一象限符合题意的直线有且只有１条即L 0.
（如图(3)）；
若S>0S ，在第一象限符合题意的直线有２条.（如图（4））；
若S<0S ，在第一象限符合题意的直线不存在.
通过上述过程，我们可以看出，我们只需求出0S 的值，然后比较S 和0S 的大小，即可得出符合题意的直线L 的条数.即
例１过点P(1,1)作直线L 与两坐标轴围成的三角形的面积为10,直线L 有（ ）
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
（略解）∵点P 坐标为(1,1)，故过点P 且与X 、Y 轴正半轴所围三角形面积最小时直线L 的方程为2=+y x , 由结论１ S S =<=1020
故这样的直线L 有４条，选（D ）
例２设直线L 经过点A(-1,1)，则当点B(2,-1)与直线L 距离最远时直线L 的方程为________________________.
（略解）∵点B 到直线L 的距离最远
由结论２可知 直线L 必与直线AB 垂直
又∵直线AB 的斜率为3
2-
∴直线L 的方程为 1)1(23++=x y 即 0523=+-y x
例3直线L 通过两直线02457=-+y x 和0=-y x 的交点A ，且与过点B(5,-2)的直线1L 的距离为5，则直线L 的方程为___________________________. (略解) ∵两直线02457=-+y x 和0=-y x 的交点A(2,2)
∴点A 、B 间的距离为5，
由结论３可知 直线L ⊥直线AB ，又∵直线AB 的斜率为34-
∴直线L 的方程为 2)2(4
3+-=x y 即 0243=+-y x 例4在平面直角坐标系内，与A 、B 两点距离等于1的直线至少有3条，则AB 的
取值范围是 （ ）
A.),2[+∞
B.),2(+∞
C.)2,(-∞
D.]2,(-∞
(略解)由结论４可知 1=d
由题设这样的直线至少有3条，
由结论3得 2AB
d ≤ ∴2≥AB 故选（A ）
4 探索极限思想在各个领域的应用
4.1在物理学中的应用
极限法在物理学研究中有广泛的应用。

开尔文把查理定律外推到零压强这一极限情况，而引入了热力学温标，使气体实验定律的表述大大简化。

伽利略在研究自由落体运动规律时，先证明从斜面上滚下的小球做匀变速运动，后又把结论外推到斜面倾角增大到90°的极限情况--小球自由下落，从而用极限思维法间接证明了自己对自由落体运动规律的论断是正确的。

极限法(又称极端法)在物理解题中有比较广泛的应用。

若将貌似复杂的问题推到极端状态或极限值条件下进行分析，问题往往变得十分简单。

利用极限法可以将倾角变化的斜面转化成平面或竖直面。

可将复杂电路变成简单电路，可将运动物体视为静止物体，可将变量转化成特殊的恒定值，可将非理想物理模型转化成理想物理模型，从而避免了不必要的详尽的物理过程分析和繁琐的数学推导运算，使问题的隐含条件暴露，陌生结果变得熟悉，难以判断的结论变得一目了然。

极限法常见的方法有三种：极限假设法、特殊值分析法和临界状态分析法。

下面举例说明。

例1 物体A 可在倾角为θ的斜面上运动，如图1所示，若A 的初速度为v0，它与斜面间的
动摩擦因数为μ。

在相同情况下，A 上滑与下滑的加速度大小之比为
A.sinθ-μcosθμcosθ-sinθ。

B.sinθ+μcosθsinθ-μcosθ。

C .μ+tanθ。

D.μcosθsinθ-μcos 。

析与解 本题的常规解法，是先对A 进行受力分析，再应用牛顿第二定律，分别求A 上滑和下滑时的加速度表达式，最后求二者之比。

这样做，费时费力，容易出错。

今用极限假设法求解；则能迅速、准确得出正确结论。

假设斜面倾角为90°，即斜面变成竖直面，A 物体的上滑和下滑，就等同于竖
直上抛和自由落体。

上滑、下滑加速度都是g，比值为1。

对照四个供选答案，将θ=90°代入检查，只有B答案能符合假设的要求。

应选B。

点评将斜面改成竖直面(即θ=90°)并未改变上滑减速、下滑加速这一运动性质。

这样的极端假设是合理的。

若将斜面改成水平面(即θ=0°)，无论上滑还是下滑都变成减速运动，就改变了题目中约定的运动性质。

这种假设就是不合理的，当然也得不出正确结果。

对本题我们还可以做这样的极端假设：
认为斜面是光滑的(即μ=0)，同样可得到正确结果B。

例2 如图3所示，A物体和B物体由轻质细线连接跨过定滑轮，A置于斜面上。

A、B均静止。

且mA∶mB=3∶2，斜面倾角θ=30°。

若将一小物体C轻放在A 上，A仍保持静止，则这时A受到斜面给它的摩擦力可能是
A.变大，方向沿斜面向下。

B.变小，方向沿斜面向下。

C.变为零。

D.变小，方向沿斜面向上。

析与解若摩擦力恰好为零，A能静止在斜面上，有mAgsin30°=T=mBg。

即mAmB=21。

今mAmB=32，说明A有沿斜面向上滑动的趋势，A受到的静摩擦力fs，方向沿斜面向下，若在A上放一小物体C，A仍保持静止。

则有三种可能：
①mA+mCmB=2,fs=0。

②mA+mCmB仍小于2，fs变小，仍沿斜面向下。

③mA+mCmB已大于2，fs变为沿斜面向上，有可能比原fs大，也有可能比原fs小。

因此选B、C、D。

4.2 在化学中的应用
对于可逆反应而言，当反应达到平衡状态后，其各组分的量均不可能为0。

而在解决一些化学平衡问题时，尤其是关系取值范围问题的解决，我们却可以借助完全反应――这一“极限思想”进行。

例如在一密闭容器进行的可逆反应：2SO2(g)＋O2(g) 2SO3(g)，已知某
时刻SO2、O2、SO3的浓度分别为0.2mol/L、0.1mol/L、0.2mol/L，当反应达到
平衡时，我们想知道这三种气体的密度可能只在什么范围之内，这就需要我们运用极限思想进行分析。

根据可逆反应的特点可知，无论反应向正向移动还是逆向移动，达到平衡时SO2、SO3浓度的取值范围均为0<c<0.4mol/L，而O2的浓度为0<c<0.2mol/L。

4.3在建筑学中的应用
对于地下隧道的稳定性评价一直缺乏一个合适的评判指标，传统方法无法算出地下洞室工程的安全系数和威严的破坏面，仅凭应力、位移、拉应力区和塑性区大小很难确定地下洞室工程的安全度与破裂面。

当前工程上尚没有隧道稳定安全系数的概念，一般按照经验对隧道围岩的稳定性先进行分级。

极限分析法通过对岩土体强度参数的折减，使岩土处于极限状态，因而有可能使岩土体显示潜在的破裂面，并求得安全系数，这在边（滑）坡稳定分析中取得了成功，但应用于地下洞室工程中算出的塑性区往往是一大片，而不像边（滑）坡岩土体内存在明显的剪切带，因而要找出围岩内的破裂面比较困难。

本文研究表明，隧道围岩发生塑性应变突变时的情况就是围岩发生破坏流动的情况，因而只要找出围岩塑性应变发生突变时的塑性区各断面中塑性应变值最大的点，并将其连成线，就可得到围岩的潜在破坏面（如下图所示），同时可求得地下洞室的安全系数，本文所说的隧道稳定安全系数是指隧道整体安全系数，即把非等强度的真实岩体视为均质等强的岩体，据此求出安全系数。

4.4 在宏观经济学中的应用
近期我国居民消费物价指数出现了快速上涨的现象，通货膨胀压力逐步显
现，已成为国家宏观经济调控的一个中心问题。

本轮价格上涨发端于猪肉价格上涨，此后引发了食品价格的上涨和更大范围的价格上升，食品价格相对于整体消费价格上升非常突出。

从结构分解角度看，食品价格上涨主导了本次通货膨胀的上升，且具有明显的结构性特征。

围绕中国目前通货膨胀的形成核心原因以及如何治理目前的通货膨胀等问题，大量学者和研究机构对此进行了激烈的争论。

本文作者认为，此次以粮食为主的物价上涨，除了自然灾害造成粮食减产的一部分原因外，还有一个不可忽视的原因是为应对2008年金融海啸各国实行扩张性财政政策和货币政策多产生的副作用，在刺激增加GDP的同时，也造成了物价的上涨。

这就让我们再次开始考虑，一个国家运用宏观调控手段来影响经济是否是画蛇添足，或者说这只“看得见的手”是否运用得太过频繁。

为了研究这个问题，我们可以运用极限思想，从宏观经济体制的两个极端来考虑，也就是一切生产都由国家控制的计划经济和国家从不干涉的市场经济。

4.4.1计划经济
计划经济，或计划经济体制，又称指令型经济，是一种经济体制，而这种体系下，国家在生产、资源分配以及产品消费各方面，都是由政府或财团事先进行计划，是有规划、计划地发展经济。

从而避免了市场经济发展的盲目性、不确定性等问题，给社会经济发展造成的危害。

如：重复建设、企业恶性竞争、工厂倒闭、工人失业、地域经济发展不平衡、产生社会经济危机等问题。

计划经济是共产主义的经济体系，它的建立为社会经济的发展提供科学的保证。

只有实现计划经济这一科学体系，社会经济才能消除资本主义市场经济所产生的不利影响，才能达到社会经济高速、平稳和健康的发展。

计划经济又称指令型经济，是对生产、资源分配以及产品消费事先进行计划的经济体制。

由于几乎所有计划经济体制都依赖于指令性计划，因此计划经济也被称为指令性经济。

解决三个基本经济问题的是政府，所谓的三个经济问题是指:生产什么、怎样生产和为谁生产。

而其中大部份的资源是由政府所拥有的，并且由政府所指令而分配资源的，不受市场影响。

4.4.2 市场经济
市场经济（又称为自由市场经济或自由企业经济）是一种经济体系，在这种。