通信原理-第10章-数字信号最佳接收

P(0) f1(r)
在发送“0”和发送“1”的先验概率相等时，简化为：
若f0(r) > f1(r)，则判为“0” 若f0(r) < f1(r)，则判为“1”
——最大似然准则
7
推广到多进制信号的场合。
设在一个M 进制数字通信系统中，可能的发送码元是 s1，s2，…，si，…，sM之一，它们的先验概率相等， 能量相等。当发送码元是si时，接收电压的k 维联合概 率密度函数为
按照能消除码间串扰的奈奎斯特速率传输基带信号时， 所需的最小带宽为(1/2Ts) Hz。对于已调信号，若采 用的是2PSK或2ASK信号，则其占用带宽应当是基带 信号带宽的两倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，在工程 上，通常把(Eb/n0)当作信号噪声功率比看待。
19
相关系数 对误码率的影响
fi (r)
1
2 n
k
exp
1 n0
Ts 0
2 r(t) si (t) dt
若 fi (r ) f j (r ), 则判为si(t)，
其中， j i
j
1,
2,
,
M
8
10.3 确知数字信号的最佳接收机
确知信号：指其取值在任何时间都是确定的、可以预知的 信号。
判决准则
当发送码元为“0”，波形为so(t)时，接收电压的概率密度
4
接收矢量的两个联合概率密度函数f0(r)和f1(r)的曲线
A0
A1
f0(r) P(A0/1)
f1(r) P(A1/0)
r0
r
将此空间划分为两个区域A0和A1，其边界是r0， 将判决规则规定为：
若接收矢量落在区域A0内，则判为发送码元是“0”； 若接收矢量落在区域A1内，则判为发送码元是“1”。
总误码率 Pe P(1)P( A0 / 1) P(0)P( A1 / 0)
5
A0
A1
Pe P(1)P( A0 / 1) P(0)P( A1 / 0)
f0(r) P(A0/1)
f1(r) P(A1/0)
Pe P(1) A0 f1(r)dr P(0) A1 f0 (r)dr
r0
r
Pe
P(1) f0 (r0 ) P(0) f1(r0 )
A0 f0(r)
P(A0/1)
A1
f1(r) P(A1/0)
r0
r
在判决边界确定之后，按照接收矢量r 落在区域A0应判为 收到的是“0”的判决准则，有： 若 P(1) f0 (r ) 则判为“0” ；
P(0) f1(r)
若 P(1) f0 (r) 则判为“1” 。——似然比准则
当s0(t) = s1(t)时，＝1，为最大值；
当s0(t) = -s1(t)时，＝－1，为最小值。
所以 的取值范围在-1 +1。
17
Pe
1 2
1
erf
Eb (1 2n0
)
1 2
erfc
Eb
(1 2n0
)
误码率曲线
它给出了理论上二进 制等能量数字信号误 码率的最佳（最小可 能）值。
1 exp r / 2
2
1 2
e
xp
Eb
/
2n0
相干2PSK信号
1 erfc r 2
1
erfc 2
Eb / n0
差分相干2DPSK信号 1 exp r
2
1 2
exp
Eb
/
n0
同步检测2DPSK信号
erfc
r 1 1 erfc 2
r
erfc
Eb n0
1
1 2
erfc
Eb n0
21
10.8 数字信号的匹配滤波接收法
由 PY ( f ) H *( f )H( f )PR( f ) H( f ) 2 PR( f )
输出噪声功率
No
H ( f ) 2 n0 df n0
2
2
H( f ) 2 df
输出信噪比
在抽样时刻t0上，输出信号瞬时功率与噪声平均功率之比为
r0
so (t0 ) 2 No
H ( f )S( f )e j2ft0 df 2
SM(t)
相关接收法
由最佳接收机得到的误码率是理论上可能达到的最小值。
14
10.4 确知数字信号最佳接收的误码率
总误码率
Pe P(1)P(0 / 1) P(0)P(1 / 0)
P(1)
1
a
x2
e 2
2
dx
P(0)
2
1
2
b
e
x2
2
2
dx
a n0 ln P(0) 1
dB
18
最佳接收性能特点
误码率仅和Eb / n0以及相关系数有关，与信号波形及噪
声功率无直接关系。 码元能量Eb与噪声功率谱密度n0之比，实际上相当于信
号噪声功率比Ps/Pn。 因为若系统带宽B等于1/Ts，则有
Eb PsTs Ps Ps Ps n0 n0 n0 (1 / Ts ) n0B Pn
)s0
(t
)dt
则判为发送码元是s1(t)。
式中
W0
n0 2
ln
P(0)
W1
n0 2
ln
P(1)
W0和W1可以看作是由先验概率决定的加权因子。 11
最佳接收机结构
W1
Ts o
r(t
) s1 ( t
)dt
W0
Ts 0
r(t
)s0
(t
)dt
r(t) S0(t)
S1(t)
积分器 积分器
W0 t = Ts 比较判决 W1
则判为发送码元是s1(t)。 10
假设两个码元的能量相同，
Ts 0
s02 (t )dt
Ts 0
s12 (t )dt
若
W1
Ts o
r(t
) s1 ( t
)dt
W0
Ts 0
r
(t
)s0
(t
)dt
则判为发送码元是s0(t)；
若
W1
Ts o
r(t
) s1 ( t
)dt
W0
Ts 0
r
(t
2 r(t) si (t) dt
——似然函数
3
10.2 数字信号的最佳接收 “最佳”的准则：错误概率最小
主要讨论在二进制数字通信系统中如何使噪声引起的 错误概率最小。
判决规则
二进制通信系统总误码率Pe
Pe P(1)Pe1 P(0)Pe0
Pe1 = P(0/1) ； Pe0 = P(1/0) 这两个条件概率称为错误转移概率。
ks(t0 t)
匹配滤波器的冲激响应h(t)就是信号s(t)的镜像s(-t)，在 时间轴上（向右）平移了t0。
26
图解
s(t)
t1
0
(a)
t2
t
s(-t)
-t2
(0b) -t1
t
h(t)
t0 0
(c)
t2-t1 t
27
实际的匹配滤波器 h(t) ks(t0 t)
则有
r0
H ( f ) 2 df S( f ) 2 df
n0 H ( f ) 2 df
S( f ) 2 df
2E
n0
n0
2
2
式中
E S( f ) 2 df
—— s(t)的总能量
24
频域结论：
当 H ( f ) kS * ( f )e j2ft0 时， 得到最大输出信噪比2E/n0。 H(f)就是最佳接收滤波器传输特性。 H(f)等于信号码元频谱的复共轭（除了常数因子外）。
n0 H ( f ) 2 df 2
23
利用施瓦兹不等式求 r0的最大值
2
f1( x) f2 ( x)dx
f1( x) 2 dx
f2( x) 2 dx
若
f1(
x)
kf
* 2
(
x)
其中k为任意常数，则上式的等号成立。
令 f1( x) H ( f ),
f2 ( x) S( f )e j2ft0
2 P(1) 2
Ts 0
[
s1
(t
)
s0
(t
)]2
dt
b n0 ln P(1) 1
2 P(0) 2
TS 0
[
s0
(t
)
s1
(t
)]2
dt
15
先验概率对误码率的影响
先验概率不等时的误码率将略小于先验概率相等 时的误码率。
就误码率而言，先验概率相等是最坏的情况。 当先验概率相等时：
P(0) = P(1) = 1/2，a = b。
故称为匹配滤波器。
25
时域结论：
匹配滤波器的冲激响应函数：
h(t ) H ( f )e j2ftdf kS * ( f )e j2ft0 e j2ftdf
k
s(
)e
j
2f
d
*
e
j
2f
(
t
0
t
)df
k
e
j
2f
(
t0
t
)df
s(
)d
k
s( ) (
t0 t )d
P(1)
r0'
f1 (r )dr
P(0)
r0'
f0 (r)dr
求出使Pe最小的判决分界点r0
Pe r0'
P(1) f1(r0' )
P(0) f0 (r0' )
0
最佳分界点r0的条件：
P(1) f1(r0 ) P(0) f0 (r0 ) 0
6
P(1) f1(r0 ) P(0) f0 (r0 ) 0
f (n) fk (n1 , n2 ,, nk ) f (n1 ) f (n2 ) f (nk )
1
1
2 n
k
exp
n0
Ts 0
n2
(t
)dt
接收信号r(t)为 ：r(t) = s(t) + n(t)
其k 维联合概率密度函数为
fi (r)
1
1
2 n
k
exp
n0
Ts 0
f0(r)
1
2 n
k
exp
1 n0
Ts 0
2 r(t) s0(t) dt
当发送码元为“1”，波形为s1(t)时，接收电压的概率密度
f1(r)
1
1
2 n
k
exp
n0
Ts 0
r
(t
)
s1
(t
2
) dt
因此，将上两式代入判决准则式，经过简化，得到：
9
若
P (1) e xp
两码元波形 相关系数 误码率Pe
举例
波形相同
= 1
1/2
波形相反
= -1
1 2
erfc
Eb n0
2PSK
波形正交
= 0
两种码元中有一 种的能量等于零
1 2
erfc
Eb
2n0
1 2
erfc
Eb 4n0
2FSK/MSK 2ASK
2ASK信号的性能比2FSK信号的性能差3dB，
2FSK信号的性能又比2PSK信号的性能差3dB。
1 n0
Ts 0
r (t )
s1
(t
2
) dt
P (0) e xp
1 n0
Ts
0
r(t
)
s0
(t
)
2
dt
则判为发送码元是s0(t)；
若
P (1) e xp
1 n0
Ts 0
r (t )
s1
(t
2
) dt
P (0) e xp
1 n0
Ts
0
r(t
)
s0
(t
)
2
dt
则判为发送码元是s1(t)。
Pe
1
2
e dx c
x2
2
2
c 1
2
Ts 0
[
s0
Байду номын сангаас
(
t
)
s1
(t
)]2
dt
对于给定的噪声功率，误码率仅和两种码元波形之 差[s0(t) – s1(t)]的能量有关，而与波形本身无关。
差别越大，c 值越小，误码率Pe也越小。
16
先验概率相等时误码率
Pe
1 2
1
erf
Eb (1 2n0
20
10.7 实际接收机和最佳接收机的性能比较
实际接收机的Pe 最佳接收机的Pe
相干2ASK信号
1 erfc r / 4 2
1
erfc 2
Eb / 4n0
非相干2ASK信号
1 exp r / 4
2
1 2
exp
Eb
/
4n0
相干2FSK信号
1 erfc r / 2 2
1
erfc 2
Eb / 2n0
非相干2FSK信号
12
若二进制信号的先验概率相等，则W0＝W1
简化为
Ts 0
r(t )s1(t
)dt
Ts 0
r
(t
)s0
(t）dt
最佳接收机的原理方框图简化成
积分器
S0(t) r(t)
t = Ts 积分器
比较判决
S1(t)
13
M 进制通信系统的最佳接收机结构
积分器
S0(t)
比
积分器
较
r(t)
S1(t)
判 决
积分器
第10章 数字信号最佳接收
1
10.1数字信号的统计特性
在噪声干扰中的数字信号接收 统计接收，统计判决
统计模型
消息空间 信号空间
观察空间
X
S
+
R
判决 规则
噪声空间 n
判决空间 Y
2
m
发送信号为s(t)，有m种取值s1 s2 ...sm , Pi 1 i 1
信道噪声n(t)为均值为0的高斯白噪声，其k维联合概率 密度函数为：
分别取对数：
若
1 n0 ln P(1)
Ts 0
r(t)
s1 ( t
)
2 dt
n0
ln
1 P(0)
Ts 0
r(t) s0(t) 2 dt
则判为发送码元是s0(t)；
若
1 n0 ln P(1)
Ts 0
r(t)
s1(t )
2
dt
n0
ln
1 P(0)
Ts 0
r(t) s0(t) 2 dt
)
1 2
erfc
Eb
(1 2n0
)
码元的相关系数 ，其定义如下：
Ts 0
s0 (t
)s1(t )dt
Ts 0
s0
(t
)s1
(t
)dt
Ts 0
s02
(
t
)dt
Ts 0
s12
(t
)dt
E0 E1
E0