弯曲变形

EIf


P(a 0

x)
(0 x a) (a x L)
EIf



1 2
P(a

x)2

C1
D1
EIf

1

6
P(a

x)3

C1
x

C2
D1 x D2
应用位移边界条件求积分常数
EIf
(0)

1 6
Pa3

C2Байду номын сангаас

0
EI
(0)


1 2
Pa2
EIf (x) M(x)dx C1
EIf (x) ( M(x)dx)dx C1x C2
如何确定积分常数 C1 C2 ?
2.确定积分常数的方法
P
A
C
B
D
P
边界条件：
f A 0 fB 0
fD 0 D 0
光滑连续条件：
f C fC 或写成fC 左 fC 右
第六章 弯曲变形
§6-1 工程中的弯曲变形问题 §6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §6–3 按叠加原理求梁的挠度与转角 §6–4 梁的刚度校核 §6-5 提高弯曲刚度的一些措施
§6－１ 工程中的弯曲变形问题
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。
研究目的：①对梁作刚度校核；
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
最大挠度及最大转角
max
(L)

PL2 2EI
PL3 fmax f ( L) 3EI
例2 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：建立坐标系并写出弯矩方程
a
P
L
x
P(a x) (0 x a)
M(x) 0
(a x L)
f
写出微分方程的积分并积分
(0 x a) (a x L)
最大挠度及最大转角
max
(a)

Pa 2 2EI
a
P
L
x
fmax

f (L)
Pa 2 6EI
3L a
f
§6-3 按叠加原理求梁的挠度与转角
一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。
fc左 = fc右
fD左 = fD右
D左 D右
例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
M(x) P(L x)
f
写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数
EI f M(x) P(L x)
EIf

P
q 例3 按叠加原理求A点转角和C
A
B 点挠度。
C
a
a
P
=
解、载荷分解如图 由梁的简单载荷变形表，
A
B
查简单载荷引起的变形。
+

PA
Pa 2 4 EI
Pa 3 f PC 6EI
q
A
B
qA
qa 3 3 EI
5qL4 fqC 24EI
P
q
A
B
C
a
a

PA
Pa 2 4 EI
Pa 3 f PC 6EI


1 2
P(L

x)2

C1
EIf
(0)

1 6
PL3

C2

0
EI (0)

EIf
(0)


1 2
PL2

C1

0
EIf

1 6
P(L

x)3

C1 x

C2
C1

1 2
PL2
; C2


1 6
PL3
P L
x
f
写出弹性曲线方程并画出曲线
f ( x) P (L x)3 3L2 x L3 6EI
(P1P2 Pn ) 1(P1 ) 2(P2 ) n (Pn )
f (P1P2 Pn ) f1(P1 ) f2 (P2 ) fn (Pn )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。
其方程为：
f=F(x)
小变形
三、转角与挠曲线的关系： tan df f
(1)
dx
注意:
挠曲线必须是光滑和 连续的，任意截面都 有唯一的挠度和转角
§6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 一、挠曲线近似微分方程
1 Mz(x)
F
F
A
C EI
D
B
l
l
l
解：原荷载可看成为图a和b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。
F
(a)
wC1
C1
直线
wC1 C1 2l
wB1 B1
F
·
(b)
wD1
直线
D1
wD1 D1 BD
wB2
B 2
对图a，可得C截面的挠度和转角为：
F
(a)
C

C

或 写 成 C
左

C
右
例：确定以下边界条件
f A 0 fB 0
fA 0
A 0
f A 0 fB LBC
光滑连续条件:挠度、转角均唯一。
分三段，AC，CD，DB，有6个积分常数
边界条件：
fA 0, A 0,
fB =0
连续条件： 光滑条件：

EI z
1

(1
f (x) f2)
3
小变形

2
f
(x)
f (x) Mz (x) EI z
----挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EIf (x) M(x)
二、求挠曲线方程（弹性曲线） 1.微分方程的积分
EI f (x) M(x)

C1

0
a
P
L
x
f
(a ) (a ) C1 D1
f (a ) f (a )
C1a C2 D1a D2
C1

D1

1 2
Pa2
; C2

D2


1 6
Pa3
写出弹性曲线方程并画出曲线
P
f
(
x)


6EI P
6EI
(a x)3 3a2 x a3 3a2 x a3
工程中弯曲变形的利用
叠板弹簧
叠板弹簧应有较大的变形,才可以更好地起缓冲 减振作用.
一、度量梁变形的两个基本位移量
1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用f 表示。
与 f 同向为正，反之为负。

C
P x 2.转角：横截面绕其中性轴转
v
动的角度。用 表示，顺时
f
C1
挠曲线
针转动为正，反之为负。
qA
qa 3 3 EI
f qC

5qL4 24EI
=
P 叠加
A
B
A PA qA
+
a2

(3P 4qa)
12EI
q
A
B
5qa4 Pa 3
fC 24EI 6EI
求:fB, B
(1) 分解载荷
（2）叠加
例 利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自 由端B截面的挠度和转角。