最新高一数学暑假预科讲义 第2讲 一元二次不等式解法 拔高教师版

目录
第二讲一元二次不等式解法 (2)
考点1：一元二次不等式及其解集 (2)
题型一：解一元二次不等式 (3)
题型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 (4)
题型三：一元二次不等式的逆向运用 (7)
题型四：一元二次不等式恒成立问题 (8)
第二讲 一元二次不等式解法
考点1：一元二次不等式及其解集
1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：
250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠.
设一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式
20ax bx c ++>的解集为{}
21x x x x x ><或，不等式20ax bx c ++<的解集为
{}21
x x x
x <<
2.对于一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设
ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来
讨论一元二次不等式2
0ax bx c ++>(0)a >或2
0ax bx c ++<(0)a >的解集.
24b ac ∆=-
0>∆ 0=∆ 0<∆
二次函数
c
bx ax y ++=2（0>a ）的图象
20(0)ax bx c a ++=>的根
有两相异实根 )(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b
x x 221-==
无实根
的解集)0(02>>++a c bx ax
{}2
1
x x x x x ><或
⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2
R
的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21
x x x
x <<
∅ ∅
3.解一元二次不等式的步骤
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程2
0ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：
①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根a
b
x x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.
题型一：解一元二次不等式
例1. 解下列一元二次不等式
（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2
450x x -+-> 【解析】（1）方法一：因为2
(5)410250∆=--⨯⨯=>
所以方程2
50x x -=的两个实数根为：10x =，25x =函数2
5y x x =-的简图为：
因而不等式2
50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2
50(5)0x x x x -<⇔-<050x x >⎧⇔⎨
-<⎩ 或0
50
x x <⎧⎨->⎩解得05x x >⎧⎨<⎩ 或
05
x x <⎧⎨>⎩，即05x <<或x ∈∅.因而不等式2
50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一：因为0∆=，方程2
440x x -+=的解为122x x ==.
函数2
44y x x =-+的简图为：
所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠
方法二：2
2
44(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2
(2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠
（3）方法一：原不等式整理得2450x x -+<.因为0∆<，方程2
450x x -+=无实数解，函数245y x x =-+的简图为：
所以不等式2
450x x -+<的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅.
方法二：∵2
2
45(2)110x x x -+-=---≤-<∴原不等式的解集是∅. 例2.解下列一元二次不等式
（1）2420x x -->；（2）2613280x x --<；（3）2(11)3(21)+++x x x x ≥； （4）2450x x ++>；（5）220x x -+->；（6）22320x x -->；（7）240x x ->；
（8）210x x -+≤；（9）2233312
x x x -+>-．
6)(7)+∞，(2)⎫+∞⎪
⎭，（7）题型二：含字母系数的一元二次不等式的解法
例3.解下列关于x 的不等式 （1）2
2
21x ax a -≤-+； （2）210x ax -+>；
（3）()210x a x a -++<.
【解析】(1) 22
210[()1][()1]011x ax a x a x a a x a -+-≤⇒---+≤⇒-≤≤+ ∴原不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+. (2) Δ=a 2
-4
当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R. （3）(x-1)(x-a)<0
当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a} 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1} 当a=1时，原不等式的解集为Φ. 例4.解关于x 的不等式
（1）)0(01)1
(2
≠<++
-a x a x ；
①a=1或a=-1时，解集为∅；
（2）2
2
3
()0x a a x a -++>（a R ∈）；
【答案】2
2
3
2
()0()()0x a a x a x a x a -++>⇒--> 当a ＜0或a ＞1时，解集为2
{|}x x a x a <>或； 当a=0时，解集为{|0}x x ≠；
当0＜a ＜1时，解集为2
{|}x x a x a <>或； 当a=1时，解集为{|1}x x ≠； （3）()2
110ax a x ++－＜；
【解析】若a=0，原不等式⇔－x+1＜0⇔x ＞1；
（1）当a=1时，原不等式⇔x ∈∅；
综上所述：
当a=0时，解集为{x|x ＞1}；
当a=1时，解集为∅；
（4）()()120ax x --≥； 【答案】当a=0时，x∈(-∞,2].
①当a>0时，
（5）2
210ax x -<＋；
当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，
②a<0时，
若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R； 若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1；
（6）()2212x ax a a ∈R －＞
当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；
题型三：一元二次不等式的逆向运用
例5.（1）不等式2
0x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式2
10nx mx +->的解集.
【解析】由题意可知方程2
0x mx n +-=的两根为4x =和5x = 由韦达定理有45m +=-，45n ⨯=- ∴9m =-，20n =-
∴2
10nx mx +->化为2
20910x x --->，即2
20910x x ++<
（2）设关于x 的不等式()()110()ax x a R -+<∈的解集为{}1|1x x -<<,则a 的值是（ ）
A.-2
B.-1
C.0
D.1
【答案】∵关于x 的不等式(ax -1)(x +1)<0(a ∈R)的解集为{x |-1<x <1}，
即a 的值是1，故选D 。

（3）已知2
20ax x c ++>的解为11
32
x -
<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->.
∴代入不等式2
20cx x a -+->得2
22120x x -++>， 即2
60x x --<，(3)(2)0x x -+<，解得23x -<<， 故不等式2
20cx x a -+->的解集为：(2,3)-.
（4）已知关于x 的不等式2
0x ax b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式
210bx ax ++>的解集.
【答案】由韦达定理有：1212a b -=+⎧⎨
=⨯⎩，解得32
a b =-⎧⎨=⎩, 代入不等式2
10bx ax ++>得
)
(1,)+∞.
题型四：一元二次不等式恒成立问题
例6.（1）已知不等式22
412ax x a x ＋＋＞
－对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 【解析】原不等式等价于(a ＋2)x 2
＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立， 显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2， 从而有2
20,
44(2)(1)0.a a a +>⎧⎨
∆=-+-<⎩
整理，得2,
(2)(3)0.
a a a >-⎧⎨
∆=-+>⎩
解得a ＞2.
故a 的取值范围是(2，＋∞)．
（2）已知关于x 的不等式()2
2
451(40)3m m x m x +---+>对一切实数x 恒成立，求
实数m 的取值范围.。