微分方程的阶
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1
第一节 微分方程的基本概念
§5.1.1 基本概念
下面通过几何、物理学、电学的几个具体 例题来阐明微分方程的基本概念。
2
例1 已知曲线上任一点出的切线斜率等于这边横坐 标的两倍，试建立曲线满足的关系式。根据导数的 几何意义，我们知道所求曲线应满足关系
dy 2x. dx
3
例2. 质量为m的物体只受重力的作用而自由降落，试 建立物体所经过的路程s与时间t的关系。
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
14
xydx ( x2 1) dy 0 补例2. 解初值问题 y(0) 1
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程
讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程:
微分方程
分离变量 是否可分离变量
y2xy
y1dy2xdx
是
3x25xy0 dy(3x25x)dx
是
x2y2)dxxydy=0 ————
例5.
求微ຫໍສະໝຸດ Baidu方程
dy dx
x
1
y
1的通解.
13
补例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx y
两边积分
得 ln y x3 C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即
令C eC1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 )
把物体降落的铅垂线取作s轴，其指向朝下（朝向地心）。 设物体在时刻t的位置为s＝s(t)。物体受重力 F=mg的作用而自由下落，物体下落运动的加速度
a d 2s .
dt 2 由牛顿第二定律F=ma，得物体在下落过
程中满足的关系式为
d 2s m dt2 mg,
或
d 2s dt2 g.
4
微分方程的基本概念
可分离变量的微分方程的解法
分离变量: 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式
两端积分: g(y)dy f (x)dx 设积分后得 G(y)F(x)C
求显式解: 求方程由G(y)F(x)C所确定的隐函数 yF(x)或xY(y)
方程G(y)F(x)C yF(x)或xY(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
,
M max f (x, y) . ( x, y)D
9
§5.2.2 解的存在与唯一性定理
可分离变量方程
dy dx
f1 ( x)
f2 ( y)
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
解分离变量方程 g( y)dy f (x)dx
10
可分离变量的微分方程
不是
y1xy2xy2 y(1x)(1y2)
是
y10xy
10ydy10xdx
是
y x y yx
————
不是
11
可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程
12
例1. 求微分方程 dy x 的通解，和满足初值 dx y
条件 y x0 1的特解.
例2. 求方程 (1 y2 )dx x(1 x2 ) ydy 0 的通解.
可化为分离变量的微分方程
1. dy f (ax by) (a, b是常数) dx
作变量代换 z ax by
第五章 微分方程初步
在许多实际问题中，会遇到复杂的运 动过程，表达运动规律的函数往往不能直 接得到。但是根据问题所给的条件，有时 可以得到含有自变量与未知函数及其导数 （微分）的关系式。这样的关系式叫做微 分方程。微分方程建立后，对它进行研究 ，即找出未知函数，这就是解微分方程。 本章主要介绍微分方程的一些基本概念和 几种常用的微分方程的解法。
如果 f (x, y) 在矩形区域 D: x x0 a, y y0 b内连续，
而且对于 y适合利普希茨条件
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y1
则初值问题在区间I [x0 h, x0 h] 上存在唯一解， 其中常数
h
min
a,
b M
凡表示未知函数与未知函数导数以及自变 量之间的关系式，叫做微分方程 .
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数， 叫做 微分方程的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y, , y(n) ) 0 或 y(n) f (x, y, y, , y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
例3 通解:
dy dx
2x
例4
y x1 2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
6
例5. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
7
第二节 一阶微分方程
一阶微分方程是含 x, y及 y '的方程。
它的一般形式是
F(x, y, y ') 0.
最简单的一阶微分方程是 dy f (x) dx 改写成
dy f (x)dx.
8
§5.2.1 解的存在与唯一性定理
定理 解的存在与唯一性定理
对于微分方程
dy dx
f
(x, y)和初值条件 y(x0) y0，
5
微分方程的解 — 满足微分方程的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
第一节 微分方程的基本概念
§5.1.1 基本概念
下面通过几何、物理学、电学的几个具体 例题来阐明微分方程的基本概念。
2
例1 已知曲线上任一点出的切线斜率等于这边横坐 标的两倍，试建立曲线满足的关系式。根据导数的 几何意义，我们知道所求曲线应满足关系
dy 2x. dx
3
例2. 质量为m的物体只受重力的作用而自由降落，试 建立物体所经过的路程s与时间t的关系。
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
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xydx ( x2 1) dy 0 补例2. 解初值问题 y(0) 1
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程
讨论下列方程那些是可分离变量的微分方程:
微分方程
分离变量 是否可分离变量
y2xy
y1dy2xdx
是
3x25xy0 dy(3x25x)dx
是
x2y2)dxxydy=0 ————
例5.
求微ຫໍສະໝຸດ Baidu方程
dy dx
x
1
y
1的通解.
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补例1. 求微分方程
的通解.
解: 分离变量得 dy 3x2 dx y
两边积分
得 ln y x3 C1
或
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
即
令C eC1
ln y x3 ln C
( C 为任意常数 )
把物体降落的铅垂线取作s轴，其指向朝下（朝向地心）。 设物体在时刻t的位置为s＝s(t)。物体受重力 F=mg的作用而自由下落，物体下落运动的加速度
a d 2s .
dt 2 由牛顿第二定律F=ma，得物体在下落过
程中满足的关系式为
d 2s m dt2 mg,
或
d 2s dt2 g.
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微分方程的基本概念
可分离变量的微分方程的解法
分离变量: 将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式
两端积分: g(y)dy f (x)dx 设积分后得 G(y)F(x)C
求显式解: 求方程由G(y)F(x)C所确定的隐函数 yF(x)或xY(y)
方程G(y)F(x)C yF(x)或xY(y)都是方程的通解 其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
,
M max f (x, y) . ( x, y)D
9
§5.2.2 解的存在与唯一性定理
可分离变量方程
dy dx
f1 ( x)
f2 ( y)
M1(x)M 2 ( y) dx N1(x) N2 ( y) dy 0
解分离变量方程 g( y)dy f (x)dx
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可分离变量的微分方程
不是
y1xy2xy2 y(1x)(1y2)
是
y10xy
10ydy10xdx
是
y x y yx
————
不是
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可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y))
的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程
12
例1. 求微分方程 dy x 的通解，和满足初值 dx y
条件 y x0 1的特解.
例2. 求方程 (1 y2 )dx x(1 x2 ) ydy 0 的通解.
可化为分离变量的微分方程
1. dy f (ax by) (a, b是常数) dx
作变量代换 z ax by
第五章 微分方程初步
在许多实际问题中，会遇到复杂的运 动过程，表达运动规律的函数往往不能直 接得到。但是根据问题所给的条件，有时 可以得到含有自变量与未知函数及其导数 （微分）的关系式。这样的关系式叫做微 分方程。微分方程建立后，对它进行研究 ，即找出未知函数，这就是解微分方程。 本章主要介绍微分方程的一些基本概念和 几种常用的微分方程的解法。
如果 f (x, y) 在矩形区域 D: x x0 a, y y0 b内连续，
而且对于 y适合利普希茨条件
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y1
则初值问题在区间I [x0 h, x0 h] 上存在唯一解， 其中常数
h
min
a,
b M
凡表示未知函数与未知函数导数以及自变 量之间的关系式，叫做微分方程 .
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数， 叫做 微分方程的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y, , y(n) ) 0 或 y(n) f (x, y, y, , y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
例3 通解:
dy dx
2x
例4
y x1 2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
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例5. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
7
第二节 一阶微分方程
一阶微分方程是含 x, y及 y '的方程。
它的一般形式是
F(x, y, y ') 0.
最简单的一阶微分方程是 dy f (x) dx 改写成
dy f (x)dx.
8
§5.2.1 解的存在与唯一性定理
定理 解的存在与唯一性定理
对于微分方程
dy dx
f
(x, y)和初值条件 y(x0) y0，
5
微分方程的解 — 满足微分方程的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)