42正态随机变量的线性组合

即 Y1 Y2 Y3 ~ N (18, 0.27),
故所求概率为
P{Y1 Y2 Y3 19} P{
Y 3
i1 i
18
19 18}
0.27
0.27
1 ( 1 ) 1 (1.92) 1 0.9276 0.0274
0.27
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电路由3只独立工作的电阻串联而成 （1）求电路的总电阻W 超过19的概率;
解 (1) 分别记3只电阻器的电阻为Y1,Y2,Y3, 则有 Yi ~ N (6, 0.32 ), i 1, 2, 3,
且Y1,Y2,Y3相互独立,所以
Y1 Y2 Y3 ~ N (3 6, 3 0.32 ),
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• 例2 一电路由3只独立工作的电阻串联而成, (1)已知电阻器的电阻(以欧计)Y ~ N (6,0.32 ),
求电路的总电阻W超过19的概率; (2)设电阻器的电阻 Y ~ N (6, 2 ), 若求电
路的总电阻W 超过19的概率小于0.005, 问要控制 至多是多少？
由上述定理知X-Y服从正态分布，且
E( X Y ) E( X ) E(Y ) 1 D( X Y ) D( X ) (1)2 D(Y ) 0.25
故X Y : N (1, 0.25).
P{X Y 0} P{ X Y 1 0 1 } ( 1 )
0.25
0.25
0.25
(2) 1 (2) 0.0228
且Y1,Y2,Y3相互 独立,所以
按题意,需P求{Y1 Y使2 得Y3 19} .
P{ 3i1Yi 18 19 18} .
1 ( 1 ) .,
1 .,
( 1 ) 0.995 (2.567),
3 2 .
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例2 设X1, X2, …,X9相互独立，且都服从正态分布N(2 ,4)； Y1, Y2, Y3,Y4相互独立，且都服从正态分布N(1 ,1),又设
P{ X Y 1 25 / 36
01
}
1
25 / 36
01
25
/
36
1.2 0.8849
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作业 Ｐ112. 9
X与Y 相互独立，求 P{ X Y }.
解：由上述推论可知
1 9
X 9 i1 Xi :
N (2, 4), 9
14
Y
4
Yi
i 1
:
N (1, 1 ), 4
由X与Y 相互独立，得
X - Y : N (2 1, 4 1), 即X - Y : N (1, 25)
94
36
故P{X Y } P{X Y 0}
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4.2 正态随机变量的线性组合
引理 设Y1～N(0,σ2),Y2～N(0,1),且Y1,Y2相互独 立,则 Y1 Y2 N (0， 2 1).
定理1
设Y1
~
N
(
1
,
2 1
),
Y2
~
N (2 , 22 ),且Y1 ,Y2相互
独立，则有Y1
Y2
Cnn
,
C12
2 1
C22
2 2
L
Cn2
2 n
)
两个或多个相互独立的正态随机变量的线性组 合仍是正态变量.
推论 设X1, X2, …,Xn相互独立，且服从同一分布N(μ ,σ2)，
X
1 n
n i 1
Xi
是X1,
X2,
…,Xn的算术平均，则
X : N(0,1)或X : N(, 2 / n)
/ n
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~
N (1
2
,
2 1
2 2
).
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定理 设X1, X2, …,Xn相互独立，且Xi～N(μi ,σi2)， i=1,2, …,n,则对于不全为零的常数 C1, C2, …,Cn，有
U C1 X1 C2 X2 L Cn Xn
:
N (C11 C22 L
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4.2 正态随机变量的线性组合
引理 设Y1～N(0,σ2),Y2～N(0,1),且Y1,Y2相互独 立,则 Y1 Y2 N (0， 2 1).
提示：利用卷积公式
f X Y (z) f X (z y) fY ( y)dy,
或
f X Y ( z) f X ( x) fY ( z x) d x .
电路由3只独立工作的电阻串联而成,
(2)设电阻器的电阻Y ~ N (6, 2 ), 若求电路的总电阻W 超过19的概率小于0.005,问 要控制至多是多？
解：(2) 分别记3只电阻器的电阻为Y1,Y2,Y3,则 有 Yi ~ N (6, 2 ), i 1, 2, 3,
Y1 Y2 Y3 ~ N (, 3 2 ),
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例1 设内燃机汽缸的直径（以cm计）X～N(41.5 ,0.42) 活塞的直径（以cm计）Y～N(40.5 ,0.32),设X与Y相互独 立，若活塞不能装入汽缸则需要返工，求需返工的概率.
解：按题意，当活塞不能装入汽缸时要返工，故所 求概率为 P{X Y } P{X Y 0}