斯托克斯公式ppt课件
斯托克斯公式市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
n
cos
i
cos
j
cos
k,
的单位切向量为
t cos i cos j cos k
第17页
斯托克斯公式向量形式
rotA ndS A t ds
或 (rotA)n dS Atds
其中
(rotA)n rotA n
(R Q)cos (P R)cos (Q P )cos
第7页
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy
x
y
z
Pdx Qdyos cos cos
x
y
z
ds Pdx Qdy Rdz
其P中n
QR
{cos ,cos
,
cos
}
第8页
Stokes公式实质:
表示了有向曲面上曲面积分与其边界曲线上 曲线积分之间关系.
y z
z x
x y
At
A
n
P cos
Q cos
R cos
第18页
环流量
rotA ds Atds
Stokes公式物了解释:
向 量场 A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与 的侧符合右手法则)
第19页
例 轴转3 动设,其一角刚速体度绕过 原(点1
斯托克斯公式
x
ds y z
PQR
dydz dzdx dxdy
x
P
y Q
z
Pdx Qdy Rdz
R
rotA ndS A t ds
斯托克斯公式成立条件
斯托克斯公式物理意义
第21页
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz, 其 中 是 圆 周 x 2 y 2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
斯托克斯Stokes公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
目录
被卷入液态金属中杂质，密度与液态金属 不一样，HOW?
上浮至表面 下沉到底部。
普通杂质密度均小于液态金属，在大多数情况下要 上浮至液态金属表面 。
液态金属中杂质上浮或下沉速度，由?力来决定
杂质所受液体斥力
杂质运动阻力。
2024/2/18
1 第1页
1.3.6 斯托克斯（Stokes）公式
对于球形杂质:
v 4r 3 (1 2 ) g 2r 2 (1 2 ) g
3 6r
9
此式是著名Stokes公式。
式中，μ为运动粘度； r为杂质尺寸； ρ金为液态金属密度；ρ杂为杂质密度
2024/2/18
5 第5页
目录
v 2r 2 (1 2 ) g 9
杂质在液体金属内部上浮速度影响原因：
相反应用? 金属基复合材料液相制备过程
2024/2/18
7பைடு நூலகம்第7页
Pc 6rv
式中 v— 杂质运动速度； r — 杂质半径； η— 液态金属粘度； g — 重力加速度。
作用在杂质上力处于处于平衡时：
Q(1 2 ) g 6rv
2024/2/18
4 第4页
1.3.6 斯托克斯（Stokes）公式
所以，杂质匀速上浮速度为：
v Q(1 2 ) g 6r
目录
1）与杂质和金属之间密度差（1－2）成正比； 2）与杂质颗粒半径成正比，颗粒越大上浮速度越快； 3）与液态金属粘度成反比，温度越高，粘度越低，将有利
于杂质上浮。
怎样用？
2024/2/18
6 第6页
1.3.6 斯托克斯（Stokes）公式
目录
杂质沉浮速度非常主要，若此速度大则易 于去除，使液态金属得以净化，有利于取得优 质铸件，不然就难以净化。
经典高等数学课件D11-7斯托克斯公式
斯托克斯公式的又一种形式:
R Q P R Q P [( y z )cos ( z x )cos ( x y )cos ]dS
( P cos Q cos R cos )ds 其中: 的单位法向量为:n cos i cos j cos k , 的单位切向量为: cos i cos j cos k .
D D
14
*三、 环流量与旋度
1. 环流量的定义: 设向量场A( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线上的曲线积分
称为向量场A沿有向闭曲线的环流量.
A ds Pdx Qdy Rdz
复 习
1.高斯公式 （条件：封闭性，有向性，连续性）
P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy. 外
2.高斯公式的应用 （1）简化计算面积分 （2）物理意义 通量
Pdydz Qdzdx Rdxdy
Q P 即 dxdy P ( x , y )dx Q( x , y )dy ---格林公式 x y D
故格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.
8
3.记忆方法：
dydz dzdx dxdy
Pdx Qdy Rdz
4.另一种形式：
z R
o
1
x
Dx y
3 dydz dzdx dxdy (1,1,1) n dxdy 3 d .
《高等数学》1(2)高等数学(同济大学)课件下第11_7斯托克斯公式
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z
(4) 在G内处处有
P y
Q x
,
Q z
R y
,
R x
P z
机动 目录 上页 下页 返回 结束
证: (4) (1) 由斯托克斯公式可知结论成立; (1) (2) (自证)
(2) (3) 设函数
u(x, y, z) (x, y,z) P d x Q d y R d z (x0 , y0 ,z0 )
fy
cos cos
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
因此
P
d
x
P y
P z
cos cos
cos d S
P z
cos
P cos
y
d S
P z
d
z
d
x
P y
d
x
d
y
同理可证
Q d
y
Q x
d
x
d
y
Q d z
yd
zRdxFra bibliotekR y
d
y
d
z
R x
d
zd
x
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
则 P d x C P(x, y, z(x, y))d x
Dx
y
y
P(
x,
y,
z
(
x,
y))
d
x
d
y
Dx y
P P z y z y
d xd
y
(利用格林公式)
n
z
P y
高斯公式与斯托克斯公式 ppt课件
S 正向
L
图 22 9
S L
负向
定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连 续曲线.若函数 P, Q, R 在 S ( 连同 L ) 上连续,且有 一阶连续偏导数,则有斯托克斯公式如下:
前页 后页 返回
R Q
P R
Q P
(
S
y
z
)dydz
(1)
S
其中 S 取外侧.(1) 式称为高斯公式.
前页 后页 返回
证
下面只证
V
Rdxdydz z
S
Rdxdy
.
读者可类似
证明其余两式:
V
Pdxdydz x
S
Pdydz
,
V
Qdxdydz y
S
Qdzdx
.
这些结果相加便得到高斯公式 (1).
先设V是一个 xy 型区域,即其边界曲面 S 由曲面
当曲面 S 表示为 x x( y, z), y y(z, x) 时, 同样可证
Q
Q
S
dxdy x
z
dydz
L Qdy
(4)
R
R
S
dydz y
x
dzdx
L
Rdz
(5)
将 (3), (4), (5) 三式相加,即得公式 (2) .
如果 S 不能以 z z( x, y) 的形式给出, 则可用一些
P y
P z
cos cos
dxdy
22.3 高斯公式与斯托克斯公式 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
*定理22.3设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. V 上连续, 若函数P , Q , R 在⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰d d d V P Q R x y z x y z =⎰⎰d d +d d +d d ,(1)SP y z Q z x R x y 其中S 取外侧.(1) 式称为高斯公式.高斯公式则且有一阶连续偏导数,证下面只证∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d .V SRx y z R x y z d d d d d ,V S Px y z P y z x ∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰ ∂=∂⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d .V SQ x y z Q z x y 这些结果相加便得到高斯公式(1).先设V 是一个xy 型区域, 即其边界曲面S 由曲面证明其余两式:11():(,),(,),xy S z z x y x y D =∈读者可类似及垂直于()xy D 的柱面3S 组成(图22-7), ≤12(,)(,).z x y z x y 于是按三重积分的计算方21()(,)(,)d d d d d d xy z x y z x y V D RR x y z x y z z z ∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰22():(,),(,),xy S z z x y x y D =∈法,有227-图xyzO2S 1S 3S ()xy D 其中()2(,,((,))d d xy D R x y z x y x y=⎰⎰=-⎰⎰⎰⎰21(,,)d d (,,)d d S S R x y z x y R x y z x y12,S S 其中都取上侧. 21(,,)d d (,,)d d ,S S R x y z x y R x y z x y -=+⎰⎰⎰⎰()21((,,((,))(,,(,)))d d xy D R x y z x y R x y z x y x y =-⎰⎰()1(,,((,))d d xy D R x y z x y x y-⎰⎰积为零, 3S xy 在平面上投影面又由于=⎰⎰3(,,)d d 0.S R x y z x y 所以从而得到21d d d d d d d V S S Rx y z R x y R x y z -∂=+∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对于不是xy 型区域的情形, 一般可用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy 型区域来讨论.d d .SR x y =⎰⎰3d d S R x y +⎰⎰例1 计算22()d d d d ()d d ,SI y x z y z x z x y zx x y =-+++⎰⎰其中S 是边长为a 的正立方体表面并取外侧. ()22()()()d d d V I y x z x y xz x y zx y z ⎡⎤∂∂∂=-+++⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎰⎰⎰解应用高斯公式,201d 2aa ay a y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰000()d d d =d d (+)d a a aVy x x y z z y y x x=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.a =注若在高斯公式中,,,P x Q y R z ===则有d d d d d d (111)d d d .SVx y z y z x z x y x y z ++=++⎰⎰⎰⎰⎰ 于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V 的体积的公式:11d d d d d d .3S V x y z y z x z x y ∆=++⎰⎰解由于曲面不是封闭的, 不能直接应用高斯公式. 为了能使用高斯公式以方便计算, 可补一块平面221:4,1,S x y z +≤=并取下侧, 闭曲面.于是例2 计算22()d d d d ()d d ,Sy x z y z xz x y xz x y -+++⎰⎰S 225z x y =--1z ≥其中为曲面上的部分, 并取上侧.1S S 构成一封则122()d d d d ()d d S S y x z y z x z x y xz x y⋃-+++⎰⎰而122()d d d d ()d d S y x z y z x x z y xz x y -+++⎰⎰2()d d 4π.Dy x x y =-+=-⎰⎰因此22()d d d d ()d d Sy x z y z x z x y xz x y -+++⎰⎰()d d d Vx y x y z=+⎰⎰⎰222501d d (cos sin )d 0.r r r r r z πθθθ-=+=⎰⎰⎰4π.=q 1,S 1S 证以为球心作一半径充分小的球面使全部S q 落在所包含的区域内部, 并将坐标原点取在处. 由电学知识,在点(,,)M x y z 处的电场强度为3(),qE x i y j z k r=++ 例3 证明电学中的高斯定理: 在由点电荷q 所产生的Eq 静电场中, 电场强度向外穿过任何包含在其内S 4π.q 部的光滑封闭曲面的电通量都等于0.P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂所以穿过1S 的电通量为13d d d d d d S qx y z y z x z x y a ++⎰⎰ 33d d d 4π,Vqx y z q a =⋅=⎰⎰⎰1S V 1S a 其中取外侧, 是包围的半径为的球体.228-图xyzS1S qO∙其中222r x y z =++易验证(参见图22-8 ) 设3(,,),qxP x y z r=33(,,),(,,),qy qz Q x y z R x y z r r ==1d d d d d d d d d d d d SS P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y++-++⎰⎰⎰⎰⎛⎫∂∂∂=++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰d d d 0,P Q R x y z xy z Ω所以穿过S 的电通量为d d d d d d SP y z Q z x R x y++⎰⎰1d d d d d d S P y z Q z x R x y =++⎰⎰4π.q =S 1S Ω在与所围的空间区域上应用高斯公式, S 1S 界的外测是的外侧和的内侧. 其边因为先对双侧曲面S 的侧与其边界曲线L 的方向作如下设有人站在S 上指定的一侧, 若沿L 行走, 指定的侧总在人的左方, 若沿L 行走, 指定的侧总在人的右方, 则人前进的方向为边界线L 的负向. 手法则, 如图22-9 所示.斯托克斯公式规定:的正向;则人前进的方向为边界线L 这个规定也称为右229图LS负向LS定理22.4设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线.函数P , Q , R 在S ( 连同L ) 上连续, 且有一阶连续偏导数,其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定.=++⎰d d d ,(2) LP x Q y R z ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰d d d d d d S R Q P R Q P y z z x x y y z z x x y 若则有斯托克斯公式如下:证先证其中曲面S 由方程确定,(,)z z x y =d d d d d ,L SP P z x x y P x z y ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰ (3)cos cos ,.cos cos z z x y αβγγ∂∂=-=-∂∂(,,1),x y z z --向数为(cos ,cos ,cos ),αβγ方向余弦为所以它的正侧法线方若S 在xy 平面上的投影为区域(),xy D L xy 在平面上的投影为曲线.Γ公式有现由第二型曲线积分定义及格林(,,(,)),P P z P x y z x y y y z y∂∂∂∂=+⋅∂∂∂∂所以()(,,(,))d d .xy D P x y z x y x y y ∂=-∂⎰⎰因为()(,,(,))d d xy D P x y z x y x yy ∂-∂⎰⎰(,,)d (,,(,))d L P x y z x P x y z x y x Γ=⎰⎰ d d d d d ,L SP P z x x y P x z y ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰ (3)d d .S P P z x y y z y ⎛⎫∂∂∂=-+⋅ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰d d SP P z x y y z y ⎛⎫∂∂∂-+⋅ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰d d cos cos cos S P Px y y z γβγ⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰由于cos ,cos z y βγ∂=-∂cos cos d S P P Sy z γβ⎛⎫∂∂=-- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰从而cos d d cos S P P x y y z βγ⎛⎫∂∂=--⋅ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰d d d d d ,L SP P z x x y P x z y ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰ (3)d d d d .S P P z x x y z y ∂∂=-∂∂⎰⎰∂∂-=∂∂⎰⎰⎰d d d d d ,(4) L SQ Q x y y z Q y x z ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰d d d d d .(5)L SR R y z z x R z y x 将(3), (4), (5) 三式相加, 即得公式(2) . 如果S 不能以(,)z z x y =的形式给出, 光滑曲线把S 分割为若干小块, 综合上述结果, 便得到所要证明的(3)式.当曲面S 表示为(,),(,)x x y z y y z x ==时, 同样可证种形式来表示. 因而这时(2) 式也能成立.则可用一些使每一小块能用这为了便于记忆, 斯托克斯公式也常写成如下形式:∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰d d d d d d d d d . L Sy z z x x y P x Q y R z x y z PQR解L⎰(1S=⎰⎰132d d 2d d d d 11.22Sy z z x x y =+-=+-=⎰⎰⎰L例4 计算面的交线, 方向L x 为平面车胎状的环形区域则是非单连通的.与平面曲线积分相仿, 空间曲线积分与路线的无关性也有下面相应的定理.不经过V 以外的点而连续收缩于属于V 的一点.如: 两同心球面所界定的区域仍是单连通的; 区域V 称为单连通的, 注上述之单连通, 又称为“按曲面单连通”.义是: 对于V 内任一封闭曲线L , 均能以L 为边界, 绷起一个位于V 中的曲面.例如果V 内任一封闭曲线皆可而形如其意d d d LP x Q y R z++⎰与路线无关;d d d 0;LP x Q y R z ++=⎰ (i) 对于内任一按段光滑的封闭曲线L 有Ω(ii) 对于内任一按段光滑的封闭曲线L ,曲线积分Ω等价的:上连续, 且有一阶连续偏导数,设3R Ω⊂为空间单连通区域. 若函数P ,Q , R 在Ω则以下四个条件是例5验证曲线积分()d ()d ()d Ly z z z x y x y z+++++⎰与路线无关, 并求被积表达式的原函数(,,).u x y z 这个定理的证明与定理21.12 相仿, 这里不重复了.在内处处成立. ,(iv),P Q Q R R Py x z y x z∂∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂Ω(iii) d d d P x Q y R z Ω++是内某一函数u 的全微分,即d d d d ;(6)u P x Q y R z =++xyOz2211图-(,,M x y z 0000(,,)M x y z 210(,,)()d ()d ()d .M Mu x y z y z x z x y x y z =+++++⎰ 0M M 0M 取如图22-11, 从沿平行于x 轴的直线到所以曲线积分与路线无关.1,P Q Q R R P y x z y x z∂∂∂∂∂∂======∂∂∂∂∂∂解对于,,P y z Q z x =+=+显然有,R x y =+现在求原函数:0;c =0M 为原点, 则得若取为任意点, 则为一任c 意常数.000000()c x y x z y z =-++其中是一个常数. 0()(),x y z z xy xz yz c ++-=+++0000(,,)()d ()d ()d yxzx y z u x y z y z s z x t x y r=+++++⎰⎰⎰00000()()()()y z x x z x y y =+-++-100(,,),M x y z 再沿平行于20(,,),M x y z y 轴的直线到最后沿平行于z 轴的直线到(,,).M x y z 于是0M 若取。
11[1].7斯托克斯公式 - 高数课件
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3(1),(3) ; 4(1);
作业P246 总习题十一
3 (2) , (4) ; 4 (2) 5
cos α cos cos
dS
x y z
zxy
3 3
3dS
例2.计算 I ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy
z
(0,0,1)
(x2 y2 )dz其中为平面 x y z 3
2
截立方体 {(x,y,z )|0≤x,y,z≤1}的
o
(0,1,0)
y
截痕的边界. 从x轴正向看为逆 x (1,0,0)
(切记此两类情况下的斯托克斯公式)
场论中的三个重要概念 设 梯度: 散度:
旋度:
则 向 量 微 分 算 子
称为Nabla算子或哈密顿 (Hamilton)算子
思考与练习
则
提示:
事实上只需要r具有二阶连续偏导数, 习题11-7 6 (P245)
作业P245
2 (1),(3),(4) ; 5 (2) ;
在包含在内的一个空间 域内具有连续一阶偏导数, 则有
(斯托克斯公式)
注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯 托克斯公式就是格林公式．故格林公式是斯托 克斯公式的特例. 另要注意P, Q, R的搭配, 及公式的记忆!
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
Pdx Qdy Rdz
(2) 对G内任一分段光滑曲线, 与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 且 (4) 在G内处处有
(用行列式记)
(4)即在G内处处有
ij x y PQ
(5) 在G内，力
k
0
z
R
为保守力.
例3*. 验证积分 与路径无关, 并求 的原函数 解: 令
第七节%20%20斯托克斯(stokes)公式%20%20环流量与旋度ppt
解 1 2 3 4 其中1：z 0, 2：x 0, 3：y 0, 4：z 1 x y
ds 1 则 dxdy 2 2 1(1+x+y) Dxy (1+x+y) 1 1 x 1 1 dx dy ln 2 2 0 0 (1+x+y) 2
j y Q
k z R
x P
因此，stokes公式可以写成向量形式 rot A nds A ds(3) 或 (rot A ） n ds A ds 公式（3）可叙述为：向量场 A沿有向闭曲线的环流量等于 向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量。
设向量常 A( x, y, z ) P( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k , 则
i R Q P R Q P 1)rot A { , , } y z z x x y 称为向量场 A的旋度。 2) ( P cos Q cos R cos )ds 称为向量场 A沿闭曲线的环流量。
第七节 斯托克斯（stokes）公式 环流量与旋度
一 斯托克斯公式
stokes公式是Green公式的推广，它将曲面上的曲面 积分与沿的边界曲线积分联系起来。 定理1
设为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以为边界的分片光滑的有向曲 面，正向与的侧符合右手规则。 P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在 曲面(连同边界)上具有一阶连续 偏导数，则
例4 求面密度为0的均匀半球壳x 2 y 2 z 2 a 2 ( z 0) 对于z轴的转动惯量。
117斯托克斯公式 PPT资料共36页
1、流量（通量）
p Q R
A d s P d Q d y z R d dz G d x x a ( x d u y y s z s ) d
场论 表达 d式 iA vdv
物理定义：左端是流速为 A 在单位时间内流出闭曲面
y
x y y z zx
x (x,y,0)
定理2
*三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
PdxQ dyRdz
设曲面 的法向量为 n (c,c oo s ,cso ) s 曲线 的单位切向量为 (c ,c o o s ,cs o ) s
则斯托克斯公式可写为
x y z
x y Z
A( x, y,z ) 是矢量场，但 div A 却是数量场。
i jk
A（点乘）
3、旋度： rot A A
x y z
这里 A （叉乘）
PQR
都是以微分运算决定的量， 可依矢量代数及微分的规律建立若干个运算公式。
二、由积分运算决定的量 (n {c ,c o o ,c s s o }d , s{r d,d x ,d y }d z , n s d)
三、场
设f(x,y,z)及
A ( x , y , z ) p ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k
大学高数课件 8.7 第七节 斯托克斯公式与旋度
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
一个无旋无源场称为调 和场 .
调和场是物理学中的一 类重要的场 , 与调和函数有着密切联 系.
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G G G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
i 环流量 F dr x P
利用stokes公式, 有
j y Q
k dS z R
2. 旋度的定义: i j k 称向量 为向量场的旋度 (rot F ) . x y z P Q R
2
y 2 dx z 2 dy x 2 dz , 其 中 是 球 面
三、 求向量场 A ( z sin y )i ( z x cos y ) j 的旋度 .
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲
A 线积分,并计算积分值,其中 , 及n 分别如下: 为上半个球面 A y 2 i xy j xz k , 的单位法向量. z 1 x 2 y 2 的上侧, n 是
Dxy
x y 1 2 x y 3 2
I
4 3 ( x y z )ds ( 在上x y z ) 3 2 4 3 9 ds 2 3 3dxdy . 3 2 2 D
纳维-斯托克斯方程(N-S方程)详细推导ppt课件
粘性流体动力学基础
本构方程及N-S方程
李连侠
水力学与山区河流开发保护国家重点实验室 2009年4月
1
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
内容提要
• 流体运动分析及理想流体基本方程 • 真实流体受力分析 • 利用张量理论推导本构方程和粘性流体力学基本方程
2
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
1
3
g
x
Dvy Dt
fy
1
p y
2 y
x2
2 y
y 2
2 y
z 2
1
3
r
g
y
r
Dvz Dt
fz
1
p z
2z
x2
2z
y2
2z
z 2
1
3
g
z
矢量形式：
r Dv
ur f
1
p
r
2
1(gr )
Dt
3
28
本构方程和NS方程
粘性流体动适力学用基于础 牛顿流体
不可压缩流体的N－S方程： const
dx
vx
vx
x
dx
dydz
x
y
微元体及其表面的质量通量
＝
微元体内的 质量变化率
9
本构方程和NS方程
粘性流体动力学基础
1、x方向：dt时间内沿从六面体 x 处与 x+dx 处输入与输出的
质量差：
vx
dydzdt
vx
(vx
x
)
dx
dydzdt
(vx
x
)
dxdydzdt
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利用轮换对称性
dzd x
y
x
dxd y
z
y
3 d x d y
3 d x d y 3 .
Dxy
2
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz
Γ
其中Γ 是用平面x
y
z
3 截立方体 :
2
0 x 1, 0 y 1, 0 z 1
注 1º斯托克斯公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边
界曲线上的曲线积分之间的关系.
2º斯托克斯公式便于记忆的形式:
dcoysdz
或
P d x Qd y Rd z
x
P
dczodsx
y Q
dcxodsy
dS z
R
其中
n
{cos α,cos
β,cos γ}为指定侧的单位法向量.
(R Q) dydz (P R) dzdx (Q P ) dxdy
y z
z x
x y
0
0
(Q x
P y
)d
x
d
y
(Q(x, y,0) P(x, y,0))d xd y
x
y
D
z
n
O Dy
x = L
P( x, y,0)d x Q( x, y,0)d y
L
这正是格林公式.
(Q( x, y,0) P( x, y,0))d x d y
的正向边界曲线
在xOy面上的投影为C
C所围成的闭区域为D xy.
左边 Pdzdx P dxdy P cos β P cos γ dS
z
y
z
y
cos β
fy
, cos γ
1
1 fx2 fy2
1
fx2
f
2 y
故有 cos β f y cos γ
左边
P z
fy
取4为 3平面dxS 32
y2
z3Dx23y 的3(d上在xd侧y上被 ,Γx6所x围yy 的 z部分23，)
I 6 xy
其中Dxy为在xOy平面上的投影区域， xy为
Dxy的面积.
xy
1
2
1 8
3 4
I 9. 2
例3 为柱面 x2 y2 2 y 与平面 y = z 的交线从 z
轴正向看为顺时针, 计算 I y2 d x xyd y xz d z .
R dzdx x
R( x,
y,
z)dz
Γ
证明思路: 第二类曲面积分
第一类曲面积分
第二类曲面积分 首先证明第一式.
二重积分
第二类曲线积分
证
(1)
P z
dzdx
P y
dxdy
P( x,
y,
z)dx
Γ
: z f ( x, y), ( x, y) Dx y 方向为上侧
与平行 z 轴的直线 只交于一点,
x
z
Γ
三式相加可得
Rdydz y
R x
dzdx
R(
x,
y,
z)dz
Γ
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
Pdx Qdy Rdz
(2) 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可通过作辅助线面把 分成与z 轴只交 于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克 斯公式, 然后相加, 由于沿辅助曲线方向相 反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立.
的表面所得的截痕,若从 Ox轴的正向看去, 取逆时 针方向.
解 取为平面x y z 3的上侧被Γ所围的部分， 2
的单位法向量 n
1
1, 1, 1,
3
即 cos cos cos 1
3
111
333
I
dS
x y z
y2 z2 z2 x2 x2 y2
4 3
(
x
y
z)dS
x
y
D
4°何时采用斯托克斯公式？
当对坐标的曲线积分： P d x Q d y Rd z
的积分曲线的参数方程不易写出，或用直接法
计算较繁时，可考虑用斯托克斯公式.
5º如何选取 ？ 在斯托克斯公式中，是以为边界的任意
分片光滑曲面(只要P，Q，R在包含的一个空 间区域内具有一阶连续的偏导数即可).
y
Dxy
c
Pdzdx P dxdy Px, y, f ( x, y) dx 成立
z
y
c
即 Pdzdx P dxdy P( x, y, z) dx 成立
z
y
Γ
注 若取下侧，Γ也相应改成相反方向，上式仍成立.
Pdzdx z
P y
dxdy
P(
x,
y,
z)
dx
Γ
同理可证其余二式:
Qdxdy Q dydz Q( x, y, z)dy
斯托克
Pdx Qdy Rdz
斯公式
(R Q) dydz (P R) dzdx (Q P ) dxdy
y z
z x
x y
或
将斯托克斯公式分为三式
(1)
P z
dzdx
P y
dxdy
P
(
x,
y,
z)dx
Γ
(2)
Q x
dxdy
Q z
dydz
Q( x,
y,
z)dy
Γ
(3)
R y
d ydz
第十章
第七节 斯托克斯(Stokes)公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式 二、环量与旋度 ★ 三、空间曲线积分与路径无关的条件
一、斯托克斯公式
有向曲面的正向边界曲线： 的正向与的侧符合右手法则，如图.
n
右手法则
是有向曲面的 正向边界曲线
定理10.8 设Σ是光滑或分片光滑的有向曲面, 如果函数
一阶连续偏导数, 则
通常，取为平面或球面等法向量的方向 余弦易求的曲面.
例1 利用斯托克斯公式计算 z d x x d y y d z
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形 的整个边界,它的正方向与这个三角形上侧的法向 量之间符合右手规则.
解 记三角形域为, 取上侧,d Fra bibliotekdzx
z
d yd z d z d x d x d y
解(方法1) 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域且
P cos γdS y
P z
fy
P dxdy y
Px, y, f ( x, y)
y
P y
P z
fy
左边
P z
fy
P cos γdS
y
P z
f
y
P y
dxdy
y
Px,
y,
f
( x,
y)
P y
P z
fy
Px, y, f ( x, y) dxdy Px, y, f ( x, y) dx
3º斯托克斯公式是格林公式的推广
斯托克斯公式
特殊情形
是xOy面上的 有向闭区域时
格林公式
事实上，设 ：xOy面上的区域 D，上侧； z
：xOy面上的区域 D的边界L，逆时针 . n
Pdx Qdy Rdz
P( x, y,0)d x Q( x, y,0)d y
L
O y
x = L
在yOz面, zOx面上的投影为零