(交大版大学物理习题解答上册)---2质点运动定律习题思考题

习题2

2-1 质量为16kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为

6N x f =，7N y f =，当0t =时，0x y ==，2m /s x v =-，0y v =。当2s

t =时，求：

(1) 质点的位矢； (2) 质点的速度。 解：由 x x f a m =

，有：x a 263

m /168

s ==，27m /16y y f a s m -=

= （1）2

0035

22m /84

x x x

v v a dt s =+

=-+⨯=-⎰， 20077

2m /168

y y y v v a dt s -=+=⨯=-⎰。

于是质点在2s 时的速度：57m /s 48

v i j =--

（2）22011()22x y r v t a t i a t j =++

1317(224)()428216

i j -=-⨯+⨯⨯+⨯

137m 48

i j =--

2-2 摩托快艇以速率v 0行驶，它受到的摩擦阻力与速率平方成正比，可表示为F = -kv 2(k 为正值常量)。设摩托快艇的质量为m ，当摩托快艇发动机关闭后，求： (1) 求速率v 随时间t 的变化规律； (2) 求路程x 随时间t 的变化规律；

(3) 证明速度v 与路程x 之间的关系为x

0e

k v v '-=，其中m k k /='。

解：（1）由牛顿运动定律F ma =得：2

d v kv m

d t -=，分离变量有2k d v

d t m v

-=，

两边积分得：速率随时间变化的规律为

011k t v v m

=+； （2）由位移和速度的积分关系：0

t

x v dt =⋅⎰，

积分有：

00

0111ln()ln 1t

k k k x dt t k m v m m v t v m

=⋅=

+-+⎰

∴路程随时间变化的规律为：0ln(1)k k

x v t m m

=+ ； （3）由2

d v d x kv m

d x d t -=⋅

，k d v d x m v -=，∴00

x

v v k dv dx m v -=⎰⎰ 积分有：x

0k v v e '-=。

2-3．质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，

速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。 解：（1）由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：f kv =- 又由牛顿第二定律可得：dv f m

dt =，则dv

kv m dt

-= 分离变量，可得：dv k dt v m =-，两边同时积分，有：000t v dv k

dt v m

=-⎰⎰，

所以：t m

k

e v v -=0

（2）子弹进入沙土的最大深度也就是0v =的时候子弹的位移，则：

考虑到

dv dv dx dt dx dt =

，dx v dt =，可推出：m

dx dv k

=-，而这个式子两边积分就可以得到位移：00max 0v m m

x dv v k k

=-=⎰ 。

2-4．一条质量分布均匀的绳子，质量为M 、长度为L ，

一端拴在竖直转轴OO ′上，并以恒定角速度ω在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r 处绳中的张力T ( r )．

解：在绳子L 上距离转轴为r 处取一小段微元绳子，假设其质量为dm ，可知：M

dm dr L

=

，因为它做的是圆周运动，所以微元绳的所受合力提供向心力： L

Mdr

r

rdm r dT 22ωω==）（。 距转轴为r 处绳中的张力T ( r )将提供的是r 以外的绳子转动的向心力，所以两边

积分：）（）（）

（22

22r L L

M r dT r T L

r

-==⎰

ω。

2-5．已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2

/x k f -=，k 是比例常数．设质点在A x =时的速度为零，求质点在4/A x =处的速度的大小。

解：由题意：2k f x =-

，再由牛顿第二定律可得：2k dv

m x dt

-=， 考虑到dv dv dx dt dx dt =

，dx v dt =，可推出：2k mvdv dx x

=- 两边同时取积分，则：/4201

v A A m vdv k dx x

=-⎰⎰ 有：mA

k

v 6=

2-6．一质量为kg 2的质点，在xy 平面上运动，受到外力2

424F i t j =- (SI)的作用，0=t 时，它的初速度为034v i j =+

(SI)，求s t 1=时质点的速度及受到

的法向力n F 。

解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。

由：d v F m d t

= ，有：2

4242d v i t j dt -=⋅ ，两边积分有：

02

01(424)2v t v d v i t j dt =-⎰⎰ ，∴3024v v t i t j =+- ，