2016-2018年高考数学分类汇编：专题12排列组合、二项式定理 教师版

2016-2018年高考数学分类汇编：专题12排列组合、二项式定理目录全国1 (2)全国2 (3)全国3 (4)北京 (4)天津 (4)上海 (5)浙江 (6)江苏 (7)2016-2018年高考数学分类汇编：专题12排列组合、二项式定理细目题号2018题型分值题号全国Ⅰ文科理科15填56全国Ⅱ文科理科5选56全国Ⅲ文科理科5北京文科理科天津文科理科10填514上海文科理科3填42浙江江苏文科理科文\理14,163,6,23填填解81813,16232017题型分值选5选5选5填5填4填解8102016题号题型分值13填510填510填58填423解10考纲解读命题趋势计数原理1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2.排列与组合(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.3.二项式定理(1)能用计数原理证明二项式定理.(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.以选择,填空形式出现.难度属于中等.重点考查两个计数原理,排列组合,二项式定理的通项,相关系数和问题等知识.考查二项式定理居多.全国1【2018全国1卷理15】从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种(用数字填写答案)【答案】16【解析】方法一：符合题意的选法有两种情况：第一种情况是1女2男有C1C2=12种选法；24第二种情况是2女1男有C2C1=4种选法，共计C1C2+C2C1=12+4=16种选法；242424方法二：从总选法中减去不符合题意（即一个女生都不选）的选法，即：C3-C3=20-4=1664故答案为16.【2018全国1卷理6】(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为A.15【答案】：CB.20C.30D.35.= C k (2x )5-k ( x )= C 2x 5- 2．当 5 - k= 3 时， k = 4 ，基本事件空间 Ω=⎨ ( ⎩ (B 2, G 2),( B 2, G 3)，G 1,G 2)，G 1,G 3),( G 2, G 3)⎭ ⎬ 共 10 个 4 ( (【解析】： x 2 的系数为 C 2 + C 4 = 30 ,故选 C.66【2016 全国 1 卷理 13】 (2 x +【答案】：10x )5的展开式中， x 3 的系数是 .（用数字填写）【解析】：由展开式的通项为 Tk +15 5kk 5-kk 2所以 x 3的系数是 C 5 21 = 10 ，故答案为 10．全国 21、【2018 全国 2 卷理 5】从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3【答案】D【解析】设 2 名男同学为 B1,B2，3 名女同学为 G1,G2,G3⎧(B 1, B 2),( B 1,G 1)，B 1,G 2)，B 1,G 3),( B 2, G 1) ⎫( (都是女同学的有{ G 1, G 2)(G 1, G 3),(G 2,G 3)}共 3 个，所以概率为 3 10=0.3 .2、【2017 全国 2 卷理 6】安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（）A.12 种B.18 种C.24 种D.36 种【答案】D只能是一个人完成 2 份工作，剩下 2 人各完成一份工作．由此把 4 份工作分成 3 份再全排得 C 2 ⋅ A 3 = 3643在 x-⎪的展开式中，x2的系数为__________.r5-r ⎛⎝2x⎭2⎝2⎭全国3一、选择题1.【2017全国3卷理5】(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为（）A．-80B．-40C．40D．80【答案】C【解析】由二项式定理，原式展开中含x3y3项为x⋅C2(2x)2(-y)3+y⋅C3(2x)3(-y)2=40x3y3，55则x3y3的系数为40，故选C.北京【2016北京卷理10】在(1-2x)6的展开式中，x2的系数为__________.（用数字作答）【答案】60【解析】C2(-2x)2=60x26天津1.【2018天津10】⎛1⎫5⎝2x⎭5【答案】2【解析】Tr+11⎫r5⎛1⎫2=C x -⎪,5-r=2,r=2，C r -⎪= 55522.【2017天津14】(x)⋅⎛-1⎫⎪3x-⎪【解析】所有项的二项式系数之和为2=256，所以n=8，二项式的展开式中用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个。

（用数字作答）【答案】：1080【解析】有一个数字是偶数的四位数C3.C1.A4=960，全部是奇数的四位数A4=120,共5445计1080个3、【2016天津10】1(x2-)8的展开式中x7的系数为__________.(用数字作答)x【答案】-56【解析】C5825⎝x⎭3=-56x7上海⎛2⎫n【2016上海卷理8】在⎝x⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________【答案】112nT r+11=C r(x3)8-r(-2x-1)r8，如果为常数项r=2，从而计算出常数项为112【2017上海卷2】若排列数P m=6⨯5⨯4，则m=6【答案】：m=3【解析】：P3=6⨯5⨯4=P m66【2018上海卷3】在(1+x)7的二项展开式中，x2项的系数为（结果用数值表示）【答案】212x2x则8-r34【解析】C2=217浙江【2017浙江卷理13】已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a x4+a x3+a x2+a x+a，则12345a=，a=.45【答案】16；4【解析】可以先求a=4，a x=C2⋅x⋅4+C1⋅x⋅2=16x，所以a=16.54324【2017浙江卷16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法.（用数字作答）【答案】660【解析】可以两类：只有一名女生的选法有：C1⋅C3⋅(A3+C1⋅C2)=2⨯20⨯12=480；26323有两名女生的选法有：C2⋅C2⋅(A2+C1⋅A2+A2)=15⨯12=180，所以总共有660种不262222同的选法.【2018浙江卷14】二项式(3x+【答案】712x)8的展开式的常数项是.【解析】根据(3x+11)8，写出通项公式T=C r⋅(3x)8-r⋅()r，要求常数项，r+181+(-r)=0，解得r=2，所以常数项为C2⨯=7.8【2018浙江卷16】从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数.（用数字作答）【答案】1260【解析】分两类情况：（1）包含0的四位数：C2⨯C1⨯(A4-A3)=540；5343（2）不包含0的四位数：C2⨯C2⨯A4=720，总共有1260种.534江苏【2018江苏卷3】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为_________.【答案】90【解析】89+89+90+91+915=908999011（第3题）【2018江苏卷6】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为.【答案】3 10【解析】C233=C210 5【2018江苏卷选23】设n∈N*，对1，2，···，n的一个排列i i12i，如果当s<t时，有i>i，n s t则称(i,i)是排列i is t12i的一个逆序，排列i in12i的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：n对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记f(k)n为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f(2),f(2)的值；34（2）求f(2)(n≥5)的表达式(用n表示)．n【答案】见解析【解析】（1）记τ(abc)为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有τ τ τ τ τ 因此，n ≥5 时， f (2) =．2τ (123)=0 ， (132)=1， (213)=1， (231)=2 ， (312)=2 ， (321)=3 ，所以 f (0) = 1，f (1) = f (2) = 2 ．33 3对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此， f (2) = f (2) + f (1)+ f (0) = 5 ．43 3 3（2）对一般的 n （n ≥4）的情形，逆序数为 0 的排列只有一个：12…n ，所以 f (0) = 1 ．n逆序数为 1 的排列只能是将排列 12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以 f (1) = n - 1 ．n为计算 f n +1(2) ，当 1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将 n +1 添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此， f n +1(2) = f (2)+ f (1)+ f (0) = f (2) + n ． n n n n当 n ≥5 时，f (2) = [ f (2) - f nnn -1(2)] + [ f n -1(2)- f n -2(2)] + … + [ f (2) - f (2)] + f (2) 5 4 4= (n - 1) + (n - 2) +⋯+ 4 + f (2) =4n 2 - n - 22，n 2 - n - 2 n【20117 江苏选 23】23.（本小题满分 10 分）已知一个口袋中有 m 个白球， n 个黑球（ m , n ∈ N *, n ≥2 ），这些球除颜色外完全相同， 现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,..., m + n 的抽屉内，其中第 k 次取出的球放入编号为 k 的抽屉（ k = 1,2,3,..., m + n ）.证明：E(X)＜n则P(A)=n且P X=⎪=n+i-1(i=0,1,2,...,m)，(X)=∑m⎛ ⋅n+i-1⎪=⎝n+i C n∑⎛C1∑⎛n+i-1C n-2⎫n+i-2⎪⎪n+i⎭n+i n-1⎭i=0⎝n+m i=0⎝∑C∑⎛ C⎪=(i=0)mn+m i=0⎝n-1⎭n+m-n+m-123…m+n （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率；（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望.(m+n)(n-1).【答案】（1）nn+m；（2）同解析；【解析】（1）设编号为2的抽屉内放的是黑球为事件A，n-1m n n⋅+⋅=；n+m n+m-1n+m n+m-1n+m（2）由题意知，随机变量X的可能取值为111 ,,...,，n n+1n+m⎛1⎫C i⎝n+i⎭C nn+m所以E＜1m n-2⎫n+i-2C n n-1Cn+i-2mn-2n+m=C n-1C m(n-1)C1m=(n-1)C1m，n+m n+m=n (m+n)(n-1)原命题得证.【2016江苏选23】（1）求7C3-4C4的值；67（2）设m,n∈N*,n≥m，求证：+(C m+1+C m+1+...+C m+1)-(C m+1+C m+1+...+C m+1)(m+1)C m+(m+2)C mm m+1【答案】（1）0；（2）略；+(m+3)C m+...+nC m+(n+1)C m=(m+1)C m+2 m+2n-1n n+2【解析】（1）7C3-4C4=677⨯6⨯5⨯44⨯7⨯6⨯5⨯4-=0；3⨯2⨯14⨯3⨯2⨯1（2）由mC m=nC m-1，且C m+C m+1=C m+1，可得：n n-1n n n+1(m+1)C m+(m+2)C m+(m+3)C m+...+nC m+(n+1)C mm m+1m+2n-1n =(m+1)C m+1+(m+2)C m+(m+3)C m+...+nC m+(n+1)C m m+1m+1m+2n-1n m+1m+2n m+1m+2n=(n+2)C m+1-C m+2n+1n+2=(m+2)C m+2-C m+2n+2n+2=(m+1)C m+2n+2即原命题得证.。