方程的根与零点的关系

Δ>0
Δ＝0




f(x)＝0 3.对于函数y＝f(x)，我们把使 的 实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程f(x)＝0有实数根 x轴 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点 ⇔函数y＝f(x)有 零 点． 4．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连 续曲线，且有 ，则函数y＝f(x)在 f(a)f(b)<0 区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得 0 f(c)＝ .
＝(x3－3x1＋2)－(x3－3x2＋2) 1 2
3 ＝(x3－x2)－3(x1－x2) 1 2 ＝(x1－x2)(x2＋x2＋x1x2－3)>0， 1
∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在(1，＋∞)上是增函数．

(2)∵f(1)＝13－3×1＋2＝0， 且当x∈(1，＋∞)时， f(x)为增函数， ∴当x>1时，f(x)>0， 从而不存在x>1，使f(x)＝0， ∴方程f(x)＝0没有大于1的实数根．


3．方程的根与函数的零点的作用 一方面，函数是否有零点是研究函数性质和 精确地画出函数图象的重要一步．例如，求 出二次函数的零点及其图象的顶点坐标，就 能确定二次函数的一些主要性质，并能粗略 地画出函数的简图． 另一方面，对于不能用公式法求根的方程f(x) ＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起 来，利用函数的性质找出零点或所在范围， 从而求出方程的根或根的近似值．
[解析]
解法1：∵c＝f(0)，∴a· c＝a· f(0)<0
a<0， 或 f(0)>0.
a>0， 即a和f(0)异号，即 f(0)<0，
∴函数必有两个零点．∴选B. 解法2：∵ac<0，∴Δ＝b2－4ac>0， ∴有两个零点．

总结评述：判断二次函数f(x)的零点个数，就 是判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实根个 数，一般地由判别式Δ>0、Δ＝0、Δ<0完 成．对于二次函数在某个定义区间上的零点 个数以及不能用“Δ”判断的二次函数零点， 则要结合二次函数的图象进行．
[例 6]
1 函数 f(x)＝x＋ 的零点个数为( x B．1 个 D．至多 1 个
)
A．0 个 C．至少 1 个


[错解] ∵f(1)＝2>0，f(－1)＝－2<0， ∴f(x)至少有一个零点，故选C. [辨析] 解决函数问题必须注意函数的定义 域，本题中，函数f(x)定义域为(－∞，0)∪(0， ＋∞)，∴f(x)的图象不是连续不断的．在定义 域上不能用勘根定理．因为此定理的前提条 件是函数图象连续不断． [正解] 易知函数定义域为{x∈R|x≠0}，当 x<0时，f(x)<0，当x>0时，f(x)>0，∴函数无 零点，故选A.

4．(2010·天津理，2)函数f(x)＝2x＋3x的零点 所在的一个区间是 ( ) A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2) [答案] B
[解析] ∵f(0)＝1>0，f(1)＝5>0，f(－1)＝－ 5 2

[答案] C [解析] 当有变号零点时f(－1)·f(1)<0， 当有不变号零点时，f(－1)·f(1)>0，故选C.



[例4] 求函数f(x)＝(x2 ＋x－2)(x2 －2x－8)的 零点，并指出使y<0成立的x的取值范围． [解析] ∵y＝(x2 ＋x－2)(x2 －2x－8)＝(x＋ 2)(x－1)(x＋2)(x－4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4) ∴函数的零点为－2,1和4 画出示意图：
公式或分解因式求解． 3 3 ∴①由4x－3＝0得x＝4，零点是4. ②f(x)＝0，即(x－1)(x－2)＝0， ∴f(x)零点为1和2. ③∵f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1) 令f(x)＝0得x＝± 1，∴该函数零点为1和－1.
2．由题意知2和－4是方程x2＋ax＋b＝0的两根∴a＝ 2，b＝－8. 3．若a＝0，则f(x)＝－x－1仅有一个零点－1；若 1 a≠0，由Δ＝1＋4a＝0得a＝－ ，此时函数只有一个零点， 4 1 ∴当a＝0或－4时，所给函数有且仅有一个零点．



[证明] 假设f(x)＝0至少有两个不同的实根x1， x2 ，且不妨设x1<x2 ，由题意得f(x1)＝0，f(x2) ＝0. ∴f(x1)＝f(x2)① ∵f(x)在其定义域上是单调函数，不妨设为增 函数，由x1<x2则 f(x1)<f(x2)② 因此①、②相矛盾．假设不成立，故f(x)＝0 至多有一个零点．

总结评述：这是一个很明显的结论，但证明起 来却难以下手，要很好地体会证明方法．请应 用这个结论解决下面问题．


已知函数f(x)＝x3－3x＋2 (1)证明函数y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数 (2)证明方程f(x)＝0没有大于1的根
[解析]
(1)设x1>x2>1，则f(x1)－f(x2)
x 已知f(x)＝x ＋2x，g(x)＝－ －1，当x取何值时， 2
2
有f(x)＜g(x)．
[解析]
2
令F(x)＝f(x)－g(x)
5x 1 ＝x ＋ ＋1＝ (x＋2)(2x＋1) 2 2 1 由F(x)＜0得，－2＜x＜－ ， 2 1 ∴当－2＜x＜－ 时，f(x)＜g(x)． 2


[例5] 已知函数f(x)在其定义域上是单调函数， 证明f(x)至多有一个零点． [分析] 不妨设f(x)在R上是增函数，为证明 f(x)＝0 至多有一个实根，考虑用反证法证 明．
3．1
函数与方程
3．1.1
方程的根与函数的零 点




(1,0)，(－1,0) 1．函数y＝x2－1与x轴交点坐标为 ． x＝±1 方程x2－1＝0的实数根为 (0,0) . 函数y＝x2与x轴交点坐标为 ． x＝0 方程x2＝0的实数根为 无 . 无 函数y＝x2＋1与x轴交点 ． 方程x2＋1＝0的实数根 ．
2 函数f(x)＝lnx－ 的零点所在的大致区间是 x ( )
A．(1,2) 1 C．(1，e)和(3,4)
B．(2,3) D．(e，＋∞)

[分析] 从已知的区间(a，b)，求f(a)和f(b)判 断是否有f(a)·f(b)<0. [解析] ∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，
又∵f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数， ∴在(1,2)内f(x)无零点，非A. 2 又f(3)＝ln3－3>0，∴f(2)· f(3)<0 ∴f(x)在(2,3)内有一个零点． ∴选B.
1 ②由lgx＋2＝0得，lgx＝－2，∴x＝100. 1 故g(x)的零点为100.
f(－1)＝0 (2)由条件知 f(4)＝0 a＝1 ∴ b＝－3 a－b－4＝0 ，∴ 16a＋4b－4＝0
，
，∴f(1)＝a＋b－4＝－6.



[例2] 二次函数y＝ax2 ＋bx＋c中，a·c<0， 则函数的零点个数是 ( ) A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 [分析] 分析条件a·c<0，a是二次项系数， 确定抛物线的开口方向，c＝f(0)，所以a·c＝ a·f(0)<0，由此得解．



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(1) 对 于 函 数 f(x) ＝ x2 ＋ mx ＋ n ， 若 f(a)>0 ， f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内 ( ) A．一定有零点 B．一定没有零点 C．可能有两个零点 D．至多有一 个零点 (2)若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶 函数，且在(0，＋∞)上为减函数，f(2)＝0， 则函数f(x)的零点有 ( ) A．一个 B．两个

2．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的实数根及其相应的二次函数y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)的图象与x轴交点的关系如下表，请填写
Δ＝b2
函数y＝ ax2＋bx － ＋c图 4ac 象
方程的实根
y＝ax2＋bx ＋c与x轴 结论 的交点 方程 的 实 根 即 函 数 图 象 与



2．函数变号零点的性质． 对于任意函数y＝f(x)，只要它的图象是连续 不间断的，则有： ①当它通过变号零点时，函数值变号．如函 数f(x)＝x2－2x－3的图象在零点－1的左边时， 函数值取正号，当它通过零点－1时，函数值 由正变为负，再通过第二个零点3时，函数值 又由负变正． ②在相邻两个零点之间所有的函数值保持同 号．

本节重点难点：通过方程与函数的关系，确定 方程根的存在性和根的个数．


1．一般结论 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续 不间断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么， 函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在 c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c就是方程f(x) ＝0的根．零点c通常称作函数f(x)的变号零 点． 注意：f(x)的图象必须在区间[a，b]上连续不 断且f(a)·f(b)<0时，才可确定f(x)在[a，b]上 有零点．


[例1] 1.指出下列函数的零点： ①f(x)＝4x－3 ②f(x)＝x2－3x＋2 ③f(x)＝x4－1 2．函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是2和－4， 求a、b. 3．函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实 数a的取值范围．
[解析]
1.函数零点就是相应方程的实数根，可用求根

总结评述：这是最基本的题型，所用的方法也 是基本方法：只要判断区间[a，b]的端点函数 值的乘积是否有f(a)·f(b)<0.


若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续 不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有 一个实数根0，则f(－1)·f(1)的值 ( ) A．大于0 B．小于0 C．无法判断 D．等于零

[答案] (1)C (2)B [解析] (1)在如图所示情形，Δ>0，a<－
m 2 <b，f(x)在
(a，b)内有两个零点． (2)∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(2)＝0， ∴f(x)在(0，＋∞)上仅有一个零点2， 又f(x)为偶函数，∴f(x)在(－∞，0)上仅有一个零点－2.
[例3]

(1)指出下列函数的零点： ①f(x)＝x2－2x－3零点为________． ②g(x)＝lgx＋2零点为________． (2)已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点， 则f(1)＝________.
[答案]
[解析]
1 (1)①3，－1 ②100 (2)－6 (1)①f(x)＝(x－3)(x＋1)的零点为3和－1，

可知使y<0成立的x的取值范围是区间(1,4) 在求使y<0(或y>0)的x的取值范围时，常根据 零点的性质画出示意图，在数轴上标出零点， 画曲线时，奇过(乘方次数为奇数，即变号零 点)偶不过(乘方次数为偶数，即不变号零点) 直接据图示写出x的取值范围．这种方法通常 称作“标根法”(或“穿根法”)




一、选择题 1 ． 已 知 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 单 调 ， 且 f(a)·f(b)<0则方程f(x)＝0在区间[a，b]上 ( ) A．至少有一实根 B．至多有一 实根 C．没有实根 D．必有惟一的实 根 [答案] D





2．若方程2ax2 －x－1＝0在(0,1)内恰有一解， 则a的取值范围是 ( ) A．a<－1 B．a>1 C．－1<a<1 D．0≤a<1 [答案] B [解析] a＝0时，显然不满足，令f(x)＝2ax2 －x－1， ∵f(x)＝0在(0,1)内恰有一解．∴f(0)·f(1)<0， 即－1·(2a－2)<0.∴a>1.∴选B.

3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如 下的x、f(x)对应值表：
x
f(x)
1
2
3
4
5
－ 53.7 6
6
－ 126. 49
123.5 21.45 6



函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 [答案] B
－ 7.8 11.57 2