1.函数的零点与方程的根

a>0 ∆ = 8a 2 + 24a + 4 > 0 1 −1 < − <1 2a f (1) ≥ 0 f ( −1) ≥ 0 a<0 ∆ = 8a 2 + 24a + 4 > 0 1 或 −1 < − <1 2a f (1) ≤ 0 f ( −1) ≤ 0
定义证明.(2)因在 为增函数, 解:(1)定义证明 因在 ( −1,+∞ ) 为增函数 定义证明 为增,又 故在 (0,+∞ ) 为增 又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 所 以在(0,1)有且只有一个正根 下用二分法 有且只有一个正根.下用二分法 以在 有且只有一个正根 列表,区间 中点,中点函数值 约为 0.28(列表 区间 中点 中点函数值 列表 区间,中点 中点函数值)
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳： 一元二次函数、不等式、 知识归纳：、一元二次函数、不等式、方程的关系 1、
∆ = 0
∆ = 0
∆ < 0
二次函数
y = ax
2
+ bx + c
（ a > 0 ）的 图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根
(a
ax
2
> 0) 的根
+ bx + c = 0

3.方程有一正根一负根 ⇔ ac < 0
如果两根都大于2乍办？ 如果两根都大于 乍办？ 乍办
2.方程有两个不相等的负实数根 ⇔
∆ = b − 4 ac > 0 b x1 + x 2 = − > 0 a c x1 x 2 = > 0 a

∆ = b − 4 ac > 0 b x1 + x 2 = − < 0 a c x1 x 2 = > 0 a
⇔ 函数 y = f ( x) 的图象与 x 轴有 交点 ⇔ 函数 轴有交点
y = f ( x) 有零点（即横坐标） 零点（ 。 若函数f(x)的图像在 的图像在x=x0处与 轴相切，则零点 处与x轴相切， 若函数 的图像在 x0为不变号零点若函数 的图像在 不变号零点若函数 的图像在x=x0处与 若函数f(x)的图像在 处与x 相交，则零点x 轴相交，则零点 0为变号零点
解得 a ≥ 5 或 a <
−3 − 5 2
a >1 或
因此 a 的取值范围是
a≤
−3 − 5 ; 2
题型1： 题型 ：方 例 1.求下列函数的零点： 2 程的根与 ⑴ f ( x) = x − 2 x − 3 ； 函数零点 3 2 ⑵ f ( x) = x − x − 4 x + 4 lgx+ =3 例 2． 1） （ 方程 lg +x=3 的解所在区间为 C ） （ A．(0， B．(1， A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞) C．(2， D．(3，+∞
是实数， 例．已知a是实数，函数 已知 是实数 f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间 ，如果函数 在区间 [-1,1]上有零点，求a的取值范围。 上有零点， 的取值范围。 上有零点 的取值范围
解: 若 a = 0 , f ( x) = 2 x − 3 ,显然在上没有零点, 所以 令 ∆ = 4 + 8a ( 3 + a ) = 8a 2 + 24a + 4 = 0 当 a=
< x <x2}
∅
∅
注意： 注意：解不等式时二次项系数为负数时先化为正
2、一元二次方程的区间根问题 、 研究一元二次方程的区间根，有二种方法： 研究一元二次方程的区间根，有二种方法： 第一种方法：用初中的老办法：韦达定理： 第一种方法：用初中的老办法：韦达定理：
1.方程有两个不相等的正 实数根 ⇔ 2 2
3．求零点个数及所在区间： 求零点个数及所在区间： 解一：代数法： 的实数根， 解一：代数法：求 f(x)=0 的实数根，常用公 式法、因式分解、直接求解） 式法、因式分解、直接求解） 定理法： 解二：定理法：试探着找到两个值 a、b 的对 为一正一负， 应 值为一正一负 ，即有 f (a) ⋅ f (b) < 0 ， 若在区间
x1 , x 2 ( x1 < x 2 )
b x1 = x2 = − 2a
b 2a
无实根
ax 2 + bx + c > 0 ( a > 0 )的解集
ax 2 + bx + c < 0 ( a > 0 )的解集
{x x < x 或x > x } x x ≠ −
1 2
R
{x x
1
f (c) =0，这个 c 也就是方程的根。 存在变号零点） 也就是方程的根。 （
注意： 注意： (1) f ( x)为[ a, b]上的连续函数
(2) f (a) f (b) < 0是零点存在的一个充 分条件， 但不是必要条件，即：即使f (a) f (b) < 0不成立 f ( x)在[a, b]上也可能存在零点
2m − m ) 异号，由所给定理知，存在唯一的 异号，由所给定理知， 连续增函数且 f(1-m)与 f ( e 与
例 6 （ 上 海 02 高 考 ）、 已 知 函 数 x−2 x (a > 1) f ( x) = a + 。 x +1 (1)求 f(x)单调区间。 单调区间。 求 单调区间 (2)若 a=3,求证方程 f(x)=0 有且仅有一个正根。 有且仅有一个正根 正根。 若 求
[ a , b] 上连续， 函数 y = f ( x) 在区间 ( a , b ) 内至少 上连续， 则
有一个实数根, 单调性， 有一个实数根,若证明 y = f ( x) 在 [a, b] 单调性， 则 有且只有一个零点。 在 [a, b] 有且只有一个零点。 解三：几何法：利用数形结合的思想。 求函数F ( x ) = f ( x ) − g ( x )的零点可转化为 求函数y = f ( x )与y = g ( x )图像交点的横坐标
简单的用此法，复杂的用下面第二种方法。 简单的用此法，复杂的用下面第二种方法。 第二种方法
根 x1<x2<k k<x1<x2 x1<k<x2 的 分 布
x1,x2∈ (k1,k2)
x1、x2 有且仅 有 一 个 在 (k1,k2)内
图 象
充 要 ∆>0 条 f (k ) > 0 件 − b < k 2a
练习.已知x1是方程 lg x + x = 3的解，x2是 方程10 + x = 3的解，则x1 + x2 =
x
B 区间是（ ） 区间是（ A． ，2） （1， ） ． （
2 f ( x ) = ln x − (2)函数 函数 x 的零点所在的大致
B． ，3） ． （2， ） （
1 (1, ) C． e 和（3，4） D． ( e , +∞ ) ． ， ） ． y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 中， 例 3．(1)二次函数 ． 二次函数
∆>0 f (k) > 0 b − 2a > k
f (k ) < 0
∆≥0 f (k ) > 0 1 f (k2 ) > 0 b k1 < − < k2 2a
f (k1 ) ⋅ f (k2 ) < 0或 f (k1 ) = 0 检验是否其中 只一个 f (k2 ) = 0 检验是否其中 只一个
−3 − 7 f ( x ) 恰有一个零点在 [ −1,1] 上;
即
1< a < 5
当 f ( −1) f (1) = ( a − 1)( a − 5 ) < 0 点在 [ −1,1] 上; 当
时, y = f ( x ) 也恰有一个零
y = f ( x ) 在 [ −1,1] 上有两个零点时, 则
a ⋅ c < 0 ，则函数的零点个数是（ B） 则函数的零点个数是（
A．1 个 ． C．0 个 ．
B．2 个 ． D．无法确定 ．
y = x 2 − 2 x 的零点个数为（3个 ） (2)函数 的零点个数为（ 个 函数
练习：若函数 练习：若函数f(x)＝|4x－x2|＋a，求 ＝ － ＋ ， 满足下列条件a的值 的值． 满足下列条件 的值． (1)有两个零点；(2)有三个零点； 有两个零点； 有三个零点 有三个零点； 有两个零点 (3)无零点； 无零点； (4)有四个零点． 有四个零点． 无零点 有四个零点
2.零点存在性定理： 2.零点存在性定理：如果函数 y= f (x)在区间 [a,b]上的图 零点存在性定理 象是连续不断的一条曲线， 象是连续不断的一条曲线，并且有 f (a) f (b) <0，那么函 内有零点。 数 y= f (x) 在区间 (a,b) 内有零点 。 既存在 c∈(a,b) ， 使得
二、函数的零点与方程的根
1．方程的根与函数的零点 ． 概念： （1） ） 概念： 对于函数 y = f ( x)(x ∈ D) ， 把使 f ( x) = 0 成立的实数 x 叫做函数 y =
f ( x)( x ∈ D) 的零点。 零点。
（2）函数零点的意义：方程 f ( x) = 0 有实数根 ）函数零点的意义：
而当整数 m>1 时，
f ( e 2 m − m ) = e 2 m − 3 m > (1 + 1) 2 m − 3 m > 1 + 2 m +