传递函数
传递函数的计算
传递函数的计算
传递函数的计算是通过将系统的输入和输出之间的关系表示成一个代数式的方式来描述系统行为的。
传递函数通常用H(S)表示，其中S是复变量，代表系统所处的频域。
计算传递函数的方法是将系统的微分方程表示成拉普拉斯变换的形式，然后通过代数运算得到H(S)，公式为：
H(S) = Y(S) / X(S)
其中，X(S)和Y(S)分别是系统的输入和输出的拉普拉斯变换，其表达式为：
X(S) = L{x(t)} = ∫0e^(-st)x(t)dt
Y(S) = L{y(t)} = ∫0e^(-st)y(t)dt
通过这些表达式，可以将系统的输入和输出之间的关系表示成传递函数H(S)，进而进行系统设计、分析和优化等任务。
传递函数
2.3.6 典型环节及其传递函数
比例环节传递函数
输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。 输出量与输入量成正比的环节称为比例环节。即 则传递函数为
y(t) = K (t) ， x
G(s) =
Y(s) = K ，式中 式中K——放大系数 放大系数 X(s)
惯性环节(非周期环节 惯性环节 非周期环节) 非周期环节
Y(s)=0的根称为零点。 的根称为零点。 的根称为零点 X(s)=0的根称为极点。 的根称为极点。 的根称为极点 零点和极点的数值取决于系统的参数。 零点和极点的数值取决于系统的参数。
G(s)的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性。 的零极点分布决定系统动态特性
2.3.5 传递函数的特点
传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。 传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。
2.3.2 传递函数的概念
在零初始条件下，线性定常系统输出象函数Y(s)和输入象函数 在零初始条件下，线性定常系统输出象函数 和输入象函数X(s)之比，称为系统的传 之比， 和输入象函数 之比 递函数， 表示。 递函数，用G(s)表示。即 表示
d2 y(t) dy(t) m 2 +f +ky(t) = x(t) dt dt
2 ωn Y(s) 1 k G(s) = = 2 = 2 2 2 X(s) k s +2 ns +ωn T s +2 Ts +1 ξω ξ
则传递函数为
式中ω
k = n m
—— 无阻尼固有频率； ξ = 无阻尼固有频率；
f 1 —— 阻尼比； 阻尼比； 2 m k
dy(t) T + y(t) = Kx(t) dt
传递函数
2-6 传递函数求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件及外作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。
如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变。
为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多次重复的计算。
微分方程的阶次愈高，这种计算愈复杂。
因此，仅仅从系统分析的角度来看，就会发现采用微分方程这种数学模型，当系统阶次较高时，是相当不方便的。
以后将会看到，对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种数学模型将会遇到更大的困难。
目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法——频率法和根轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响。
所以传递函数是一个极其重要的基本概念。
一、传递函数的概念及定义在[例2-7]中，曾建立了RC 网络微分方程，并用拉氏变换法对微分方程进行了求解。
其微分方程（2-44）为)()(t u t u dtdu RC r c c =+ 假定初始值0)0(=c u ，对微分方程进行拉氏变换，则有)()()1(s U s U RCs r c =+网络输出的拉氏变换式为)(11)(s U RCs s U r c += （2-48）这是一个以s 为变量的代数方程，方程右端是两部分的乘积；一部分是)(s U r ，这是外作用（输入量）的拉氏变换式，随)(t u r 的形式而改变；另一部分是11+RCs ，完全由网络的结构参数确定。
将上式（2-48）改写成如下形式 11)()(+=RCs s U s U r c 令11)(+=RCs s G ，则输出的拉氏变换式可写成 )()()(s U s G s U r c =可见，如果)(s U r 给定，则输出)(s U c 的特性完全由)(s G 决定。
)(s G 反映了系统（网络）自身的动态本质。
这很显然，因为)(s G 是由微分方程经拉氏变换得到的，而拉氏变换又是一种线性变换，只是将变量从实数t 域变换（映射）到复数s 域，所得结果不会改变原方程所反映的系统本质，对照)(s G 与原微分方程（2-44）的形式，也可看出二者的联系。
传递函数特点
传递函数特点
1. 传递函数是一种函数式编程技术，它可以将函数作为参数传递给另一个函数，从而实现函数的复用和灵活性。
2. 传递函数可以提高代码的可读性和可维护性，使得代码更加简洁和优雅。
3. 传递函数可以帮助实现抽象，使得代码更加模块化，更容易维护和理解。
4. 传递函数可以改变函数的行为，因此可以让程序更加灵活，可以根据不同的场景和需求来调整函数的行为。
5. 传递函数可以提高代码的复用性，可以将多个函数封装在一起，从而实现代码的复用。
传递函数与频域分析
传递函数与频域分析传递函数是一种用于描述线性时不变系统（LTI）的频率响应的数学工具。
频域分析是一种将信号从时域（时间）转换为频域（频率）的方法。
这两个概念在电路分析、信号处理、控制系统等领域中都有广泛的应用。
首先，我们来介绍一下传递函数。
传递函数是一个将输入信号与输出信号进行关联的函数。
对于一个LTI系统而言，传递函数是该系统的冲激响应的拉普拉斯变换。
传递函数描述了系统对输入信号的响应方式，从而可以推断出输出信号的特性。
传递函数通常用H(s)表示，其中s是复变量，表示频率域。
传递函数可以用于分析系统的幅频响应和相频响应。
通过将H(s)带入不同频率的复指数形式，可以得到系统的频率响应曲线。
幅频响应描述了系统对不同频率的输入信号的幅度放大或衰减程度，相频响应描述了系统对不同频率的输入信号的相位改变。
通过分析传递函数的峰值和相位延迟等参数，可以了解系统对不同频率信号的响应特性，从而进行系统设计和优化。
频域分析是一种将信号从时域（时间）转换为频域（频率）的方法。
频域分析可以通过对信号进行傅立叶变换或拉普拉斯变换来实现。
傅立叶变换用于处理连续时间信号，而拉普拉斯变换用于处理离散时间信号。
通过将信号从时域表示转换为频域表示，可以将信号的频率成分（频谱）可视化，进而分析信号的频域特性。
频域分析可以帮助我们理解信号的频率成分、谐波分布、峰值位置等。
例如，频域分析可以帮助我们确定音频信号中的基频和谐波成分，进而进行音频处理和音乐合成。
在控制系统中，频域分析可以帮助我们理解系统的稳定性和响应特性，从而设计合适的控制器。
在通信系统中，频域分析可以帮助我们确定信道特性，进行信号调制和解调。
传递函数与频域分析密切相关。
通过对传递函数进行频域分析，可以得到系统的频率响应曲线。
频域分析可以帮助我们理解传递函数的物理意义和系统特性，从而进行系统建模和仿真。
传递函数可以通过频域分析的方法进行测量和估计，从而验证系统设计和优化性能。
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
自控理论 2-2传递函数
当 ui ( t ) = 1( t )时,
− t 1 −1 τs 则u0 ( t ) = L ⋅ =e τ τs + 1 s 1
图2-8 RC电路 电路
当 τ << 1 时，可近似认为 G ( s ) ≈ τs
5. 振荡环节
d 2 c( t ) dc( t ) 2 T + 2ζT + c( t ) = Kr ( t ) 2 dt dt
运放 2
U 2 ( s ) τs + 1 G2 ( s) = = U 1 ( s) Ts
( 2 − 38)
式中
τ = R3C
T = R2C
功放
U a ( s) G3 ( s) = = K2 U 2 ( s)
( 2 − 39)
附:电枢控制直流电动机的微分方程 电枢控制直流电动机的微分方程
dmc d 2n dn TaTm 2 + Tm + n = K u ua − K m (Ta + mc ) dt dt dt La ; 电磁时间常数 Ta = Ra 传递系数 1 Ku = Ce 机电时间常数 Tm Km = J ( 2 − 10)
m m −1
∏ (s − z
j =1 n i =1
m
j
)
∏ (s − p )
i
式中
z j ( j = 1 , 2 L m )为传递函数的零点； 为传递函数的零点； p i ( i = 1 , 2 L n )为传递函数的极点； 为传递函数的极点； K 1 = b0 为传递系数或根轨迹增 益。
② 时间常数表达式
n≥m
当初始条件均为零时，两边取拉氏变换 当初始条件均为零时，
(s
传递函数和频率响应函数的概念
传递函数和频率响应函数的概念1. 传递函数与频率响应函数的定义传递函数和频率响应函数是在控制系统分析中经常被使用的两个重要概念。
传递函数表示了系统的输入和输出之间的关系，通常用于描述线性时不变系统的动态特性。
而频率响应函数则是描述系统对不同频率信号的响应特性，帮助我们分析系统对于输入信号频率的衰减或放大情况。
2. 传递函数的深入理解传递函数通常用 H(s) 或 G(s) 表示，其中 s 是复数变量。
传递函数可以表示为系统的输出与输入的比值，其实际上是系统的冲激响应与冲激输入的拉普拉斯变换。
通过传递函数，我们可以分析系统对于各种输入信号的时域和频域响应，从而更好地理解系统的动态特性。
3. 频率响应函数的广度分析频率响应函数通常可以表示为H(jω)，其中ω 是频率变量。
它可以描述系统对于不同频率输入信号的幅度和相位特性，通过频率响应函数，我们可以清晰地了解系统在不同频率下的放大或者衰减情况，从而更好地设计控制系统并进行频域分析。
4. 传递函数和频率响应函数间的关系传递函数和频率响应函数之间存在着密切的关系。
事实上，频率响应函数可以通过传递函数来得到，通过传递函数的极点和零点，我们可以清晰地了解系统对于不同频率信号的响应情况，从而利用频率响应函数来优化系统的控制性能。
5. 个人观点和理解对于传递函数和频率响应函数的理解，我认为它们是控制系统分析和设计中非常重要的概念。
通过对传递函数和频率响应函数的深入理解，我们可以更好地了解系统的动态特性，在控制系统设计中更加灵活地选择合适的控制策略。
频率响应函数还可以帮助我们进行系统的稳定性分析和频域设计，对于系统的性能指标如稳定裕度、相位裕度等有着重要的指导意义。
总结回顾传递函数和频率响应函数作为控制系统分析中的重要概念，对于系统的动态特性和频域特性有着深刻的影响。
通过对传递函数和频率响应函数的分析，我们可以更好地理解系统的动态响应和频率特性，从而更好地设计和优化控制系统。
自动控制原理传递函数
y(t) y kt
S平面 j
x(t) 1(t)
0
t
0 Re
有一个0值极点。在图中极点用“ ”表示，零点用“ ”
表示。K表示比例系数，T称为时间常数。
3/18/2024 2:47:29 AM
20
积分环节实例
积分环节实例：
①
C
R
ui
ui (s) uo (s)
R
1 Cs
uo
uo (s) 1
LCs 2
1 RCs
1
3/18/2024 2:47:28 AM
2
传递函数的定义： 系统初始条件为零时，输出变量的拉普拉
斯变换与输入变量的拉普拉斯变换之比，称为 系统的传递函数。 记做： Y (s) G(s) 或 Y (s) G(s)U (s)
U (s)
U(s)
Y(s)
G(s)
3/18/2024 2:47:28 AM
R2 I2 (s) UO (s)
G(s) U0 (s) 1 1 Ts Ui (s) 1 Ts
T R1R2C R1 R2
R1 R2
R2
3/18/2024 2:47:28 AM
7
复习拉氏变换
②性质：
⑴线性性质：L[f1(t) f2 (t)] F1(s) F2 (s)
⑵微分定理：L[ f (t)] sF (s) f (0)
L[ f(t)] s2F (s) sf (0) f (0)
L[ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f (0) ... f (n1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f
(t)dt]
F (s) s
⑷时滞定理：L[ f (t T )] est f (t T )dt esT f (s) 0
第六章 传递函数
第六章 传递函数对于线性定常系统，传递函数是常用的一种数学模型，它是在拉氏变换的基础上建立的。
用传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以根据传递函数在复平面上的形状直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。
因此，传递函数是经典控制理论的基础，是一个极其重要的基本概念。
第一节 传递函数的定义一、传递函数的定义1、定义对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉()()C s R s ==零初始条件输出信号的拉氏变换传递函数输入信号的拉氏变换2、推导设线性定常系统的微分方程的一般形式为1011110111()()()()()()()()n n n n nn m m m m mm d d d a c t a c t a c t a c t dtdtdtd d d b r t b r t b r t b r t dtdtdt------++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++◆ 式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，r(t)、c(t)及其各阶导数在t=0时的值均为零，即零初始条件。
◆a ， 1a ，…，na 及b ， 1b ，…，mb 均为系统结构参数所决定的实常数。
对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s 的代数方程为：11011011[]()[]()nn mm n n m m a s a sa s a C sb sb sb s b R s ----++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++于是，由定义得到系统的传递函数为：10111011()()()()()m m m m nn n nb s b sb s b C s M s G s R s a s a sa s a N s ----++⋅⋅⋅++===++⋅⋅⋅++其中，1011()m m m m M s b s b s b s b --=++⋅⋅⋅++ 1011()n n n n N s a s a s a s a --=++⋅⋅⋅++ N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统特征根。
传递函数
xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量； K—比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量
与输入量之比。
比例环节的传递函数为
Xo (s) G(s) K Xi (s)
例
求图示一齿轮传动副的传递函数, n i (t) 和 no (t) 分别 为输入轴及输出轴转速,Z1和Z2为齿轮齿数,(当齿轮 副无传动间隙,且传动系统刚性无穷大时,为理想状 态). 因为：
典型环节的传递函数 ：
具有某种确定信息传递关系的元件、元件组 或元件的一部分称为一个环节
任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成， 控制系统中常用的典型环节有： 比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、 振荡环节和延迟环节等
1、比例环节
输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。 其运动方程为：xo(t)=Kxi(t) 拉氏变换为：Xo(s)=KXi(s)
X 0 ( s) K G( s) X i ( s) Ts 1
式中: K－环节增益（放大系数）； T－时间常数，表征环节的惯性，和环 节结构参数有关
例
如：弹簧－阻尼器环节
dx 0 ( t ) C Kx 0 ( t ) Kx i ( t ) dt K 1 C G (s) , T Cs K T s 1 K
6、延迟环节（也称传输滞后环节）
运动方程： 传递函数：
x 0 (t) x i (t )
G(s) e
s
式中， 为纯延迟时间。 其输出滞后输入时间τ，但不失真地反映输入，延迟 环节一般与其它环节共存，不单独存在。
延迟环节与惯性环节的区别
惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输 出要滞后一段时间才接近所要求的输Байду номын сангаас值； 延迟环节从输入开始之初，在0～τ时间内,没有输出，但t =τ之后，输出完全等于输入。
自动控制原理传递函数
自动控制原理传递函数自动控制原理中，传递函数是一个非常重要的概念。
传递函数可以描述控制系统的输入和输出之间的关系，通过传递函数，我们可以分析系统的动态特性，设计控制器，进行系统仿真和性能评估。
因此，了解和掌握传递函数的概念和应用是非常重要的。
首先，让我们来了解一下传递函数的定义。
传递函数是指控制系统的输出响应与输入信号之间的函数关系，通常用G(s)表示。
其中，s是复变量，表示系统的复频域变量。
传递函数可以是一个分式函数，也可以是一个多项式函数。
通过传递函数，我们可以方便地分析系统的频域特性和时域特性。
接下来，我们来看一下传递函数的应用。
在控制系统设计中，我们经常需要根据系统的要求设计控制器，使得系统的性能指标满足要求。
而传递函数可以帮助我们分析系统的稳定性、超调量、静态误差等性能指标，从而指导我们设计出合适的控制器。
此外，传递函数也可以用于系统的仿真和性能评估，通过对传递函数进行频域分析和时域分析，我们可以了解系统的动态特性，评估系统的性能，找出系统存在的问题并进行改进。
在实际工程中，我们经常会遇到各种各样的控制系统，比如电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等。
而这些控制系统的动态特性往往是非常复杂的，需要通过传递函数进行分析和设计。
因此，掌握传递函数的应用是非常重要的。
最后，让我们来总结一下传递函数的重要性。
传递函数是描述控制系统输入和输出之间关系的重要工具，通过传递函数，我们可以分析系统的动态特性，设计控制器，进行系统仿真和性能评估。
在实际工程中，掌握传递函数的应用是非常重要的，可以帮助我们设计出性能优良的控制系统。
综上所述，传递函数在自动控制原理中具有非常重要的地位和作用。
通过对传递函数的理解和应用，我们可以更好地理解和设计控制系统，提高系统的性能和稳定性。
希望本文能够帮助读者更好地理解传递函数的概念和应用，提高对自动控制原理的理解和应用能力。
传递函数
拉氏反变换
传递函数的定义
输入
设一控制系统
输入拉氏 变换
传递函数的定义：
r(t)
R(S)
系统 G(S)
c(t)
C(S)
输出 输出拉氏 变换
线性定常系统在零初始条件下，系统输
出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。
C(s) 将微分方程拉氏变换便 表示为： G(s) = R(s) 可求得传递函数。
设c(t)、r(t)及其各阶导数的初始值为零，对微分方程
R
ur
C
∞ - +
uc
x(t) y(t) y(t)
+
G(s) =RC s
T = RC 为电路时间常 数。当T足够小时，可
近似为纯微分环节。
Δ
x(t)
0
理想微分环节 单位阶跃响应曲线
t
理想微分环节实际中是难以实现的，实际中常用 含有惯性的实用微分环节。
+
ui
-
RC电路构成的实用微分环节 C + G(s)= u R
4。阶跃响应 当输入信号x(t)为单位阶跃信号1(t)时，输出为 y(t)=1(1-τ） 阶跃响应曲线
x(t) y(t)
1 0
y(t) x(t)
τ
t
U 2 ( s) 1 U1 ( s ) RCs 1
U o (s)
1 LS R Cs
1 Cs
U i (s)
1 U i (s) LCs RCs 1
2
• 用复阻抗的概念求RLC电路的传递函数。 • 解：根据基尔霍夫定律，有
U o (s) 1 Cs LS R 1 Cs U i (s) 1 U i (s) LCs 2 RCs 1
传递函数的定义,零点,极点,特征方程
传递函数的定义,零点,极点,特征方程【引言】在探讨传递函数的定义、零点、极点和特征方程之前，我们首先要了解传递函数的基本概念。
传递函数是描述线性时不变系统输入与输出之间关系的一种数学函数。
它是控制工程中最为常用的理论工具之一，对于分析和设计控制系统具有重要意义。
通过对传递函数的分析，我们可以全面了解系统的动态特性，从而帮助我们实现恰当的控制和优化。
【传递函数的定义】传递函数是描述线性时不变系统输入与输出之间关系的函数。
在控制工程中，一般使用 Laplace 变换来表示传递函数。
传递函数可以用来描述系统对输入信号的响应情况，其数学表达式通常具有分子和分母的形式，形如 H(s)=Y(s)/X(s)，其中 H(s) 为传递函数，Y(s) 为系统的输出信号的 Laplace 变换，X(s) 为系统的输入信号的 Laplace 变换。
通过传递函数，我们可以了解系统对各种输入信号的响应情况，从而为控制系统的设计和分析提供依据。
【零点和极点】传递函数的分子和分母多项式的根分别称为传递函数的零点和极点。
零点和极点决定了传递函数的动态特性，对于系统的稳定性和动态响应具有重要影响。
零点是使传递函数等于零的值，其位置可以直接影响系统的传递特性。
当传递函数的零点位于频域图中的某一点时，系统对该频率的输入信号会受到抑制；当零点位于实轴上时，系统会产生共振现象，从而导致系统的不稳定性。
极点是使传递函数的分母多项式等于零的值，其位置决定了系统的稳定性和动态响应。
当极点全部位于左半平面时，系统为稳定系统；当存在极点位于右半平面时，系统为不稳定系统；若存在虚轴上的极点，则会影响系统的频率响应特性。
【特征方程】特征方程可以由传递函数的分母多项式推导得出，是描述系统的稳定性及动态响应的重要方程之一。
特征方程的根即为传递函数的极点，通过解特征方程可以得到系统的固有频率和阻尼比，从而帮助我们全面了解系统的动态特性。
【个人观点】对于控制工程领域的从业者来说，深入理解传递函数的定义、零点、极点和特征方程对于系统分析和控制设计至关重要。
运算电路传递函数计算公式
运算电路传递函数计算公式在电子电路中，运算电路是一种重要的电路元件，它能够对信号进行特定的数学运算，如加法、减法、乘法、除法等。
运算电路的设计和分析是电子工程师和电路设计师的重要工作之一。
在运算电路中，传递函数是一个非常重要的概念，它描述了输入信号和输出信号之间的关系。
本文将介绍运算电路传递函数的计算公式及其应用。
一、运算电路传递函数的定义。
在电子电路中，传递函数是描述电路输入和输出之间关系的重要参数。
对于运算电路而言，传递函数可以描述输入信号和输出信号之间的数学关系，通常用H(s)表示。
传递函数的计算可以通过对电路进行分析和建模来实现。
在运算电路中，传递函数通常是一个复杂的函数，它包含了电路中所有的元件和参数。
传递函数的计算是电路设计和分析的基础，对于理解电路的性能和特性具有重要意义。
二、运算电路传递函数的计算方法。
对于运算电路而言，传递函数的计算通常可以通过以下几种方法来实现：1. 传统分析法，传统分析法是一种基于电路元件参数和电路拓扑结构的传递函数计算方法。
通过对电路进行分析和建模，可以得到电路的传递函数。
这种方法需要对电路的数学模型和分析技术有较深的理解和掌握，通常适用于简单的电路和线性电路。
2. 信号流图法，信号流图法是一种图形化的传递函数计算方法，它将电路中的信号流和传递函数用图形的方式表示出来，通过对图形的分析和计算可以得到电路的传递函数。
这种方法适用于复杂的电路和非线性电路，可以直观地展现电路的传递函数和信号流动情况。
3. 模拟计算法，模拟计算法是一种基于模拟电路仿真和计算机模拟的传递函数计算方法。
通过使用电路仿真软件和计算机模拟技术，可以对电路的传递函数进行计算和分析。
这种方法适用于复杂的电路和非线性电路，可以通过计算机模拟的方式得到电路的传递函数。
以上三种方法是常用的运算电路传递函数计算方法，它们各有优缺点，可以根据具体的电路和应用需求选择合适的方法进行传递函数计算。
三、运算电路传递函数的计算公式。
传递函数 传递率
传递函数传递率传递函数是一种数学概念，用于描述输入和输出之间的关系。
在工程和科学领域中，传递函数被广泛应用于系统建模和控制设计。
它能够帮助我们了解系统的特性和行为，并提供一种分析和设计系统的方法。
在控制系统中，传递函数通常用于描述输入信号和输出信号之间的关系。
它将输入信号转换为输出信号的方式取决于系统的特性和参数。
传递函数可以是线性或非线性的，它们可以是时变或时不变的，具体取决于系统的性质。
传递函数可以通过多种方式表示，其中一种常见的表示形式是使用拉普拉斯变换。
通过应用拉普拉斯变换，我们可以将微分方程转化为代数方程，从而更容易分析系统的特性。
传递函数通常表示为H(s)，其中s是复变量。
通过传递函数，我们可以分析系统的稳定性、频率响应和时域响应。
稳定性是指系统在输入变化时是否能保持稳定的性质，它可以通过传递函数的极点来判断。
频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应情况，它可以通过传递函数的幅频特性和相频特性来表示。
时域响应描述了系统对时间变化的输入信号的响应情况，它可以通过传递函数的阶跃响应、脉冲响应和频率响应来表示。
传递函数的传递率是指系统对输入信号的放大或衰减程度。
传递率可以通过传递函数的幅频特性来表示，它描述了系统对不同频率输入信号的放大或衰减程度。
传递率可以是常数，也可以是频率的函数，具体取决于系统的特性和参数。
传递函数的传递率在系统分析和设计中起着重要的作用。
通过分析传递函数的传递率，我们可以了解系统对不同频率输入信号的响应情况，并根据需要进行调整和优化。
在控制系统设计中，传递率的稳定性和性能是重要考虑因素，我们需要确保系统的传递率在所需范围内，并满足设计要求。
传递函数的传递率是描述系统对输入信号的放大或衰减程度的重要概念。
通过分析传递函数的传递率，我们可以了解系统的特性和行为，并进行系统的分析和设计。
在工程和科学领域中，传递函数的传递率被广泛应用于系统建模和控制设计，它帮助我们理解和优化系统的性能。
自动控制理论第二章传递函数_图文
§2.6 一般反馈控制系统
传递函数的各种术语 误差传函 扰动传函 一般控制作用
1. 一般控制系统
前向通道传函 闭环系统的开环传函 系统闭环传递函数 系统在给定作用下的输出
1、由系统输入到系统输出端的信号通路定义为系统 前向主通路(道)[简称主通路或前向通路]
②方框：表示输入、输出信号之间的传递 关系。
③引出点(测量点)：表示信 号引出或测量位置，从同一 点引出的信号完全相同。
④比较点(综合点)：表示两个或两个以上 的信号，在该点相加、减。注意，比较点 处信号的运算符号必须标明正(+)、负(-)， 一般不标者取正号。同时进行运算的信号 必须具有相同的量纲。
梅逊公式
回路总增益 (闭环传函)
第i条前向通 道余子式
第i个前向 通道增益
特征式
例：三级RC滤波网络如
图所示，求传递函数G(s)。
解： 前向通路1条 独立回路5个
两两不接触回路6个
三三不接触回路 特征式 余子式 传递函数
例：试求取图示系统的传递函数
解：前向通路3条
独立回路2个
例：系统结构图如图所示，试求其传递函数
积分器框图
特性：调节系统稳态误差，也称为无差 环节。
电压的传递函数
三、纯微分环节
定义：环节的输出响应正比于输入信号的变化率 。
微分方程 传递函数
测速发电机
四、惯性环节
定义：环节的输出不能立即复现输入，而是经过 一定时间后才能复现输入的变化。
微分方程
传递函数
运算放大器
五、振荡环节
定义：在输入作用下，环节输出响应随时间变化的 过渡过程总是在某一稳定值上下出现衰减振荡，而 最终趋于稳定值。
自动控制原理--传递函数相关知识
26.5
1
s 17.25
17.25
26.5
s (s 17.25)2 (26.5)2 (s 17.25)2 (26.5)2
所以
y(t)
1 e17.25t
cos 26.5t 17.25 e17.25t 26.5
sin 26.5t
1 e17.25t
cos
26.5t
17.25 26.5
sin
26.5t
D(s) a0sn a1sn1 an1s an D(s) 0即是系统的特征方程。
G(s) N (s) b0 (s z1)(s z2 ) (s zm ) D(s) a0 (s p1)(s p2 ) (s pn )
s zi (i 1, 2 m)是N (s) 0的根，称为传递 函数的零点，s pi (i 1, 2 n)是D(s) 0的根 是传递函数的极点。
因为组成系统的元部件或多或少存在惯 性，所以G(s)的分母阶次大于等于分子阶 次，即 n,是m有理真分式，若 ,我们m 就 n 说这是物理不可实现的系统。
二、传递函数的性质
(1)传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件 下进行拉氏变换得到的；
(2)传递函数与微分方程一一对应；
(3)传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物 理结构的有关信息；
R(s)
式中 ——环节的时间常数。
特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输 入信号的变化趋势。
实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递 函数即为微分环节。
5）振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面的 二阶微分方程式来表示。
T2
d 2 y(t) dt 2
2 T
dy (t ) dt
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1. 传递函数的定义和性质
⑴ 定义
线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为
零时,输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记 为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m 1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
又因为
duo (t ) i (t ) C dt
消去中间变量 i(t)
duo (t ) ui (t ) RC uo (t ) dt
标准化
duo (t ) RC uo (t ) ui (t ) dt
duo (t ) RC uo (t ) ui (t ) dt
(2)两边进行拉氏变换，可得
1/Cs ， 电感的复数阻抗为 Ls .。
图2-1的RLC无源网络用复数 阻抗表示后的电路如图2-10所示. 图中Z1=R+Ls, Z2=1/Cs . 由图可直 接写出电路的传递函数为
Z1
ui
Z2
uo
复阻抗表示的RLC电路
作业：P78
2-7，2-8，2-9(a)
化简得传函表达式
复阻抗+分压定理
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) R1C1R2C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 )s 1
课堂习题：
78页：2-6,2-9（c）
2.传递函数的零点和极点
传递函数的分子多项式和分母多项式经 因式分解后,可写为如下形式
于是,由定义得系统的传递函数为
C ( s) b0 s m b1s m1 bm1s bm M ( s) G( s ) n n 1 R( s ) a0 s a1s an1s an N ( s)
式中
M ( s) b0sm b1sm1 bm1s bm
b0 ( s z1 )(s z2 )( s zm ) * G( s) K a0 ( s p1 )(s p2 )( s pn )
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
式中, zi (i 1 , 2 , , m) ---------称为传递函数的零点;
式中 K1 是单个电位器的传递系数,
(t是两个电位器电刷角位移 )
之差,称误差角.
U ( s) G( s) K1 ( s )
在使用电位器时要注意负载效应，即指在电位器输出端接有负载 时所产生的影响。
⑵ 测速发电机
测速发电机是用于测量角速度并将它转换成电压量的装置.在 控制系统中常用的有直流和交流测速发电机,如图所示.图(a)是永磁式 直流测速发电机的原理线路图,其输出电压与转子角速度的关系为
d (t ) u (t ) K t (t ) K t dt
图
测速发电机示意图
式中 Kt 是测速发电机输出斜率,表示单位角速度的输出电压. 在 零初始条件下,对上式拉氏变换可得直流测速发电机的传递函数 U ( s) 为 U ( s) G( s) Ks
G( s) ( s ) Kt
L(s) Ls
例2 对无源网络，求传递函数Uo(s)/Ui(s)。
解：把图中各量用复阻抗表示
根据分压定理写出Uo(s)表达式
1 1 ( R2 ) C2 s C1s 1 1 1 R2 C2 s C2 s C1s U o ( s) U i (s) 1 1 1 R2 ( R2 ) C2 s C2 s C1s R1 1 1 R2 C2 s C1s
du (t ) 1 U ( s) i(t ) C I ( s) CsU ( s) dt Cs I ( s) di (t ) U (s) u (t ) L U ( s) LsI ( s) Ls dt I ( s)
电感
R( s ) R
1 C ( s) Cs
R(s) G(s) C(s)
传递函数的图示
说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但不能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数；
传递函数只适用于线性定常系统;
⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始条 件有两方面的含义: 一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时输 入量及其各阶导数均为零; 二是指输入量加于系统之前,系统处于稳定的工作状态, 即输出量及其各阶导数在t=0-时的值也为零.现实的工程控制 系统多属此类情况.
(4) 传递函数的建立
方法1：一般元件和系统传递函数的求取方法： （1）列写元件或系统的微分方程； （2）在零初始条件下对方程进行拉氏变换；
（3）取输出与输入的拉氏Uo(s)/Ui(s)。
解： (1)由KVL，得
ui (t ) Ri(t ) uo (t )
式中，一次因子对应于实数零极点，二次因子对应于复数零极点。
3.典型环节的传递函数
i (t )
C
u c (t )
i (t )
C
i (t )
L
e L (t )
u (t )
R
Cs
U c (s)
I (s)
Cs
U (s)
1
R
+ +
I (s)
I (s)
Ls
EL (s)
4. 典型元部件的传递函数
自动控制原理
第二章 控制系统的数学模型
第2章 控制系统的数学模型 -----传递函数
1.传递函数的定义和性质 2.传递函数的零点和极点 3.典型环节的传递函数 4.典型元部件的传递函数
问题的提出：
微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且计算的工作量 也大。 对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下 的输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关 系。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现 的。 在控制工程中，一般并不需要精确地求出系统微分方程式 的解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的方法了解系 统是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能判别某些参数的 改变或校正装置的加入对系统性能的影响。
N ( s) a0sn a1sn1 an1s an
例： 试求 RLC无源网络的传递函数 R ui(t) L i(t)
解: 该网络微分方程已求出,如式
d 2uo (t ) duo (t ) uo(t) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 C dt dt
在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令 U0(s)=L[U0(t)], U i(s)=L[Ui(t)] 得:
( LCs 2 RCs 1)Uo (s) Ui (s)
由传递函数定义得网络传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
⑵ 性质
设 r(t) 和 c(t) 及其各阶导数在 t=0 时的值均为零,即零初始 条件,对上式中各项分别求拉氏变换,令C(s)=L[c(t)], R(s)=L[r(t)]，可得 s 的代数方程为
(a0 s n a1s n1 an1s an )C ( s) (b0 s m b1s m1 bm1s bm ) R( s)
因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的 动态性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始 条件为零。
传递函数-系统的复数域数学模型
拉氏变换法求解系统微分方程时，可得到 控制系统在复数域中的数学模型—传递函数。 传递函数不仅可表征系统的动态性能， 且可用来研究系统的结构或参数变化对系统 性能的影响。 经典控制论中广泛应用的频率法和根轨 迹法，就是以传递函数为基础的，传递函数 是经典控制理论中最基本和最重要的概念。
① 传递函数是复变量 s 的有理真分式函数,具有复变函数的所有 性质. 有m≤n且所有系数均为实数.
②
传递函数是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关 系的表达式,它只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入 量的形式无关,也不反映系统内部的任何信息.因此,可以用下 图的方块图表示一个具有传递函数G(s)的线性系统.
u(t ) K1 (t )
对上式求拉氏变换,可得电位器的传递函数为
U ( s) G(s) K1 ( s )
上式表明,电位器的传递函数是一个常值,故称比例元件,可用图(d)所 示的方块图来表示.
用一对相同的电位器组成误差检测器时,其输出电压为
u(t ) u1 (t ) u2 (t ) K11 (t ) 2 (t ) K1 (t )
或
( s )
t
分别用方块图表示如下: U(s) (s ) Kt
(s )
sKt
U(s)
测速发电机的方块图
⑶ 电枢控制直流伺服电动机
直流伺服电动机在控制系统中广泛用作执行机构,用来对被
控对象的机械运动实现快速控制.根据例2-9可用下列方块图表 示三种情况下的直流伺服电动机.
(4) 无源网络
为了改善控制系统的性能,常在系统中引入无源网络作为校正元件. 无源网络通常是由电阻、电容和电感组成. 求无源网络的传递函数,可用前述的方法,即列写网络微分方程，进 行拉氏变换，从而得到输出量与输入量间的传递函数。此外还可采用 复数阻抗法.用复数阻抗法表示电阻时仍为 R ， 电容的复数阻抗为
为建立系统的数学模型，必须首先了解各种元 部件的数学模型及其特性。
⑴ 电位器
电位器是一种把线位移或角位移变换为电压量