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解析几何基础知识

3．|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2(r 1≠r 2)⇔两圆相交_；4．d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切；

5．0≤d ＜|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含

6.椭圆

一、椭圆的定义和方程 1．椭圆的定义

平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数2a (大于|F 1F 2|=2c )的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点.

定义中特别要注意条件2a ＞2c ，否则轨迹不是椭圆；当2a ＝2c 时，动点的轨迹是线段；当2a ＜2c 时，动点的轨迹不存在。 2．椭圆的方程

(1)焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)．

(2)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)．

二、椭圆的简单几何性质(a 2＝b 2＋c 2)

标准方程 x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a ＞b ＞0)

y 2a 2＋x 2

b 2

＝1(a ＞b ＞0) 图 形

性 质

范围

－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b

－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a

对称性 对称轴：x 轴，y 轴 对称中心：坐标原点

顶点

A 1(－a,0)，A 2(a,0)

B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) B 1(－b,0)，B 2(b,0)

性 质

轴

长轴A 1A 2的长为2a

短轴B 1B 2的长为2b

焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率

e ＝c

a

∈(0,1)

a 、

b 、

c 关系

c 2＝a 2＋b 2 (c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)

8．抛物线

平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。方程()022

>=p px

y 叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，焦点坐标是F （2

p

,0），它的准线方程是2p x -= ；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：px y 22

-=，py x 22

=，py x 22

-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表： [一次项的字母定轴（对称轴），一次项的符号定方向（开口方向）]

标准方程

22(0)

y px

p =>

2

2(0)

y px p =->

22(0)x py p =>

22(0)

x py p =->

图形

焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -

(0,)2p

(0,)2p -

准线方程 2

p x =-

2

p x =

2

p y =-

2

p y =

范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤

对称性 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率

1e = 1e =

1e = 1e =

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p 的几何意义：是焦o F

x

y

l

o

x

y

F l

x

y

o

F l

点到准线的距离。