二次函数动轴与动区间问题 (2)

， ⎪ 、对称轴为 b ⎛ b ⎫ 4ac - b 2

（2）当 - [ ]

∉ m ，n 时 [ ]

若 - < m ，由 f ( x ) 在 m ，n 上是增函数则 f ( x ) 的最小值是 f (m ) ，最大值是 f (n )

[ ]

若 n < - ，由 f ( x ) 在 m ，n 上是减函数则 f ( x ) 的最大值是 f (m ) ，最小值是 f (n )

二次函数在闭区间上的最值

一、 知识要点：

二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：

对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设 f ( x ) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) ，求 f ( x ) 在 x ∈[m ，n ] 上的最大值与最小值。

⎛ b 分析：将 f ( x ) 配方，得顶点为 -

⎝ 2a

4ac - b 2⎫ 4a ⎭ x =- b

2a

当 a > 0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f ( x ) 的最值：

（ 1 ）当 - ∈ m ，n 时 ， f ( x ) 的 最 小 值 是 f - ⎪ =

2a ⎝ 2a ⎭ 4a

，f ( x ) 的 最 大 值 是

f (m ) 、f (n ) 中的较大者。

b

2a b

2a

b

2a

当 a < 0 时，可类比得结论。

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往

往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，

区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定

区间上的最值”。

例 1. 函数 y = - x 2 + 4 x - 2 在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

。

图 1

练习. 已知 2 x 2 ≤ 3x ，求函数 f ( x ) = x 2 + x + 1 的最值。

[ ]

f

(n )，- > n (如图3) b 1 2a ⎪

f (m )，- ≥ (m + n )(如图1) ⎪ max =⎨ f (x) ⎪ f (n )，- b < 1

(m + n )(如图2) 2a 2a

⎪ ⎪ 2a 2 ⎪ b f (m )，- < m (如图5)

2a

图 2

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在

动区间上的最值”。

例 2. 如果函数 f ( x ) = ( x - 1) 2 + 1 定义在区间 t ，t + 1 上，求 f ( x ) 的最小值。

图 1

图 2 图 8

例 3. 已知

f ( x ) = x 2 - 2 x + 3 ，当 x ∈ [t ，t + 1](t ∈ R) 时，求 f ( x) 的最大值．

。

二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当 a > 0 时 f (x)

⎧ ⎪ 2a 2 ⎪ b b

⎧ b

= ⎨ f (- )，m ≤ - ≤ n (如图4) min

⎪ ⎩

f(n)，->n(如图6)

⎪⎧b1

f(m)，-≥(m+n)(如图9)

⎪⎪2a2

max

=⎨f(-)，m≤-≤n(如图7)f(x)m in=⎨⎪f(n)，-

b

<

1

(m+n)(如图10)

2a2a

⎪2a2

f(m)，-

2a

y2=4a(x-a)(a>0),u=(x-3)2+y2

当a<0时f(x)

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⎧b

2a

⎪b b

3、轴变区间定

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例4.已知x2≤1，且a-2≥0，求函数f(x)=x2+ax+3的最值。

解。

图3

例5.(1)求f(x)=x2+2ax+1在区间[-1,2]上的最大值。

(2)求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,1]上的最大值。

4.轴变区间变

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

例6.已知，求的最小值。

例 9. 已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + ( 2a - 1)x + 1 在区间 ⎢- ,2 ⎥ 上的最大值为 3，求实 5．已知函数 f ( x ) = ax 2

+ (2a - 1) x - 3(a ≠0) 在区间[- ，2] 上的最大值是 1，则实数 a 的

二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例 7. 已知函数 f ( x ) = ax 2 + 2ax + 1在区间[-3,2] 上的最大值为 4，求实数 a 的值。

例 8.已知函数 f ( x ) = - x 2 2

+ x 在区间[m , n ] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ，求 m ， n 的值。

⎡ 3 ⎤ ⎣ 2 ⎦

数 a 的值。

三、巩固训练

1．函数 y = x 2 + x + 1 在 [-1,1] 上的最小值和最大值分别是

（

）

( A) 1 ,3 ( B ) 3 1 1

,3 （C ） - ,3 （D ） - , 3

4 2 4

2．函数 y = - x 2 + 4 x - 2 在区间 [1,4] 上的最小值是 （ ）

( A) - 7

( B ) - 4 (C ) - 2

( D ) 2

3．函数 y =

8

x 2 - 4 x + 5

的最值为 （ ）

( A) 最大值为 8，最小值为 0

( B ) 不存在最小值，最大值为 8 （C ）最小值为 0, 不存在最大值

( D ) 不存在最小值，也不存在最大值

4．若函数 y = 2 - - x 2 + 4x , x ∈ [0,4] 的取值范围是______________________

3

2

值为

6．如果实数 x, y 满足 x 2 + y 2 = 1 ，那么 (1 - xy)(1 + xy) 有

（ ）

(A)最大值为 1 , 最小值为 1 3

(B)无最大值，最小值为

2 4

（C ）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为 1，最小值为

3

4

7．已知函数 y = x 2 - 2 x + 3 在闭区间 [0, m ] 上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是