正弦型函数的图像和性质

3 12
4
此 时 函 数 y=1cos(3x+π )取 最 大 值 1.
2
4
2
当 u=2kπ +π (k∈ Z)时 ,即 x=2kπ +π (k∈ Z)时 ,cos(3x+π )取 最 小
34
4
值 -1，
此 时 函 数 y=1cos(3x+π )取 最 小 值 -1.
2
4
2
换元转化的思想方法精选ppt
（1）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到
函数y=sinx
原来的 1 倍（纵坐标不变）
y=sinx的图像
（2）向左( >0)或向右( <0) 平移| |个单位长度
y=sin(x+)的图像
（3）纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0<A<1)
到原来的A倍（横坐标不变）
y=Asin(x+)的图像
（4）沿y轴向上（b>0）或向下（b<0） y=Asin(x+)+b的图像
思考2：还有其他的变换方法吗？
精选ppt
9
方法2:先伸缩后平移
函数
（1）横坐标缩短到原来的 y=sinx
1 2
倍
y=sin2x的图像
纵坐标不变
（2）向左平移 12 个单位长度
y=sin(2x+ 6 ) 的图像
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
y=3sin(2x+
6
)的图像
（4）沿y轴方向
函数 y=sinx
y=sin(x+)的图像
平移| |个单位长度
（2）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到
原来的 1 倍（纵坐标不变）
y=sin(x+) 的图像
（3）纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1) y=Asin(x+)的图像
到原来的A倍（横坐标不变）
（4）向上（b>0）或向下（b<0）
平移| b |个单位长度
精选ppt
y=Asin(x+)+b的图像
8
思考1： A,,,b对图像的影响. 决定了函数y Asin(x ) b的周期（周期T 2）;
决定了函数y Asin(x ) b的初相（初相）;
A和b决定了函数y Asin(x ) b的值域和振幅
（振幅A，值域A b,A b）.
精选ppt
3
思考交流：如何利用y=sinx来研究 y=Asin(ωx+φ)的图像和性质.
可利用平移变换法与整 体代入思想研究.
精选ppt
4
例4：画出函数y 3sin(2x ) 1的简图. 6
分析：本题可以利用“五点法”来作函数图像， 也可以利用图像变换法作图.
精选ppt
5
方法1:先平移后伸缩
2
此时函数y=sinx-2取最大值-1.
当 x=2kπ +3π (k∈ Z)时 ,sinx取 最 小 值 -1, 2
此 时 函 数 y=sinx-2取 最 小 值 -3.
精选ppt
13
(2) 设 u = 1 x .
当 u=2kπ +π (k 2 ∈ Z)时 , 即 x=4kπ +π (k∈ Z)时 , sin1x取 得 最 大 值 1 ，
2kπ - π ≤ 1x- π ≤ 2kπ + π (k∈ Z), 即 2 2
2 2 4k ≤
3 x≤ 4 k
2 5
(k Z)
3
3
所以,函数y=2sin(1x-π)的递增区间是 23
[4kπ-π,4kπ+5π](k精∈ 选pZpt).
16
3
3
(2) 设u = 4x + 5π. 6
因 为 函 数 c o s u 的 递 减 区 间 是 [ 2 k π , 2 k π + π ] ( k ∈ Z ) , 由
精选ppt
6
y 4
3
2
1
o
6 12
-１
-2 -3
y=3sin(2x+ )+1④ 方法1:先移后缩演示
6
y=3sin(2x+ )③ 6
y=sinx
5
11
11
6
2
x
12
12
y=sin(x+ )① y=sin(2x + )② 6
6
精选ppt
7
方法1:先平移后伸缩一般规律
（1）向左( >0)或向右( <0)
§8 函数y=Asin(ωx＋ ) 的
图像与性质（二）
精选ppt
1
振幅变换 y=sinx 相位变换 y=sinx 周期变换 y=sinx
横坐标不变 纵坐标变为原来的A倍
向左或向右
平移| |个单位
y=Asinx y=sin(x± )
y=sinωx
精选ppt
2
1.会利用振幅变换、周期变换和相位变换的方法， 作函数y=Asin(ωx+ )的图像.（重点） 2.会借助正弦函数、余弦函数研究函数y＝ Asin(ωx+ )的单调性及最值.（难点）
15
例6: (1)求函数 y 2sin(1 x ) 的递增区间.
23
(2)求函数
解:(1) 设 u = 1 x
y=1
-π.3
cos(4x
+
5π) 6
的递减区间.
因 为 函 数 s i n u 的 2 递 增 3区 间 是 [ 2 k π - π , 2 k π + π ] ( k ∈ Z ) , 由
平移| b |个单位长度
精选ppt
12
思考：区分先移后缩，先缩后移的区别.
例5：求下列函数的最大值、最小值，以及达到
最大值、最小值时x值的集合.
(1)y sin x 2.(2)y 4 sin 1 x.(3)y 1 co（s 3x ).
32
2
4
解: (1) 当x=2kπ+π(k∈Z)时,sinx取最大值1,
y=3sin(2x+ )+1的图像
向上平移1个单位长度
6
精选ppt
10
y 4
3
2
1
o
6 12
-１
-2 -3
y=3sin(2x+ )+1④ 方法2:先缩后移演
6
示
y=3sin(2x+ )③
6
y=sinx
5
11
12
12
11
6
2
x
y=sin2x①
y=sin(2x + )②
6
精选ppt
11
方法2:先伸缩后平移一般规律
2
2
此 时 函 数 y=4sin1x取 最 大 值 4.
Fra Baidu bibliotek
32
3
当 u=2kπ +3π (k∈ Z)时 ,即 x=4kπ +3π (k∈ Z)时 ,sin1x取 得 最
2
2
小 值 -1，
此 时 函 数 y=4sin1x取 最 小 值 -4.
32
3
精选ppt
14
(3) 设 u = 3x +π. 4
当 u=2kπ (k∈ Z)时 , 即 x=2kπ -π (k∈ Z)时 , cos(3x+π )取 最 大 值 1 ，
函数 y=sinx （1）向左平移 6
（2）横坐标缩短到原来的
1 2
倍
纵坐标不变
y=sin(x+ ) 的图像 6
y=sin(2x+ ) 的图像 6
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
y=3sin(2x+ )的图像 6
（4）沿y轴方向 向上平移1个单位长度
y=3sin(2x+ )+1的图像 6