高等数学(本科)第七章课后习题解答

高等数学(本科)第七章课后习题解答

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

习题7.1

1.在空间直角坐标系中，指出下列各点位置的特点.

()0,5,0-A ；()0,3,3-B ；()3,0,6-C ；()0,0,4D ；()7,5,0-E ；()9,0,0F .

【解】A 点在y 轴上；B 点在xoy 坐标面上；C 点在zox 坐标面上；D 点在x 轴上；E 点在yoz 坐标面上；F 点在z 轴上.

2.指出下列各点所在的卦限.

()1,3,2-A ；()2,1,7--B ；()1,3,2---C ；()3,2,1--D .

【解】A 点在第五卦限；B 点在第三卦限；C 点在第七卦限；D 点在第六卦限.

3.自点()2,3,1--M 分别作xoy 、yoz 、zox 坐标面和x 、y 、z 坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标，并求出点M 到上述坐标面和坐标轴的距离.

【解】()2,3,1--M 在xoy 坐标面上的垂足为()0,3,1-、在yoz 坐标面上的垂足为()2,3,0-、在zox 坐标面上的垂足为()2,0,1--；

()2,3,1--M 在x 轴的垂足为()0,0,1-、在y 轴的垂足为()0,3,0、在z 轴的垂足为()2,0,0-；

()2,3,1--M 到x 轴的距离为()13232

2=-+； ()2,3,1--M 到y 轴的距离为()()52122=-+-； ()2,3,1--M 到z 轴的距离为()103122=+-.

3.已经点()2,1,3--M .求：（1）点M 关于各坐标面对称点的坐标；（2）点M 关于各坐标轴对称点的坐标；（3）点M 关于坐标原点的对称点的坐标.

【解】（1）()2,1,3--M 关于xoy 面对称点的坐标是(),2,1,3-；

()2,1,3--M 关于yoz 面对称点的坐标是(),2,1,3---；

()2,1,3--M 关于zox 面对称点的坐标是(),2,1,3-.

（2）()2,1,3--M 关于x 轴对称点的坐标是(),2,1,3；

()2,1,3--M 关于y 轴对称点的坐标是(),2,1,3--；

()2,1,3--M 关于z 轴对称点的坐标是(),2,1,3--.

（3）()2,1,3--M 关于坐标原点的对称点的坐标是(),2,1,3-.

5.求点()5,3,4-A 到坐标原点和各坐标轴的距离.

【解】 ()5,3,4-A 到坐标原点距离为()2553422

2=+-+； ()5,3,4-A 到x 轴的距离为()345322=+-；

()5,3,4-A 到y 轴的距离为415422=+；

()5,3,4-A 到z 轴的距离为()5342

2=-+. 6.在y 轴上求与点()7,2,3-A 和()7,1,3-B 等距离的点.

【解】设所求点为()0,,0y C .据题意，有

BC AC =，即 ()()()()=-+-+--2

2270230y ()()()()22270130--+-+-y 解得 23=y .所以，所求之点为.0,23,0⎪⎭

⎫ ⎝⎛C 7.已知三角形ABC 的顶点坐标分别为()3,2,1A 、()3,10,7B 和()1,3,1-C ，试证明 ∠BAC 为钝角.

【解】AB 边长()()()103321017222=-+-+-=

=AB c ； AC 边长()()()()3312311222=-+-+--=

b ； BC 边长()()()()1173110371222=-+-+--=

a . 由余弦定理知 cos ∠BAC ()010321171032222222<⨯⨯-+=-+=bc a c

b ，

所以，∠BAC 为钝角.

8.试在xoy 面上求一点，使它到()5,1,1-A 、()4,4,3B 和()1,6,4C 各点的距离相等.

【解】设所求点为()0,,y x D .据题意，有

CD BD AD ==，即

()()()()=-+--+-2

225011y x ()()()222443-+-+-z y x ()()()222164-+-+-=z y x

解得 5,16-==y x .所以，所求之点为().0,5,16-D

习题7.2

1.设平行四边形ABCD 的对角线向量==,，试用，表示 ,,,. 【解】记平行四边形ABCD 的对角线的交点为O .

()-=-=-=-==2

121212121； 同理可求出，()b a a b OC BO BC +=+=+=212121； ()-=-=2

1； ()

b a BC DA +-=-=21 . 2.已知向量n m a 23-=，n m a +=.试用向量,表示b a 32-. 【解】b a 32-()()n m n m n m 733232-=+--=.

3.设2-+=，+--=3.试用向量c b a ,,表示32-. 【解】v u 32-()()c b a c b a c b a 71153322-+=+----+=.

4.设ABCDEF 是一个正六边形，==,，试用，表示 ,,,.

【解】记六边形ABCDEF 的对角线的交点为O .则四边形ABOF 、CDEO 、DEFO 及ABCO 均为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则知，

+=+==； ==；

-=-===；

()

.+-=-=

5.设向量a a a z y x ++=,，若它满足下列条件之一：

（1）a 垂直于z 轴；（2）a 垂直于xoy 面；（3）a 平行于yoz 面.那么它的坐标有什么有何特征？

【解】

（1）因为a 垂直于z 轴，故0.=k a ，即0=z a ；

（2）因为a 垂直于xoy 面，故a 平行于z 轴，从而a ∥{}1,0,0=k ，所以，0==y x a a . （3）a 平行于yoz 面，故垂直于x 轴，从而.a 0=i ，所以，0=x a .

6.已知向量{}7,4,4-=，它的终点坐标为()7,1,2-B ，求它的起点坐标.

【解】设起点()z y x A ,,，则{}z y x AB ----=7,1,2，根据已知条件，有

77,41,42=--=--=-z y x ，解得 .0,3,2==-=z y x 所以，起点坐标为 ()0,3,2-A .

7.已知向量{}1,1,6-=，{}0,2,1=.求

（1）向量b a c 2-=；

（2）向量c 的方向余弦；

（3）向量c 的单位向量.

【解】

（1）c {}{

}{}{}{}{}1,3,401,41,260,4,21,1,60,2,121,1,6--=----=--=--=.

（2()()26134222=-+-+=.故，

⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==261,263,2640c ， 所以，向量c 的方向余弦为.261

cos ,263

cos ,264

cos -=-

==γβα