概率论与数理统计第七章课后习题及参考答案

对数似然函数为
ln L n ln( 1) ln( x1 x2 xn ) ，
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令
n d ln L n ln xi 0 ， d 1 i 1
解得
ˆ
n
ln x
i 1
n
1 ，
i
从而 的极大似然估计量为
ˆ n
n
ln X
i 1
1 ．
n
8．设总体 X 的概率密度为
5e 5( x ) , x , f ( x, ) 0, x . X 1 ， X 2 ，…， X n 是取自总体 X 的样本，试求参数 的极大似然估计．
解： xi 时，样本的似然函数为
L( ) 5n exp{5 ( xi )} ，
其中 ， 0 为未知参数， X 1 ， X 2 ，…， X n 是取自该总体的一 个样本，求参数 ， 2 的极大似然估计． 解： xi 时，似然函数为
L( , 2 ) 1 1 exp{ 2 n 2 ( 2 ) x1 x2 xn 1
故均值 ，方差 2 的矩估计值分别为
ˆx 1 8 xi 53.002 ， 8 i 1
ˆ2
1 8 ( xi x ) 2 0.000006 ， 8 i 1
可知零件长度 X ～ N (53.002,0.000006) ，故
P ( X 53.004) ( 53.004 53.002 ) (0.82) 0.7939 ． 0.000006
(ln x )
i 1 i
n
2
，
令
(ln x )
i 1 i
n
2
0
解得 ， 2 的极大似然估计值为
ˆ 1 n 1 n 2 ˆ ˆ )2 ， ln x ， i (ln xi n i 1 n i 1
则其极大似然估计值量为
ˆ 1 n 1 n ˆ 2 (ln X i ˆ )2 ． ln X i ， n i 1 n i 1
令 解得 又因为
dL 2 4 (5 6 ) 0 ， d 5 ， 6 d2L 635 20 3 (2 3 ) 5 0， 2 d 5 108 6
6
4
5 是 L( ) 的极大值点，也是最大值点， 6 ˆ 5． 则 的极大似然估计值为 6
7．(1) 设总体 X 具有分布律
X P
1
2
2 (1 )
3
(1 ) 2
2
其中， ( 0 1 )为未知数．已知取得了样本值 x1 1 ， x2 2 ， x3 1 ，求
的矩估计值和最大似然估计值．
(2) 设 X 1 ， X 2 ，…， X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本，试求 的矩估计量和极大似然估计量． 解：(1) 因为 E ( X ) 1 2 2 2 (1 ) 3(1 ) 2 3 2 ，
ˆ 是 的无偏估计． 故
(3) E ( X ) x f ( x, )d x
2 2


6 x 3 ( x)
0

3
dx
3 2 ， 10 1 2 ． 20
从而
D ( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2
2 ˆ) D ( 2 X ) 4 D ( X ) 4 D ( X ) 4 1 2 ． 由此得 D ( n n 20 5n
故
(2) 参数为 的泊松分布的分布律为 f ( x, )
x e ， x 0,1,2, ， x!
ˆX． E ( X ) ，令 X ，解得 的矩估计量为
样本的似然函数为
L( x1 , x2 , , xn , )
e n ， x1! x2 ! xn !
1 i n
证：似然函数为
3
L( x1 , x2 , , xn , ) exp{ ( xi )} ， xi ，
i 1 n dL n exp{ ( xi )} 0 ， d i 1
n
所以 L( ) 是 的单调增函数，从而对满足条件 xi 的任意 ，有
L( ) exp{ ( xi )} exp{ ( xi min{xi })} ，
i 1 i 1 1 i n n n
即 L( ) 在 min{xi } 时取最大值，
1 i n
ˆ min{x } ． 故 的极大似然估计值为 i
1 i n
i 1 n
ln L( ) n ln 5 5 ( xi ) ，
i 1
n
5
因为
d ln L 5n 0 ，所以 ln L( ) 是 的单调增函数， d
1 i n
又因为 xi ，i 1,2, , n ， 故当 min{xi } 时 ln L( ) 达到最大值． 由此得
10．设总体 X 的概率密度为
x 1 e , x 0, f ( x, ) 0, x 0.
6
从该总体中抽取样本 X 1 ， X 2 ， X 3 ，考虑 的如下 4 中估计：
ˆ1 X 1 ；
1 ˆ2 ( X 1 X 2 ) ； 2 1 ˆ3 ( X 1 2 X 2 X 3 ) ； 3 1 ˆ4 ( X 1 X 2 X 3 ) ． 3 (1) 这 4 个估计中，哪些是 的无偏估计？
53.001 ， 53.003 ， 53.001 ， 53.005 ， 53.000 ， 52.998 ， 53.002 ， 53.006
设零件长度测定值服从正态分布．求均值 ，方差 2 的矩估计值，并用矩估 计法估计零件长度小于 53.004 的概率． 解：由于
ˆ2 ˆ X ， 1 n ( X i X )2 ， n i 1
ˆ min{x } ，则其极大似然估计量为 ˆ min{ X } ． 的极大似然估计值为 i i
1 i n 1 i n
9．设总体 X 服从对数正态分布，其概率密度为
1 (ln x ) 2 1 1 2 2 e , x 0, f ( x, , 2 ) 2 x 0, x 0.
(2) 试比较这些估计方差．
1 解：由题可知 X ～ E ( ) ，则 E ( X ) ， D ( X ) 2 ，从而有 ˆ ) 4 ， E ( ˆ ) ， E ( ˆ ) ， E ( ˆ ) ， E ( 3 1 2 4 3 ˆ ) 1 2 ， D ( ˆ ) 2 2 ， D ( ˆ ) 1 2 ． ˆ ) 2 ， D ( D ( 2 3 4 1 2 3 3 ˆ ， ˆ ， ˆ 是 的无偏估计， ˆ 不是 的无偏估计． (1) 由上可知 1 2 4 3 ˆ ) D ( ˆ ) D ( ˆ ) D ( ˆ )． (2) 由上可知 D ( 4 2 3 1 ˆ) 0 ，试证 ( ˆ) 2 不是 2 的无偏估计． ˆ 是参数 的无偏估计，且有 D ( 11．(1) 设
5．设总体 X 的概率密度为
( 1) x ,0 x 1, f ( x, ) 0, 其他．
其中 1 是未知参数， X 1 ， X 2 ，…， X n 是来自 X 的一个样本．试求参数
2
的矩估计和极大似然估计．现有样本观测值 0.1 ， 0.2 ， 0.9 ， 0.8 ， 0.7 及 0.7 ， 求参数 的矩估计值和极大似然估计值． 解： E ( X ) xf ( x, )d x x( 1) x d x
i 1
xi
n
对数似然函数为
ln L ln xi ln( x1! x2 ! xn !) n ，
i 1 n
令
d ln L 1 n xi n 0 ， d i 1
解得 则 的极大似然估计量为

1 n xi ， n i 1
ˆ1 Xi X ． n i 1
3．设总体 X 的概率密度为
c x ( 1) , x c, f ( x) 0, 其他．
其中 c 0 为已知， 1 ， 为未知参数， X 1 ， X 2 ，…， X n 为总体的一个样 本， x1 ， x2 ，…， xn 为一组相应的样本观测值，求未知参数 的矩估计量和估 计值． 解： E ( X ) xf ( x, )d x
6 x( x) , x c, f ( x) 3 0, 其他． X 1 ， X 2 ，…， X n 是来自总体 X 的一个样本． ˆ； (1) 求 的矩估计量 ˆ 是 的无偏估计吗？ (2) ˆ) ． (3) 求 的方差 D (
解： E ( X ) xf ( x, )d x
(ln x ) } ，
i 1 i 2
n
n n 1 ln L( , 2 ) ln 2 ln 2 ln( x1 x2 xn ) 2 2 2 2 2 n ln L (ln xi ) 0 2 2 i 1 ln L n ln 2 n ln 2 1 1 2 2 2 2 ( 2 ) 2
i
代入观测值，得到 的矩估计值和极大似然估计值分别为
ˆ 2x 1 4 ˆ ， 1 x 13 n
n
ln x
i 1
1 1.2112 1 0.2112 ．
i
6．设 x1 ， x2 ，…， xn 是总体 X 的一组样本观测值．设 X 的概率密度为
e ( x ) , x , f ( x, ) 0, x . ˆ min{x } ． 其中， 未知．证明： 的极大似然估计值为 i
0 1
令 E ( X ) X ，即 X
1 ，解得 的矩估计量为 2
ˆ 2 X 1 ． 1 X
1 ， 2
似然函数为
L( x1 , x2 , , xn , ) ( 1) n ( x1 x2 xn ) ， 0 xi 1 ， 1 ，
概率论与数理统计第七章课后习题及参考答案 1．设 X 服从两点分布 B (1, p ) ， X 1 ， X 2 ，…， X n 是来自该总体的一个样本，求 未知参数 p 的矩估计量．
ˆX． 解： X E ( X ) p ，即未知参数 p 的矩估计量为 p
2．在一批零件中随机抽取 8 个，测得长度如下(单位：mm)
c
x c x ( 1) d x c

c
x d x
令 E ( X ) X ，即 X
c ，得 的矩估计量为 1
1
c ， 1
ˆ
从而 的矩估计量值为
X ． X c
x ˆ ． x c
4．设总体 X 的概率密度为
ˆ 1 (3 X ) ， 令 X 3 2 ，解得 2 ˆ 1 (3 4 ) 5 ． 从而 的矩估计值为 2 3 6
样本的似然函数为
L( x1 , x2 , x3 , ) 2 2 (1 ) 2 2 5 (1 ) ，



6 x 2 ( x)
0

3
dx
， 2
ˆ 2X ． ，由此得 的矩估计量为 2 ˆ) E ( 2 X ) 2 E ( X ) 2 E ( X ) 2 ， (2) E ( 2
(1) 令 E ( X ) X ，即 X