“感应电动势的分析与计算”

把脉“感应电动势的分析与计算”

1. 感生电动势

变化的磁场能在周围空间激发感应电场，感生电动势指的就是感应电场使导体产生的电动势，其计算式为t n

∆∆=φε，往往表达为S t

B n ∆∆=ε形式。注意此处S 并非线圈的面积，而是线圈内部磁场的面积。 例1.如图1所示，A 、B 两闭合线圈为同样导线绕成，A 为10匝，B 为20匝，半径为r A =2r B ，匀强磁场只

分布在B 线圈内。若磁场均匀地减弱，则（ ）

A ．A 中无感应电流

B ．A 、B 中均有恒定的感应电流

C ．A 、B 中感应电动势之比为2：1

D ．A 、B 中感应电流之比为1：2 2.动生电动势

动生电动势指导体在磁场中做切割磁感线运动时产生的电动势，其计算式为

θεsin BLv =，其中θ为导体切割磁感线的速度v 与磁感应强度B 的夹角。通常考察导体垂直切割磁感线的情况，此时BLv =ε。 2.1单杆切割

切割磁感线的这段导体杆相当于电源，其余部分为电源的外电路，尤其注意的是电源（切割磁感线的这段导体杆）两端的电压为路端电压。

例 2. 粗细均习的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行。 现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框的一边a 、b 两点间电势差绝对值最大的是（ ）

2.2双杆切割

电路中有两条导体杆切割磁感线时，相当于电路中有两个电源，应分清电源的联接方式，注意总电动势与各电动势间的关系。

例4、如图7-1所示，虚线框内是磁感应强度为B 的匀强磁场，导线框的三条竖直边的电阻均为r ，长均为L ，两横边电阻不计，线框平面与磁场方向垂直。当导线框以恒定速度v 水平向右运动，ab 边进入磁场时，ab 两端的电势差为U 1，当cd 边进入磁场时，ab 两端的电势差为U 2，则 A ．U 1=BLv B ．U 1=

31

BLv C ．U 2=BLv D ．U 2=3

2BLv

例5.两金属杆ab 和cd 长均为l ,电阻均为R,质量分别为M 和m,M>m.用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路,并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧.两金属杆都处在水平位置,如图所示.整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中,磁感应强度为B.若金属杆ab 正好匀速向下运动,求运动的速度.

图1

图

7-1

2.3 导体杆转动切割

当长为L 的导体在磁场中绕某点转动切割磁感线时，各点的线速度不同，r v ω=。由于v 与r 成正比，杆切割磁感线的平均速度L v ω21=

，故22

1

L B ωε=。 例6．（2004·全国）一直升飞机停在南半球的地磁极上空。该处地磁场的方向竖直向上，磁感应强度为B 。

直升飞机螺旋桨叶片的长度为l ，螺旋桨转动的频率为f ，顺着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨按顺时针方向转动。螺旋桨叶片的近轴端为a ，远轴端为b ，如图2-3所示。如果忽略a 到转轴中心线的距离，用ε表

示每个叶片中的感应电动势，则

A ．ε＝πfl 2

B ，且a 点电势低于b 点电势 B ．ε＝2πfl 2B ，且a 点电势低于b 点电势

C ．ε＝πfl 2B ，且a 点电势高于b 点电势

D ．ε＝2πfl 2B ，且a 点电势高于b 点电势

2.4导体相对磁场运动切割磁感线

若导体与磁场同时运动，则式BLv =ε中v 表示导体与磁场的相对速度。

例7.（07上海）如图（a ）所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L 、导轨左端接有阻值为R 的电阻，质量为m 的导体棒垂直跨接在导轨上。导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好。在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v 1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f 的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内。 ⑴求导体棒所达到的恒定速度v 2；

⑵为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少？ ⑶导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大？

⑷若t ＝0时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其v －t 关系如图（b ）所示，已知在时刻t 导体棒瞬时速度大小为v t ，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小。 3.感生电动势与动生电动势叠加

导体切割磁感线同时磁场随时间t 变化，此时电路中既有动生电动势BLv =1ε，又有感生电动势

S t

B

∆∆=

2ε，同样相当于电路中有两个电源。需注意求电动势时磁感强度B 和闭合电路的面积S 要与时刻t 相对应。

例8.光滑金属导轨宽L=0.4m ，电阻不计，均匀变化的磁场穿过整个轨道平面，如图2-2甲所示。磁场的磁感应强度随时间变化情况如图乙所示，金属棒ab 的电阻为1Ω，自t=0时刻起从导轨最左端以v=1m/s 的速度向右运动，则

A ．1s 末回路中的电动势为0.8V

B ．1s 末ab 棒所受磁场力为0.64N

C ．1s 末回路中的电动势为1.6V

D ．1s 末ab 棒所受磁场力为1.28N 答案：CD

B 图

R

（a ）

v （b ）

（甲）

2

（乙）

1

例9. （2007·广东）如图2-7（a ）所示，一端封闭的两条平行光滑导轨相距L ，距左端L 处的中间一段被弯成半径为H 的1/4圆弧，导轨左右两段处于高度相差H 的水平面上。圆弧导轨所在区域无磁场，右段区域存在磁场B 0，左段区域存在均匀分布但随时间线性变化的磁场B （t ），如图15（b ）所示，两磁场方向均竖直向上。在圆弧顶端，放置一质量为m 的金属棒ab ，与导轨左段形成闭合回路，从金属棒下滑开始计时，经过时间t 0滑到圆弧底端。设金属棒在回路中的电阻为R ，导轨电阻不计，重力加速度为g 。 ⑴问金属棒在圆弧内滑动时，回路中感应电流的大小和方向是否发生改变？为什么？ ⑵求0到时间t 0内，回路中感应电流产生的焦耳热量。

⑶探讨在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B 0的一瞬间，回路中感应电流的大小。

解析：⑴感应电流的大小和方向均不发生改变。

⑵0—t 0时间内，由焦耳定律有：R t B L Rt I Q 02

42

==， 解得：4200L B Q t R

=

⑶设金属进入磁场B 0一瞬间的速度v=

g

H 2，动生电动势g H BL BLv 21==ε ,感生电动势

2002L t B S t B =∆∆=

ε，闭合电路总电动势⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-=002t L gH L B ε， 解得感应电流大小：⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=

002t L gH R L B I 4.动生电动势与化学电池电动势叠加

导体切割磁感线产生电动势，电路中又有化学电池，电路中总电动势为动生电动势与化学电池的电动势叠加。

例10.在方向水平的、磁感应强度为0.5 T 的匀强磁场中，有两根竖直放置的导体轨道cd 、e f ，其宽度为1 m ，其下端与电动势为12 V 、内电阻为1 Ω的电源相接，质量为0.1 kg 的金属棒MN 的两端套在导轨上可沿导轨无摩擦地滑动，如图所示，除电源内阻外，其他一切电阻不计，g =10 m/s 2，从S 闭合由静止释放金属棒直到金属棒做匀速直线运动的过程中

A.电源所做的功等于金属棒重力势能的增加

B.电源所做的功等于电源内阻产生的焦耳热

C.匀速运动时速度为20 m/s

D.匀速运动时电路中的电流强度大小是2 A 答案

.CD